Bài tập và lời giải vật lý chất rắn, thuyết tương đối và các vấn đề liên quan

Các bài lập ớ phần ba các vân đê liên quan nhăm đê kiêm tra trình độ cùa sinh viên về các nguyên lý cơ ban, khá năng đánh giá các sai sô thực nghiệm cũng như các k ĩ năng toán học đông

^ YYl a C )

Bài tập và lời giái cúa các

Trường Đại học nối tiếng Hoa Kỳ

Major American Universities Ph.D Qualifying Questions and Solutions

Trường Đại học Khoa học

và Công nghệ Trung Hoa

Chủ biên:

Yung-Kuo Lim

m

NHÀ XU ẤT BẢN GIÁO DỤC

BÀI TẬP & LỜI GIẢI

VẬT LÝ CHẤT RẮN THUỸỂT T ự ơ N G ĐỐI VÀ CÁC VẤN ĐÈ LIÊN QUAN

Problems and Solutions on

Solid state physics, relativity and miscellaneous topics

C om piled by

The Physics C oaching Class

U niversity o f Science and T echnology o f C hina

Edited by

Lim Y ung-kuo

N ational U niversity o f Singapore

© W orld Scientific P ublishing Co Pte Ltd

N ew Jersey.L ondon.S ingapore.H ong K.ong

First published 1995

Reprinted 2 0 0 1 ,2 0 0 5

A ll rig h ts reserved This book, or p a rts ¡hereof, m ay not be re p r o d u c e d in any

fo r m or by an y means, electronic or m echanical, in clu d in g photocopying, reco rd in g or an y inform ation storage a n d retrieval system now kn o w n or to be invented, w ithout w ritten p e rm issio n fr o m the Publisher Vietnamese translation

a rra n g ed w ith W orld Scien tific P u b lish in g Co Pte Ltd., Singapore.

C u ố n sách đ ư ợ c x u ất bàn th eo hợ p đ ồ n g c h u y ển n h ư ợ n g b ả n q u y ền giữa

N h à x u ấ t b ản G iáo dục v à N h à x u ất bản W o rld S c ie n tific M ọi hình thức sao chép m ột phần hay toàn bộ cuốn sách dưới dạng in ấn hoặc bán điện tư mà không có sự cho phép bằng văn bản của Công ty Cô phần Sách dịch và Từ điên - Nhủ xuất ban G iáo dục dều là vi phạm pháp luật

Ban quyền tiến g Việt © C ô n g ty c ố phần Sách dịch và T ừ diên G iáo dục

7 Nhiệt động lực học & Vật lý ¡hống kê

Đây là tuyển tập gồm 2550 bài tập được lựa chọn k ĩ lưỡng từ 3100 đế thi vào đại học và thi tuyển nghiên cím sinh chuyên ngành vật lý của 7 tncàmg đại học nôi liêng ờ M ỹ (Dại học California ớ Berkeley, Đ ại học Columbia, Đ ại học Chicago, Viện Công nghệ Massachusetts (MIT), Đ ại học Bang New York ơ Buffalo, Đại học Princeton, Đại học Wiscosin) Trong số này còn có các đê thi trong chương trình CUSPEA và các để thi do nhà vật lý đoạt giái N obel người

Mỹ gôc Trung Quôc c c Ting (CCT) soạn đê tuyên chọn sinh viên Trung Quốc đi du học ơ Hoa Kỳ Những để thi này được xuất bản kèm theo lời giải của hơn 70 nhà vật lý có uy tín của Trung Quòc và 20 nhà vật lý nôi tiếng kiêm tra, hiệu đính Tát cà các cuôn sách trên đã được tái bủn, riêng cuốn Điện từ học đã được tái bán 6 lán.

Điểm đáng lưu ỷ về bộ sách này là nó bao quát được mọi vấn đề cùa vật lý học, từ cô điẽn đên hiện đại Bên cạnh những bài lập đơn gián nhằm khắc sâu những khái niệm cơ bàn cùa Vật lý học, không cần những công cụ toán học phức tạp cũng giải được, bộ sách còn có những bài tập khó và hay đòi hỏi ph á i có kiến thức và tư duy vật lý sâu sắc với các phương pháp và kĩ thuật toán học phứ c tạp hơn mới giới được Có thê nói đây là mộI tài liệu bố sung vô giá cho sách giáo khoa và giáo trình đại học ngành vật lý, phục vụ môt phạm vi đối lượng rất rộng, từ các giáo viên vật lý pho thông, giàng viên các trường đại học cho đên học sinh các lớp chuyên lý, sinh viên khoa vật lý và sinh viên các lớp tài năng cùa các trường đại học khoa học tự nhiên đăc biêt

là cho những ai muôn du học ờ Mỹ.

N hà xuất bùn Giáo dục trân trọng giới thiệu bộ sách lới độc giả

Hà Nội, ngày 25 tháng 6 năm 2008

NHÀ XUÁT BẢN GIÁO DỤC

L Ờ I N Ó I Đ Â U

Làm bài tập là một việc tất yếu và quan trọng trong quá trình học Vật lý nham cung co lý thuyết đã học và trau dồi k ĩ năng thực hành Trong cuốn Vật lý chất rán, Thuyết lư ơng đối

& Các vấn để liên quan có 165 bài tập và lời

giải: vật lý chạt rắn (81 bài), thuyết tương đối (28 bài) và các van đề liên quan (56 bài) Hâu hết các bài chọn đưa vào cuôn sách này đêu

p hù hợp với chương trình vật lý bậc đại học và sau đại học cùa chuyên ngành vật lý chất ran

và lý thuyết lưcmg đối Các bài lập ớ phần ba (các vân đê liên quan) nhăm đê kiêm tra trình

độ cùa sinh viên về các nguyên lý cơ ban, khá năng đánh giá các sai sô thực nghiệm cũng như các k ĩ năng toán học đông thời giúp họ làm quen với các đại lượng và thang đo trong vật lý cũng như các kiên thức vê lịch s ù môn học này Một so bài tập Hèn quan đến sự phát triên gân đây nhất cua vật lý học, sự lĩnh hội chắc chắn các kiến thức để kiểm tra mức độ học của sinh viên N goài ra cuốn sách có chọn một số bài lập liên quan đến các nghiên cứu đang được tiến hành tại m ột sổ trường, những bài này không được giải mà chi đưa ra để học viên tham khào.

V

M Ụ C L Ụ C

1.1 Các cấu trúc tinh thế và các tính chất (1001-1027) 31.2 Thuyết điện tứ, các vùng năng lượng

1.3 Các tính chất điện từ, các tính chất quang

3.1 Lịch sứ Vật lý và các câu hỏi đại cương (3001-3025) 2333.2 Các phép đo, các phép gần đúng và sai số (3026-3048) 273

vii

PHẦN I

Vật lý chất rắn 3

1.1 CÁC CẨU TRÚC TINH THỂ VÀ CÁC TÍNH CHAT

(1 0 0 1 1027)

1001Hình 1.1 mô tả m ột m ạng tinh th ể giả thuyết hai chiều cấu th àn h từ các nguyên tử sắp xếp trên m ột lưới hình vuông

(a) H ãy chỉ ra m ột ví dụ về ô đơn vị cơ sở

(b) Định nghĩa “m ạng đ ảo ” và giải thích mối liên hệ của nó vỏi p h ản xạ Bragg

(c) Chỉ ra m ạng đảo và vùng Brillouin thứ nhất, vù n g Brillouin này liên hệ vối phản xạ Bragg n h ư thế nào?

(d) Phát biểu và giải thích định lý Bloch nói rằng m ột electro n chuyển động trong trường th ế của m ạng tinh th ể này có các hàm sóng đối xứng tịnh tiến Các điều kiện biên nào cần dược dù n g với định lý này?

4 Bài tập & lời giải Vật lý chác răn

(b) Nấu a, (i = 1,2) là các vectơ cơ sỏ của m ạn g th u ậ n thì các vecto

(d) Sóng biểu diễn electro n chuyển động tro n g m ộ t trườ ng th ế tu ầ n hoàn

V (r + R ) = V (r) của m ạng tin h th ể với R là vectơ m ạng, có d ạ n g hàm Bloch

t ’k (r) = e*k'r u k (r) ,

ỏ đây hàm Uk(r) có cùng đối xứng tịn h tiến nh ư m ạng tinh th ể

Uk(r) = u k (r + R )

Vật lý chất rắn 5

H àm ỉpkịr) là m ột sóng p hẳng bị biến điệu bởi trườ ng thế tu ần hoàn Đây là

nội dung của định lý Bloch Phần hàm e mũ của sóng Bloch là m ột sóng phang

mô tả dặc tính chung của các êlectron trong m ột m ạng tinh thê trong khi dó hàm tu ần hoàn m ô tả sự chuyên dộng cục bộ của các êlectron này q u an h các

h ạ t nhân Do vậy, các sóng Bloch dặc trư n g cho chuyển động của các diện tử trong m ột tinh thể

Điều kiện biên tu ần hoàn Born-von K árm án cần phải được sử dụ n g cùng với định lý Bloch

1002

Một chùm êlectro n vối động năng 1 keV bị nhiễu xạ khi nó đi qua m ột tấm kim loại m ỏng đa tinh thể Kim loại này có cấu trúc tinh th ể lập phương vỏi

khoảng cách giữa các ô m ạng là 1 Ă Cho trước m , q, h, c,

(a) Tính bước sóng của các êlectron,

(b) Tính góc B ragg dối với cực dại nhiễu xạ bậc 1

(W isconsin)

Lời giải:

(a) Bước sóng của êlectron là

p vói p dược tính từ

6 Bài cập & lời giải Vật lý chát răn .

V là hiệu diện thế gia tốc của các électron Do đó

h 12,25 _ 12,25 = 0 ,3 9 Ả

1003Khi ngồi trưỏc m ột chiếc tivi m àu với điện th ế đ è n hìn h là 25 kv bạn chắc chắn sẽ bị chiếu xạ bỏi các tia X p h át ra

(a) Q uá trình nào đóng vai trò chủ yếu gây ra lu ồ n g tia X dó?

(b) Giả th iết phân bố chùm tia X là liên tục, hãy tính bước sóng tia X

ngắn n h ất (năng lượng dại), (h = 6 ,6 X 10~34 Js, c = 3 X IQ8 m /s , 1 eV

= 1 6X 10 19 J)

(c) Đặt m ột tinh thê m uối q uặng (NaCl) ỏ trướ c m àn hình, hãy tính góc

Bragg đối với cực dại phản xạ bậc m ột tại A = 0, 5 Ẳ (pNaCl = 2.165 g /cm *)

(a) Khi m ộ t điện thế cao d ặ t vào d èn hình, các électro n p h át ra từ âm cực

sẽ được gia tốc bởi điện trư ờ n g rồi đập vào m àn hình N eu n ăn g lượng của các électro n vượt quá m ộ t giá trị n h ấ t định, chúng có th ê bứ t các électro n ỏ lớp bên trong của các nguyên tử trên m àn h ìn h và tạ o ra các lỗ trống tạ i các lớp

vỏ électron b ên trong đó Sau đó các électro n thuộc các lớp ngoài sẽ chuyên đến chiếm các lỗ trống ỏ các lớp bên trong, dồng th ò i p h át ra tia X

(b) N ăng lượng cực đại của các p hoton tia X p h át ra, hu max, đ ú n g bằng năng lượng e V của các électro n tỏi N hư vậy bước sóng tia X n g ắn n h ấ t sẽ là

vật lý chất rắn 7

(c) Định lu ật Bragg

2rfsinớ = n \ cho biết giá trị góc 8 đối vói cực dại phản xạ bậc m ột (n = 1) :

sin 8 = —

2 d

ỏ dây d là khoảng cách giữa hai ion cạnh n h au trong tinh thê NaCl

Do tinh th ể NaCl có cấu trúc lập phương dơn giản với các ion N a+ và Cl~

sắp xếp xen kẽ nhau n ên có N 0 ion N a+ và No ion c l tro n g m ộ t m ol NaCl,

ở dây No là số Avogadro với khối lượng mol và khối lượng riêng của NaCl là

(C olum bia)

Lời giải:

Trạng thái cơ b ản của cấu hình êlectron của đồng (Z = 2 9 ) là

l s22s22 p63 s23 p63 d104 s 1 Bưóc sóng ứng với n ăn g lượng lốn n h ất trong phổ dặc trư n g của tia X tư ơ ng ứ ng với chuyên dời của m ột êlectron từ lớp N (n = 4)

tới m ột lỗ trố n g tro n g lớp K (n = 1) Trong khoảng sai số 10%, bước sóng này

có thê dược xác địn h theo công thức

8 Bài táp & lời gidi Vật lý chất rắn

ỏ đây R = 1.09678 X 107 m 1 là h ằn g số Rydberg Từ đây suy ra

A = 1 , 2 4 X Ì O “ 10 m = 1 2 4 Ả .

1005NaCl kết tinh theo m ạng lập phương tâm m ặt vỏi cơ sỏ là m ộ t cặp ion

Na và C1 cách nhau m ột khoảng bằng nửa đư òng chéo của khối lập phương

N guyên tử số của Na và C1 tương ứng là 11 và 17

(a) Xác định những tia X phản xạ nào sẽ dược quan sát th ấy (được đánh chỉ số theo ô đơn vị lập phương thông thư òng)

(b) N hóm tia phản xạ nào cho cường độ m ạnh, nhóm nào cho cưòng đôyếu?

ở đây h, k, l là các số nguyên Thay thế các tọa độ ion vào biểu thứ c trên ta có

h k l = / ¿3 + {[1 + co s + k ) + cos n ( k + l) + COS ir(l + /ỉ)]

+ oỊcos 7ĩ h + c0S7rfc + COS 7rỉ + c o s n ( h + k + /)j} 2

+ / ^ a+ {[sin 7r(/i + k) + sin7r(fc + /) + sin7r(/ + h)}

+ a[sin7r/i + sin7rfc + sin7r/ + sin7r(ft + k + l)]}2 ,

ở đây a = / c , - / / Na 4 = 17/11

Chú ý rằn g các cường dộ I hkỊ Ỷ 0 chỉ khác không khi h ,k và l là to àn chẵn

hoặc toàn lẻ Như vậy ta có thê quan sát được hai nhóm các tia p h ản xạ khác nhau

(b) Khi h ,k và / đều là những số lẻ,

/ a 16(1 - a )2 , cho thấy sự phản xạ là yếu Khi h ,k và i đều là nhữ ng số chẵn,

I tx 16(1 + q ) 2 ,

cho phản xạ m ạnh

1006Ước tính gần đ ú n g n ăn g lượng tỏi đê m ột tinh th ể có th ể làm m ột cách tử

nhiễu xạ tốt đối vói (a) photon, (b) nơtron (m nc2 = 939 MeV).

(Wisconsin )

Lời giải:

Tính tu ần h o àn của m ột tinh thê cho phép nó hoạt động như m ột cách tử

n hiễu xạ đối với các sóng, v ì h ằn g số m ạng thông thư ò n g trong m ột tinh th ể

10 Bài tâp & lời giải Vật lý chất rắn

vào khoảng 10 10 m (1 Ả), nên hiện tượng nhiễu xạ có th ê xảy ra trên m ột tinh th ể khi bước sóng của các hạt tỏi ngắn hơn 10“ 10 m

(a) Nếu m uốn các photon tới có thê bị nhiễu xạ bỏi m ộ t tinh th ê thi bước sóng của chúng phải gần bằng 10~ 10 m Do đó năng lượng của p h o to n tỏi là

kỹ th u ậ t này về m ặt năng lượng h ạ t và các loại th ô n g tin có th ể thu được Kỹ

th u ật nào phù hợp n h ất đê nghiên cứu tinh th ể học bề m ặt? Kỹ th u ậ t nào phù hợp n h ât đê xác dịnh các cấu trúc từ?

('yvừconsin)

Lời giải:

N ăng lượng đặc trư n g của các tia X là khoảng vài ngàn e y tương ứng với bước sóng k h o ản g 1 0 ~ 10 m, cùng bậc dộ lốn với khoảng cách giữa các m ặt tinh thê Do vậy tia X th ích hợp đê xác địn h các cấu trú c m ạng tinh thể Đối vói các nghiên cứu nhiêu xạ n ăn g lượng thấp, ngưòi ta thư ờ ng sử dụng các năng lượng 2 0 -5 0 eV Bởi vì các nguyên tử trong tinh th ể có tiết diện lớn dối với quá trình tá n xạ của các êlectro n năng lượng th ấp nên các êlectron tỏi khóng thê xuyên sâu vào tinh th ể dược N hư vậy nhiễu xạ êlectron năng lượng th ấp là

m ột kỹ th u ậ t quan trọng đ ể nghiên cứu các cấu trúc bề m ặt của các chắt rắn Một nơtron có th ể th ấy cả hai khía cạnh của m ột tinh thể: phân bố của các hạt

n hân và phân bố của độ từ hoá êlectron Do dó nhiễu xạ nơ tron bời m ột tinh

Đê dơn giản ta xét m ột tinh thê mà ô cơ sỏ của nó có cấu trúc lập phương

đơn giản vối chiều dài cạnh là d (dược nhân với m ột thừa số cỡ đơn vị dối vói các ô cơ sỏ của các cấu trúc tinh th ể khác) Đối với nhiễu xạ bậc 1, n = 1 dinh

luật Bragg được viết như sau

ỏ đây M là p h ân tử lượng và p là khối lượng riêng của tinh thể, và N 0 là số

A vogadro Vi phân biểu thức thê tích ô cơ sỏ ta được

12 Bài tập & lời gidi Vật lý chát răn .

Và biểu diễn qua các sai số căn quân phương,

1 2

— = y i o - s + (9.4 X 10- :!)2 = 9.4 X 1 0 ' 3

1009Đánh giá áp suất cần thiết để nén m ột vật rắn tối m ật dộ lón hơn vài lán

m ật độ của nó ỏ điều kiện thường

Đê nén đẳng nhiệt m ột vật rắn dàn hồi có thê tích V m ột lượng d v , thi độ

tăng áp suất dp cần thiết được biêu diễn dưới dạng sau

trong đó K là m ột hằng số, gọi là hệ số nén của vật liệu làm vật rắn đó Như

Xét m ột dãy 2-Y ion có điện tích ±q xen kẽ nhau vối một th ế năng dẩy

A / R n giữa các ion lân cận gần n h ất ngoài thế năng Culông thông thư òng.

vật lý chất rắn 13(a) Tìm khoảng cách cân bằng Ro giữa hai ion lân cận trong hệ đó và đánh giá năng lượng cân bằng U(Ro).

(b) Nén tinh th ể sao cho Ro —> i?o(l - <5) Tính công thực hiện dể nén m ột

dộ dài don vị của tinh th ể tối bậc <52

(Princeton)

Lời giải:

(a) Bỏ qua các hiệu ứng bề m ặt, năng lượng m ạng của hệ là

ỏ dây a là hằng số M adelung u ( R ) có m ột cực tiểu ỏ trạng thái cân bằng, vậy khoảng cách cân bằng Ro được tính bởi

và năng lượng cân bằng là

aq N

ư ( R ữ) = - —

tio

N a y ’ Ro

với (1 = 2 lu 2 dối với m ột dãy m ột chiều

(b) Khi tinh th ể này bị nén đê /?0 trở th àn h R, thì năng lượng m ạng sẽ

tăng lên m ột lượng

14 Bài tâp & lời giải Vật lý chát răn .

Vói R = R o(l - S), giữ lại các số hạng tới ỏ2 ta có

Ẽs - 1 = (1 - ở')-1 - 1 « (5 + ỗ2 ,

- l = ( l - ỉ ) ' ” - U n í +

Và như vậy

Tổng chiều dài của tinh th ể xấp xỉ bằng 2N Ro- N hư vậy công thực hiện dê nén

m ột độ dài dơn vị của tinh thê là

(a) Năng lượng cố kết của các ion nằm cách n h au trong tinh th ê NaCl bằng bao nhiêu? Cho m ột giá trị gần đúng và nêu cách tính m à chỉ sử dụng m ột mô

hình rất dơn giản Hằng số m ạng a = 5,6 Ă

(b) Cần phải thêm bớt các đại lượng thực nghiệm nào vào giá trị năng lượng trên đ ể tính được năng lượng cố kết của kim loại natri và khí d o tách rời nhau? Bỏ qua các hiệu ứng nhỏ (< 10%)

(a) Đồi với m ột tinh th ê gồm có N ion, m ỗi m ột ion m ang điện tích ± e , thi

vật lý chất rắn 15

ỏ đây

Tại trạng thái cân bằng Ư (R ) là cực tiểu năng lượng và R = Rữ dược tính bởi

Hai số hạng của U (R ) là thế Culông và thế đẩy Bằng cách so sánh thế Culông

tính toán được và năng lượng liên kết toàn phần quan sát được ta có thê ưóc

lượng được n bằng khoảng 1 0 vậy vói dộ chính xác 1 0% ta có

Áp dụng phương pháp Ewald cho cấu trúc NaCl, ta có th ể tính được Q và nhận

dược Q = 1, 7476 Vậy với Ro = I = 2,8 Ẳ, ta rút ra

vì đối với tinh thê NaCl, 71 = 8.

(b) Đối với kim loại Na và hơi C1 tách ròi nhau, để tính năng lượng cố kết

ta phải thêm vào biêu thức trên các năng lượng hóa hơi của natri kim loại, năng lượng phân tách phân tư C1 th àn h các nguyên tử riêng rẽ và năng lượng ion hóa của các nguyên tử Na và Cl

1012Một tinh th ể hai chiều lý tưởng gồm chỉ m ột loại nguyên tử (khối lương

7Tỉ), và mỗi m ột nguyên tử có vị trí cân bằng tại nút m ạng vuông R = (ra sa)

ỏ dây r s = 1 2 V Độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng được ký hiệu là

16 Bài tập & lời giải Vật lý chất rắn

và trong gần dúng dao động diều hòa thế năng được cho bỏi

^ M V s ■ ỉ / r s ) — ^ ^ 1 {(■* t r - f 1 Ks — J r s ) {yr{ố + \ ì ~ y r '

r.s

+ M ( Tr (s » li - JVs ) 2(i/(r+ l)s - y r s ĩ2}}

Đối với trưòng hợp k> = 0 u -1,

(a) xác định hệ thức tán sắc tổng quát của phonon xuyên suốt vùng Brillouin,

(b) vẽ phác sự phụ thuộc của u!qx vào q dối vối

q = (ị 0) 0< í < ^

a

{Princeton)

Lời giải:

(a) Sự dao động của m ột nguyên tử tại R ri = (ra sa) dược xác định bỏi

định luật thứ hai của Nevvton

Vât lÿ chât ran 17Vôi q = (qx , qy ), R = (ra, sa), ta CÔ

t rs — ^ x L — a ,A(<hr+ivs)a- ^ t\

— A J[(.qxr+qvs)a-u>t\

yrs —

flyt-Tiêp tue thay thê cho ta

- m w2i r» = 2*1(e"*'a + e~'qxa ~ 2)x rs + 2À'2(e"'“a + e - " '“a - 2 )xrs ,

Xét m ot m ang vuông hai chiêu cüa câc nguyên tù vôi hâng so m ang a Céc

nguyên tir tu d n g tâc vôi nhau sao cho khi nguyên tù tai vi tri (x0,y 0) bi dich chuyén dén (x0 + A.r y0), nô chiu m ot lue hôi phuc - c \ A x do hai nguyên tù

lân cân gân n h ât tai (j0 ± «• i/o) và m ot lue hôi phuc - c 2A x do hai nguyên tù lân cân gân n h ât tai (x 0 y0 ± a) gây ra Giâ thiêt r-, < r t

DAIHQC T H / u W G U \ i F |

Bài [áp & lời giải Vật lý chái răn

tỷ lệ thuận với nồng dộ nút khuyết Hơn nữa, môi m ột nút khuyết sẽ làm tán

xạ bất kỳ sóng âm nào tới dó, và biên độ của sóng tán xạ bằng A A với À » í ,

ỏ đây A là bưóc sóng và 4 là m ột hằng số

(c) Vối một nồng dộ nút khuyết cho trước, hãy tìm độ dài tắ t dẩn (suy giảm ) của âm thanh như m ột hàm của bước sóng (sai khác m ột thừa số A) Giả thiết các nút khuyết tán xạ m ột cách độc lập

(d) Giả thiết rằng để bứt m ột nguyên tử ra khỏi tinh th ể và tạo nên một nút khuyết cần có m ột năng lượng bằng e Hãy xác định sự phụ thuộc của chiều dài tắ t dần của âm th an h vào nhiệt độ

(e) Với cùng m ột già th iết như ỏ câu (d ), sự phụ thuộc nhiệt dộ của vận tốc âm th an h sẽ như thế nào?

(Princeton )Lời giải:

Ca) Lấy điểm gốc tại (iQ yo), vậy thì (x n y m) = (na m a) Đãt đỏ dich chuyên ỉ của nguyên tử tại vị trí (x„ ym ) là u„ Độ dịch chuyển tương đối X

của nguyên tử so với các nguyên tử lân cận gần n h ấ t theo phương X sẽ la

i^n-tl.nỉ Un.m) (Uri.m Uri—l.rn) = ỊJỊ íín + l.r7Ỉ ^ n - l rn •

và độ dịch chuyên tương dối y của nguyên tử so với các nguyên tử lân cán gẩn

nh ất th eo phương ụ sẽ là

U n T T ì — 1

muJ2 = c,(2 - eiq'0 - e~ iq' a) + c2(2 - e'920 - e~ llỉ2a)

= 2ci[l — cos(ọia)] + 2C2[1 - cos(<72<ỉ)]

và do vậy

1 / 2

Đối với các sóng âm truyền theo phương X, q -2 = 0 và hệ thức tán sắc dược

vẽ như trên hình 1.6, với ¡Jjm = \ h ^ x

(b) Vận tốc âm th an h trong tinh th ể là

20 Bài tập & lời giải Vật lý chát răn .

(c) Xét các sóng âm có cường dộ I và di qua diện tích th iết diện s khi

lan truyền trong mạng Trong m ột khoảng cách ngăn d x nó sẽ gặp n S d x nút khuyết ỏ đây n là nồng dộ nút khuyết Mỗi m ột quá trinh tán xạ bời m ột nút khuyết sẽ gây ra một tổn hao năng lượng tỷ lệ với ( ị ) 2, và do môi m ột nút

khuyết sẽ làm tán xạ bất kỳ một sóng âm nào di tới, nên tổng năng lượng bị

tiêu tán do tán xạ cũng sẽ tỷ lệ vói I Như vậy

Khoảng cách tắt dần /, được định nghĩa là khoảng cách qua dó cưòng dộ sóng giảm di bởi một thừa số f -1 , sẽ bằng

(d) Mật độ nút khuyết liên hệ với nhiệt dộ tuyệt dối T như sau

(e) Vì sự giảm của lực phục hồi tỷ lệ với nồng độ n ú t khuyết, nén các hằng

sô lực sẽ bị giảm đi so với giá trị ban đầu của chúng C ị , c° còn

Xét m ột m ạng dao động d chiều tại nhiệt dộ không tuyệt đối Mật đó số

hạt là ¡1 và các nguyên tử có khối lượng m s ử dụng gần đúng Debye và già

thiêt tât cả các kiêu (m ode) của sóng âm có cùng m ột vận tốc

(a) Đ ánh giá dộ dịch chuyển binh phương trung bình (R?) đối với d = 3 (b) Đ ánh giá (R 2) đối với d = 1, và phân tích tính sát thực so vối kết quả

thí nghiệm

(c) Đánh giá độ biến dạng bình phương trung bình / ( § ^ ) 2^} dối với d = 1.

(Princetorĩ)

Lời giải:

Xét m ột nguyên tử dao động với tần số góc và biên độ yoj Độ dịch

chuyên của nó khỏi vị trí cân bằng là

N guyên tử dao dộng tưong ứng với m ột dao dộng tử điều hoà lượng tử có

cùng tần số vói năng lượng toàn phần bằng (n + Do động năng trung

bình của m ột dao dộng tử bằng nửa năng lượng toàn phần của nó, nên

ta có

2 (2n + l) h

Tại n h iệt độ không tu y ệt đối, tấ t cả các dao động tử ở trạn g thái cơ bản tương

ứng với trạng thái lượng từ n = ũ Độ dịch chuyển tru n g bình vì vậy sẽ là

Bài tập & lời giải Vật lý chất rắn

ỏ đây p V tương ứng là khối lượng riêng và th ể tích, và Y là tông sỏ nguyên

tử có trong mạng

(a) d = 3 Trong gần đúng Debye số các kiểu dao dộng với các số sóng nhò hon q dược cho bởi thê tích của hình cầu bán kinh q với tâm tại gôc của không gian - q được đo theo đơn vị ( t 1) , với L là chiều dài của m ạng, giả thiết là

m ạng lập phương, vì có th ể có ba kiểu phân cực, số các kiêu dao dộng vói các

số sóng nhỏ hơn q là

Giả thiêt tât cả các kiểu dao dộng có cùng m ột vận tốc V, ta có ạ = - và mật

dộ trạng thái là

d M _ 3£ V (U ị _ _ 3 V J 2 d«j 2n2 (L j 2 t t V ì ■Hơn nữa, với A ' = 3.Y, tần số góc cắt Debye là

Vật lý chất rắn 23

ỏ đây 77 là số nguyên tử trên một đơn vị độ dài của m ạng m ột chiều Do dó

(R 2) p h ân kỳ dối vối trường hợp một chiều Ta thấy rằng sự phân kỳ xuất hiện

là do cận dưới của tích phân bằng không \ ỉ ề m ặt vật lý, UJ S3 0 tương ứng vói các nguyên tử trong m ạng di chuyển dồng thời như m ột thê thống nhất, khi

đó (y2) bằng không chứ không phải bằng ~ u)~1 Như vậy xác định bằng thực nghiệm (R 2) sẽ không phải là m ột đại lượng vô hạn mà vẫn có giá trị hữu hạn (c) Đối với nguyên tử thứ j ,

ỏ dây do 7- =

'í-1015

Xét m ột m ạng vuông hai chiều với m ột nguyên tử có khối lượng m trên

m ột nút m ạng chỉ tương tác vói các nguyên tử lân cận gần n h ất với hằng số

lực l \ [Sử dụng đường cong tán sắc phonon ujq = sin(ọa/2).]

h

ln uj = 00

2TĨT1ĨTÌV 0

2

m à khi lấy trung bình theo thòi gian sẽ trỏ thành

Như vậy dối vối m ột m ạng tinh thê một chiều,

Ì.X m v2

0

h

iirmiiv3

24 Bài tập & lời giải Vật lý chát răn (a) Trong giới hạn sóng dài, tính m ật dộ các trạn g thái p h onon D [jj) =

d \/d * j, tức là số các kiểu dao dộng trên khoảng tần số cU.

(b) Tại nhiệt độ cao (ktìT » /w ), tìm dộ dịch chuyển bình phưong trung

bình của m ột nguyên tử so với vị trí cân bằng của nó, và biện luận vê độ bền của các tinh thể hai chiều

Vận tốc âm sẽ là

không phụ thuộc vào q.

Trong mô hình Debye, số các dao động với các số sóng nhỏ hơn q được cho bới diện tích của hình tròn bán kính q vối tâm ỏ gốc của không gian q được

do bằng dơn vị ( ỹ ) , vói £ là chiều dài của m ạng vuông, vì tồn tại hai kiểu

phân cực, nên số các dao dộng chuẩn vói các số sóng nhỏ hơn q sẽ là

ỏ dây 5 là diện tích của m ạng Do đó m ật độ các trạn g thái phonon là

(b) Năng lượng toàn phần của m ạng là

Tại giói hạn nhiệt độ cao, thế năng trung bình bằng động năng trung bình

và do dó bằng nửa của năng lượng toàn phần Neu ( r 2) bằng độ dịch chuyển bình phương trung bình của m ột nguyên tử thì

b ằng bao nhiêu?

(b) N hiệt d u n g riêng đẳng tích (trên m ột moi) của m ột khí lưỡng nguyên

tử bằng bao nhiêu? Giải thích

(c) N hiệt du n g riêng của m ột chất rắn tinh th ể đơn nguyên tử bằng bao nhiêu?

(Wisconsin)

l

Bài tập & lời giải Vật lý chát rắn

Lời giải:

Khí lý tường có nội năng trên một mol tại nhiệt dộ T bằng

E = ị.Xk-B T = f- R T ,

ỏ đây / là số bậc tự do của m ột phân tử và R = N k s là hằng sỏ khí Nhiệt

dung riêng dẳng tích sẽ băng

Chú ý rằng nhiệt dung riêng tính theo mol dều không phụ thuộc nhiệt dộ đối vối cả hai loại khí đơn và lưõng nguyên tử, nếu chúng có th ể được coi gần đúng là khí lý tường

(c) Xét m ột mol chất rắn tinh th ể đơn nguyên tử Nó có th ể tích l ■ và chứa

N (số Avogadro) nguyên tử Do nó có ba kiểu dao động chuẩn nên số các kiểu dao dộng trong khoảng tần số góc từ Jj đến aj + duj bằng (Bài tập 1014)

trong dó v0 là tốc dộ âm trong tinh th ể ỏ tầ n số tối da

Trong m ột chất rắn, năng lượng tru n g bình của m ột dao động tử có tản số ~

(a) Đối với m ột khí đơn nguyên tử, / = 3 và

(b) Đối với khí lưỡng nguyên tử, / = 5 và

1 3

là

N hư vậy, tại các nhiệt độ cao, c \ không phụ thuộc vào nhiệt độ

Khi T <Si 0 , ụ là lỏn và có th ể coi là 0 0, thì

28 Bài tập & lời giải Vật lý chát răn

cho thấy c v X T 3tại các nhiệt độ thấp Đê’ có m ột đ án h giá dinh lượng, ta thấy

Điều này dân đến

Trong mô hình Debye, m ật dộ các trạn g thái của m ột m ạng đơn nguyên tủ

m ột chiều được tính bằng (Bài tập 1014)

Vật lý chất rắn 29nghĩa là

d u n g riêng tỷ lệ với T 2 tại các nhiệt độ thấp Hãy dùng lý thuyết Debye đ ể giải

thích hiện tượng này

(,SUNY, Buffalo )

Lời giải:

Mô hình Debye khẳng định rằng m ật độ trạng thái p(yj) của m ột m ạng tinh

th ể hai chiều tỷ lệ vối uj (Bài tập 1015) Nấu tương tác giữa các nguyên tử ỏ các lớp nguyên tử khác n h au là rất yếu thì p(uj) có th ể được coi gần đúng bằng

tổng của các m ật dộ trạn g thái của các lớp khác nhau và do dó vẫn tỷ l ệ vói UI

Vi thế đối với m ột tinh th ể có cấu trúc lớp

30 Bài tập & lời giải Vật lý chất rắn

ỏ đây -V là tổng số nguyên tử trong tinh thể, là tần số Debye và thừ a số 3

là m ột hằng số Như vậy, theo lý thuyết Debye Cy oc T 2 tại các nhiệt độ thấp

đối với m ột tinh th ể 3 chiều cấu trúc lớp với tương tác yếu giữa các lóp, điềunày phù hợp với các quan sát thực nghiệm

1019Các tính chât âm của chât rắn diện môi chiếm ưu thế hơn so với các tinh chất nhiệt dộng và các tính chất khác của chúng ví dụ như điện trỏ dẫn quang Kim cương là m ột chất rắn điện môi đơn nguyên tử cacbon có 1021 nguyên tứ trong m ột centim et khối