1.Mp qua điểm A(xo , yo , zo ) có VTPT (A,B,C) . 1.Đgth dqua điểm A(xo , yo,zo ), có VTCP (a, b, c) Pt: A(xxo ) +B(yyo) + C(z – zo ) = 0 Hoặc Ax +By +Cz +D =0 , thay toạ độ A vào thoả , giải tìm D. x = xo +at PTTS d : y = yo +bt Z = zo+ct 2.Mp( ) qua A(xo , yo , zo ) , vuông góc với đgth d 2.Đgth d qua A(xo , yo , zo ), vuông góc với mp( ) Từ PTTS hoặc PTCT hoặctừ 2 điểm của d , tìmVTCP . Mp( ) có VTPT là . Giải tiếp như bài toán 1. Từ PTTQ của ( ) tìm VTPT . VTCP của d là . Giải tiếp như bài toán 1. 3. Mp( ) qua A(xo , yo , zo ), và song song với mp(P) 3.Đgth d qua A(xo , yo , zo ), song song với đgth a. Tìm VTPT của (P) là . VTPT của ( ) cũng là . Giải tiếp như bài toán 1. Tìm VTCP của a là . VTCP của d cũng là . Giải tiếp như bài toán 1. 4. Mp( ) qua A,B,C cho trước. 4. Đgth d qua A, B cho trước. VTPT của ( ) là = . B. .C ( ) qua A cho trước. A. Giải tiếp như bài toán 1. VTCP của d là . A d qua A cho trước. Giải tiếp như bài toán 1. B 5. Mp( ) chứa 2 đgth cắt nhau a,b. 5. Đgth d là giao tuyến của 2 mp cắt nhau ( ),( ). Tìm VTCP của a,b lần lượt là , . VTPT của ( ) là = . Lấy điểm A trên a, thì Athuộc( ). Giải tiếp như bài toán 1. Tìm VTPT của ( ),( ) lần lượt là , . VTCP của d là = . Tìm 1 điểm A có toạ độ thoả phương trình ( ),( )thì A d. Giải tiếp như bài toán 1. 6. Mp( ) chứa điểm A và song song với 2 đgth a, b chéo nhau. 6. Đgth d qua A và song song với 2 mp ( ),( ) cắt nhau. Tìm VTCP của a,b lần lượt là , . VTPT của ( ) là = . Giải tiếp như bài toán 1. < Bài toán: Viết pt mp ( ) chứa a và song song b ( chéo a), giải tương tự. Khi đó điểm cho trước A ( ), được lấy bất kỳ trên a > Tìm VTPT của ( ),( ) lần lượt là , . VTCP của d là = . . Giải tiếp như bài toán 1. 7. Mp (P) qua A và vuông góc với 2 mp ( ),( ) cắt nhau. 7. Đgth d qua A và vuông góc với 2 đgth a,b chéo nhau. Tìm VTPT của ( ),( ) là , . VTPT của (P) là = . Giải tiếp như bài 1. < Bài toán này có thể đưa về dạng bài B5, và A2: Viết ph trình mp (P) vuông góc với giao tuyến của ( ),( ) > Tìm VTCP của a,b là và . VTCP của d là = . Giải tiếp như câu 1. 8. Mp( ) qua đgth d và vuông góc với mp( ) cho trước. 8. Đgth d nằm trong mp ( ) cho trước, vuông góc và cắt đường xiên a. Tìm VTCP của d là . Tìm VTPT của ( ) là . VTPT của ( ) là = . Tìm điểm A d thì A ( ). Giải tiếp như bài toán 1. Tìm VTCP của a là . Tìm VTPT của ( ) là . VTCP của d là = Tìm giao điểm của a và ( ) là A. Đgth d phải qua A và có VTCP , viết được PTTS. CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 9. Đường thẳng d qua một điểm A và cắt cả 2 đường a, b. 9. Đường thẳng d song song với một đgth và cắt cả 2 đường a, b. Viết phương trình mp(A,a), đặt là ( ). viết phương trình mp(B,a), đặt là ( ). Viết PTTS của d là giao tuyến của ( ), ( ) Viết phương trình mp( ) qua a và song song . Viết phương trình mp ( ) qua b và song song . Viết PTTS của d là giao tuyến của ( ), ( ). 10. Đường thẳng d là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a, b. Tìm VTCP của d .( = với và là VTCP của a,b ). Viết phương trình mp ( ) qua a và d < Bài toán A5 >. Viết phương trình mp ( ) qua b và d < Bài toán A5 >. Viết phương trình đgth d là giao tuyến của ( ),( ).
Trang 1HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ,
ĐƯỜNG THẲNG
MẶT PHẲNG (A) ĐƯỜNG THẲNG (B)
1.Mp qua điểm A(x o , y o , z o ) có VTPT n
(A,B,C)
1.Đgth dqua điểm A(x o , y o ,z o ), có VTCP u(a, b, c)
- Pt: A(x-xo )+B(y-yo)+ C(z – zo ) = 0
Hoặc Ax +By +Cz +D =0 ,
thay toạ độ A vào thoả , giải tìm
D
x = xo +at
PTTS d : y = yo +bt
Z = zo+ct
2.Mp( ) qua A(x o , y o , z o ) , vuông góc với đgth
d
2.Đgth d qua A(x o , y o , z o ), vuông góc với mp( )
- Từ PTTS hoặc PTCT hoặctừ 2 điểm của d ,
tìmVTCP u
- Mp() có VTPT là u
- Giải tiếp như bài toán 1
- Từ PTTQ của ( ) tìm VTPTn
- VTCP của d là n
- Giải tiếp như bài toán 1
3 Mp( ) qua A(x o , y o , z o ), và song song với
mp(P)
3.Đgth d qua A(x o , y o , z o ), song song với đgth a.
- Tìm VTPT của (P) là n
- VTPT của ( ) cũng là n
- Giải tiếp như bài toán 1
- Tìm VTCP của a là u
- VTCP của d cũng là u Giải tiếp như bài toán 1
4 Mp( ) qua A,B,C cho trước 4 Đgth d qua A, B cho trước.
- VTPT của ( ) là n= AB AC ,
B .C
- () qua A cho trước A.
- Giải tiếp như bài toán 1
- VTCP của d là AB
A
- d qua A cho trước
- Giải tiếp như bài toán 1 B
5 Mp( ) chứa 2 đgth cắt nhau a,b 5 Đgth d là giao tuyến của 2 mp cắt nhau ( ),(
).
- Tìm VTCP của a,b lần lượt là u, v
- VTPT của ( ) là n= u v ,
- Lấy điểm A trên a, thì Athuộc( )
- Giải tiếp như bài toán 1
- Tìm VTPT của (),( ) lần lượt là n 1
, n 2
- VTCP của d là u= n n1, 2
- Tìm 1 điểm A có toạ độ thoả phương trình ( ),()thì Ad
- Giải tiếp như bài toán 1
6 Mp( ) chứa điểm A và song song với 2 đgth
a, b chéo nhau 6 Đgth d qua A và song song với 2 mp ( cắt nhau ),()
Trang 2- Tìm VTCP của a,b lần lượt là u, v .
- VTPT của ( ) là n= u v ,
- Giải tiếp như bài toán 1
< Bài toán: Viết pt mp ( ) chứa a
và song song b ( chéo a), giải tương
tự Khi đó điểm cho trước A(),
được lấy bất kỳ trên a >
- Tìm VTPT của (),( ) lần lượt là n 1, n 2
- VTCP của d là u= n n1, 2
.
- Giải tiếp như bài toán 1
7 Mp (P) qua A và vuông góc với 2 mp ( ),(
)
cắt nhau
7 Đgth d qua A và vuông góc với 2 đgth a,b chéo nhau.
- Tìm VTPT của ( ),()
là n 1, n 2
- VTPT của (P) là n= n n1, 2
- Giải tiếp như bài 1
< Bài toán này có thể đưa về
dạng bài B5, và A2: Viết ph
trình mp (P) vuông góc với
giao tuyến của (),( ) >
- Tìm VTCP của a,b là u 1 và 2
u
- VTCP của d là u= u u1, 2
- Giải tiếp như câu 1
8 Mp( ) qua đgth d và vuông góc với mp()
cho trước.
8 Đgth d nằm trong mp ( ) cho trước, vuông góc
và cắt đường xiên a.
- Tìm VTCP của d là u
- Tìm VTPT của () là
1
n
- VTPT của ( ) là n
= u n , 1
- Tìm điểm Ad thì A( ).
- Giải tiếp như bài toán 1
- Tìm VTCP của a là u 1
- Tìm VTPT của ( ) là n
- VTCP của d là u= u n1,
- Tìm giao điểm của a và ()
là A
- Đgth d phải qua A và có VTCP u, viết được PTTS
Trang 3CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
9 Đường thẳng d qua một điểm A và cắt cả 2
đường a, b.
9 Đường thẳng d song song với một đgth và cắt cả 2 đường a, b.
- Viết phương trình
mp(A,a), đặt là ()
- viết phương trình
mp(B,a), đặt là ( ).
- Viết PTTS của d là
giao tuyến của ( ),
( )
- Viết phương trình mp( ) qua a và song song
<Bài toán A6’>
- Viết phương trình mp () qua b và song song
- Viết PTTS của d là giao tuyến của ( ), ()
10 Đường thẳng d là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a, b.
- Tìm VTCP u của d <Bài toán B7>.( u= u u1, 2
với u 1 và 2
u là VTCP của a,b )
- Viết phương trình mp ( ) qua a và d < Bài toán A5 >
- Viết phương trình mp () qua b và d < Bài toán A5 >
- Viết phương trình đgth d là giao tuyến của ( ),()
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG.
12 Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên mp (
).
12 Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên đgth d.
- Viết phtrình đgth d qua A và
vuông góc với ( )(Bài toán
B2 ) .A
- Tìm toạ độ giao điểm I của d
và ( ) ( Giải hệ gồm phtrình
d và ( ).
- Viết phtrình mp () qua A và
vuông góc với d (Bài toán A2 )
- Tìm toạ độ giao điểm I của ( )
và d ( Giải hệ gồm phtrình ( )
và d A
13 Viết phtrình hình chiếu d’ của đgth d trên mp ()
- Viết phtrình mp ( ) qua d và vuông góc với () d
( Bài toán A8 )
- d’ là giao tuyến của mp ( ) và mp ()
- Viết PTTS của d’ ( Bài toán B5 )
d’
Trang 4CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU VÀ SỰ TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG.
A VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.
1 Mặt cầu (S) có tâm I x y z0, ,0 0 bán kính R 2.Mặt cấu (S) có đường kính AB cho trước.
Phương trình:
- Tìm trung điểm của AB là I., I là tâm của mặt cầu
- Tính độ dài IA=R
- Làm tiếp như bài toán 1
3 Mặt cầu (S) qua 4 điểm A,B.C,D không đồng phẳng cho trước.
- Gọi phương trình mặt cầu là x2 y2 z2 2Ax 2 By 2 Cz D 0 (1)
- Do A, B.C.D thuộc (S) nên thế toạ độ từng điểm vào (1) sẽ thoả, cho ta môt hệ phương trình 4 ẩn
A,B,C,D (2)
- Giải hệ (2) được A,B,C.D
( Mặt cầu (S) có tâm I (-A,-B,-C) và bán kính R A2 B2 C2 D)
4 Mặt cầu (S) có tâm I thuộc mp (P) và đi qua 3
điểm A, B, C cho trước.
4’ Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đgth d cho trước
và đi qua 2 điểm A, B cho trước.
- I cách đều A,B,C nên I thuộc trục d của ABC
Viết phương trình trục d = ( ) , với ( ),(
)
lần lượt là mp trung trực của AB và AC <Viết
phương trình (),() và PTTS của d (quy về bài
toán A2, B5) >
- I là giao điểm của mp(P) và d : tìm toạ độ I bằng
cách giải hệ gồm phương trình của (P) và d
I
C
A
B
- I cách đều A,B nên I thuộc mp trung trực () của AB
Viết phương trình ( ) ( Bài toán A2)
- I là giao điểm của d và ( ), tìm toạ độ I là nghiệm của hệ phương trình gồm phương trình d và ( )
d I
A
B
Trang 5B TIẾP DIỆN, TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU.
1 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẰU CÓ TÂM I
VÀ TIẾP XÚC VỚI MP( )
1’ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CÓ TÂM I
VÀ TIỀP XÚC VỚI ĐGTH
- Tính khoảng cách từ I đến ( ) : d(I, )
- Bán kính mặt cầu R = d(I, )
- Giải tiếp như bài A1
- Tính khoảng cách từ I đến ( ) : d(I, )
- Bán kính mặt cầu R = d(I, )
- Giải tiếp như bài A1.
2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP DIỆN CỦA MẶT
CẦU TẠI TIẾP ĐIỂM A CHO TRƯỚC
3 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẦU SONG SONG MẶT PHẲNG ()CHO TRƯỚC
- Tìm toạ độ tâm I của mặt cầu
- Tiếp diện ( ) đi qua A, và có VTPT là IA
Giải tiếp như bài toán A2
- Tìm toạ độ tâm I , bán kính R của mặt cầu.
- Giả sử () có phương trình Ax +By +Cz +D =
0 ,thì tiếp diện () có phương trình Ax +By +Cz +D’ = 0 (1)
- Theo điều kiện đề : d(I,) = R ; giải tìm D’
- Thế vào (1) được phương trình tiếp diện ()