Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau BI và SC.. Tính dAM, OC.. CÁC VẤN ðỀ VỀ KHOẢNG CÁCH Phần 03 ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài
Trang 1Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 1
-a 2a
a a
I A
D
S
H
A
D
C B
SCD
D
A
I
2a
3a a
N M
O
B
C
A
H
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình thang nội tiếp trong ñường tròn ñường kính AD,
AD//BC, AD=2a, AB=BC=CD=a, SA ⊥ (ABCD), d(A,(SCD)) = a 2, I là trung ñiểm AD Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau BI và SC
Giải
- DC AC ( )
DC SA DC SAC
⊥
=> ⊥
⊥
Mà DC ⊂ (SCD) => (SAC) ⊥ (SCD) theo giao tuyến SC
Do ñó kẻ AH ⊥ SC (H∈SC) => AH ⊥ (SCD)
⇒ AH = d(A, (SCD)) = a 2
- (SCD) chứa SC và // với BI
=> d(BI, SC) = d(I, (SCD))
Ta có: ( , ( )) 1
2
=> d(I, (SCD))=1 2 ( , )
a
Bài 2 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC ñôi một vuông góc, OA=a, OB=2a, OC=3a M là trung ñiểm
OB Tính d(AM, OC)
Giải
- Gọi N là trung ñiểm BC, khi ñó (AMN) chứa AM và // với OC
=> d(AM,OC) = d (O, (AMN))
MN OA MN AOB
⊥
=> ⊥
⊥
Mà MN ⊂ (AMN) => (AOB) ⊥ (AMN) theo giao tuyến AM
Do ñó kẻ OH ⊥ AM (H∈AM) => OH ⊥ (AMN)
=> OH=d(O,(AMN))
CÁC VẤN ðỀ VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 03)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 03) thuộc
khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 03) ðể sử dụng hiệu
quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này
(Tài liệu dùng chung bài 07+08)
Trang 2Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 2
-120
a
2a
30
M
C'
A'
B'
B
A
C
H
B1
A
30
A1
C1
C
B
H K
- Ta có
2 2
OH =OA +OM = a +a =a => = => =
Bài 3 Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC=2a, 0
120
ACB
∠ = , góc giữa ñường thẳng A’C
và (ABB’A’) bằng 300 M là trung ñiểm của BB’ Tính khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và CC’
Giải
- (CAB) ⊥ (ABB’A’) theo giao tuyến AB,
nên trong (CAB) kẻ CH ⊥ AB (H∈AB)
=> CH ⊥ (ABB’A’) => 0
( ' , (A C ABB A' ') CA H' 30
- (ABB’A’) chứa AM và // với CC’
=> d(AM, CC’) = d(C, (ABB’A’))=CH
- Tính CH?
Áp dụng ñịnh lý hàm số cosin ta có:
AB2=CA2+CB2-2CA.CB.cos 1200
= a2+4a2-2a.2a.( 1)
2
−
= 7a2 => AB=a 7
Mặt khác ta có: 1
2
ABC
.sin120
=
a.2a 3
2 = a 7 CH => CH = a.
3
7 = a
21
7 = d (AM, CC’)
Bài 4 Cho lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc giữa cạnh bên AA1 và mặt ñáy bằng 300 Hình chiếu H của A trên (A1B1C1) thuộc B1C1 Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AA1 và
B1C1
Giải
- AH ⊥ ( A1B1C1) => góc giữa AA1 và (A1B1C1) là góc∠AA H1 , theo giả thiết ∠AA H1 =300
- Xét tam giác vuông AHA1, ta có:
cos 300= 1
1
A H
AA => A1H = AA1cos30
0
= a 3
2
- ∆ A1B1C1 ñều, A1H =a 3
2 => A1H ⊥ B1C1
- Kẻ HK ⊥ AA1 (K∈ AA1), ta có:
1 1 1
1 1
B C A H
B C ( A H) B C HK
⊥
=> ⊥ => ⊥
⊥
=> HK là ñoạn vuông góc chung của A A1và B1C1
=> HK = d(A A1, B1C1)
- Tính HK?
1
H
1
3
a AH
AH a
Xét tam giác vuông AA1H, ta có:
Trang 3Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 3
-B
A
S
C
D
H
E K
K
SDC
D
A
H
K
O
N
M
C
B
A
A'
B' C'
H
sin 300=
1
AH
a
= <=> = => = =
Bài 5 Chóp SABC ñáy ABC là tam giác vuông cân A, AB = a, góc giữa các cạnh bên và mặt ñáy bằng
600 Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SC theo a
Giải
- Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC)
Ta có ∠SAH= ∠SBH = ∠SCH =600
=> AH=BH=CH => H là trung ñiểm của BC
- Gọi D là ñiểm ñối xứng với A qua H
=> AB//CD => AH//(SCD)
=> d(AB,SC) = d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))
- Gọi E là trung ñiểm của CD
Khi ñó (SHE) ⊥ (SCD) theo giao tuyến SE,
nên trong (SHE) kẻ HK ⊥ SE(K∈SE)
=> HK ⊥ (SCD) => HK=d(H,(SCD))
- Ta có: 1 2 12 12
Mà :
- Xét tam giác vuông SHA, ta có: tan600=SH
AH => SH=AH.tan60
0
=1
2 tan60
0
=1
2 a 2 3=
6 2
a
- Xét tam giác vuông HEC ( vuông tại E), ta có: HE2 = HC2 - EC2 =
2
( ) ( )
Do ñó:
2 2 2
2
3
( )
4 2
= + = + = => = => =
( , ( )) 2
a
Bài 6 Cho lăng trụ ñều ABCA’B’C’ (lăng trụ ñứng có ñáy là tam giác ñều) có tất cả các cạnh bằng a Gọi
M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, BB’ Tính d(B’M, CN)
Giải
- B’M//AN => B’M//(ACN)
=> d(B’M//CN)= d(B’M,(ACN))= d(B’,(ACN))=d(B,(ACN))
(BB’ cắt (ACN) tại trung ñiểm N của BB’
=> d(B’,(ACN))= d(B,(ACN)) )
- Gọi O là trung ñiểm BC, kẻ OK ⊥ CN(K∈CN) Khi ñó:
(OAK) ⊥ (ACN) => OH=d(O, (ACN))
- Ta có: 1 2 1 2 12
Mà:
- Tam giác vuông OKC ñồng dạng với tam giác vuông NBC ( C∠ chung)
Trang 4Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 4
-N
ACN
B'
B
( )
a
= <=> = <=> =
2
2
2 2 4
5 2 5 5
2 4
a OK
a a
+) OA= 3
2
a
2 2
2 2
3
20 4
= + = + = => = => =
( , ( )) 2
- d(B,(ACN)) = 2.OH= 3
4
a
= d(BM’, CN)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn