ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚCĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC

TẠO VĨNH PHÚC

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN THPT CHUYÊN

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Ngày thi 23/10/2014

Câu 1 (2,5 điểm)

Cho dãy số thực ( )x n xác định bởi x1 = 3 và x n+1 = 21+ 2x n+6 với mọi n= 1, 2,

Chứng minh rằng dãy số ( )x n có giới hạn hữu hạn Tính giới hạn đó

Câu 2 (1,5 điểm)

Chứng minh rằng nếu a b c, , > 0, thì

+ +

Câu 3 (2,0 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( )x y, với x y, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình 2 x( 3 − =x) y3 −y.

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn ( )τ tâm O và AB CD, là hai đường kính của đường tròn đó Tiếp

tuyến với đường tròn( ) τ tạiBcắtACtại P. Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng DP với đường tròn( ) τ Gọi I là trung điểm củaAP. Chứng minh rằng

a) Các điểm O B C I, , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Ba đường thẳng AG BC OP, , đồng qui

Câu 5 (1,0 điểm)

Tập hợp M có các phần tử là số thực được gọi là "Đặc biệt" nếu nó thỏa mãn đồng

thời hai tính chất sau đây

)

a Với mỗi x y M x, ∈ , ≠ ythí các số x y+ và x y. đều khác không và có đúng một số trong chúng là số hữu tỷ

)

b Với mỗi x M x∈ , 2 là số vô tỷ

Một tập hợp "Đặc biệt"có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ? Bạn hãy lấy ra một ví dụ

minh họa

……… Hết……….

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

danh……….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN THPT CHUYÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Gồm 04 trang)

Lưu ý khi chấm bài:

- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.

- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.

- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.

- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.

- Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Câu 1 (2,5 điểm)

Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được x n ≥ ∀ = 3 n 1, 2, 0,25

Ta có x1 = 3,x2 = 21 + 2x1+ ≤ 6 21 4 5 + =

Giả sử x n ≤ 5 Khi đó x n+1 = 21 + 2x n + ≤ 6 21 4 5 + = theo nguyên lý quy

nạp suy ra x n ≤ ∀ ∈ 5, n ¥ * Tóm lại ta đã chứng minh được

3 ≤x n ≤ ∀ = 5, n 1, 2, ( )1

0,5

Ta có x1 <x2 Giả sử x n−1<x n. khi đó

2 2

1 1

0

x x

x x

+ +

−

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra dãy số đã cho là dãy số tăng

0, 5

Dãy ( )x n tăng và bị chặn trên do đó dãy có giới hạn hữu hạn Đặt nlim→+∞=L 0,25

3 ≤ ≤L 5 Từ x n+1 = 21 + 2x n+ ∀ = 6 , n 1, 2, cho n→ +∞ ta được 0,5

( )

L= + L+

( )2 ⇔L2 = 21 + 2l+ ⇔ 6 (L2 − 25)+ −(4 2l+ 6) = 0

L

L

+ + Vậy phương trình ( )3 có nghiệm duy nhất

5

L= Từ đó nlim x n 5

→+∞ = Kết luận: dãy số ( )x có giới hạn hữu hạn và và n lim n 5

→+∞ =

0, 5

Câu 2 (1,5 điểm)

Ta chứng minh cho bài toán tổng quát

ma nb pc mb nc pa mc na pb m n p

(ở bài toán này thì m= 5,n= 6,p= 7 )

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

2 2

ab m n p

ab

  −  + − + + 

=

0,25

2 2 2 2

ab

2 2

c a b c

0,25

Tương tự ( )2

+ +     + + ( )2

( )2

+ +     + + ( )3

0,25

m n p

ma nb pc mb nc pa mc na pb

0,25

( ) ( ) 2 ( )

m a b c n a b c p a b c

=(m n p a b c+ + ) ( + + )

⇒ ma nb pc mb nc pa mc na pb+ab+ + +bc+ + +ca+ ≤m n p a b c+ ++ +

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c= =

0,25

Câu 3 (2,0 điểm)

Áp dụng đẳng thức a3 + + −b3 c3 3abc= + +(a b c a) ( 2 + + −b2 c2 ab bc ca− − ).Từ giả

thiết

x x y x y x x y x x y x x xy yx x x y x y

0,5

2x y x y 2xy 1 3x y *

2

3 2

x y x y

x y x

x y x x y

 −





,mặt

khác

(2x y x− ,6 3)=(2x y− ,6) ( do (x y, ) = ⇒ 1 (2x y x− , ) = ⇒ 1 (2x y x− , 3) = 1 )

2x y− ∈ 1, 2,3,6 ( do từ ( )* 2x y− ∈ ¥ *)

0, 5

Trường hợp 1 2x y− = ⇔ = 1 y 2x− 1 thay vào phương trình đã cho ta được

2 x − =x 2x− 1 − 2x− ⇔ 1 6x x− 1 = ⇒ = ⇒ = 0 x 1 y 1 0,25

Trường hợp 2 2x y− = ⇔ = 2 y 2x− 2 thay vào phương trình đã cho ta được

(x− 1) (x2 − + = ⇒ = ⇒ = 3x 1) 0 x 1 y 0 ( loại ) 0,25

Trường hợp 3 2x y− = ⇔ = 3 y 2x− 3 thay vào phương trình đã cho ta được

Trường hợp 4 2x y− = ⇔ = 6 y 2x− 6 thay vào phương trình đã cho ta được

3 12 2 36 35 0

x − x + x− = do y∈Z+,x> 3, x35 ⇒ ∈x {5,7,35} thử lại không có giá

trị nào thỏa mãn Vậy các cặp (x y, ) (= 1 , 1 à ,) v (x y) (= 4 , 5)

0,25

Câu 4 (3,0 điểm)

a) (1,0 điểm).

Ta có OI // BPnên ∠IOB= ∠OBP= 90 0 Mà ∠BCI = 90 0 suy ra 4 điểm

I

C

B

O, , ,

nằm trên đường tròn ( ω )đường kính BI.

1,0

b) (1,0 điểm).

Gọi I'là trung điểm của PC. Ta có OI //' DPnên ∠COI'=∠CDG (1).

Mà ∠CDG=∠CAG (2). Tam giác CGP vuông tại Gcó GI CI CP

2

1 ' ' = = suy r

'

OCI = ∆

∆ (c.c.c), do đó∠COI'=∠I'OG (3).

0,5

Từ (1),(2),(3) ta có ∠CAG= ∠I'OGsuy ra 4 điểm I ,'A,O,Gnằm trên một

đường tròn( ω ' ). Ta có℘O/(ω) = ℘O/(ω)' = 0 0,5

2

1

AG là trục đẳng phương của hai đường tròn ( τ )và ( ω ' ). BC là trục đẳng

phương của hai đường tròn ( τ )và ( ω ).

Vậy ba đường thẳngAG,BC,OP đồng qui tại S là tâm đẳng phương của ba

đường tròn( τ ), ( ω )và( ω ' ).

0,5

Câu 5 (1,0 điểm)

Ta chứng minh tập “ Đặc biệt” M có nhiều nhất bốn phần tử

Từ hai điều kiện ban đầu thì tập đặc biệt M là tập hợp có các phần tử là số

vô tỉ Ta có các nhận xét sau

Nhận xét 1 Nếu x y z, , là ba phần tử phân biệt của M thì cả ba số

x y y z z x+ + + không đồng thời là số hữu tỷ Ngược lại ta có

2 x y z+ + ∈ ⇒ + + ∈ ⇒ ∈ ¤ x y z ¤ x ¤

Nhận xét 2 Nếu x y z, , là ba phần tử phân biệt của M thì cả ba số xy yz zx, ,

không đồng thời là số hữu tỷ Ngược lại ta có 2 ( ) ( )

à

x yz = xy xz ∈ ¤ v yz∈ ¤

2

x

Vô lý ( từ đ/k số 2)

Nhận xét 3 Nếu x y M, ∈ ⇒xy∈ ¤ , với mỗi z M x z∈ , + ∈ ¤ v y zà + ∈ ¤

Ngược lại theo nhận xét 1 và 2 ở trên thì ta có x z+ ∈ ¤ v yzà ∈ ¤ hoặc

y z+ ∈ ¤ v yz∈ ¤ , với trường hợp đầu do

à

xy∈ ¤ v yz∈ ⇒ ¤ xy yz+ = y x z+ ∈ ¤ vì x z+ ≠ 0,y∈ ¤ vô lí trường hợp hai

tương tự

0,25

Giả sử rằng tồn tại tập “ đặc biệt” có 5 phần tử là a b c d e, , , , theo nhận xét

1 ta có ít nhât hai phần tử có tổng là số vô tỉ chẳng hạn là a v bà Cho nên

ab∈ ¤ theo nhận xét 3 thì a c a d a e+ , + , + là các số hữu tỷ Vì thế cho nên

theo nhận xét 1 các số c d c e d e+ , + , + không đồng thời là số hữu tỷ và theo

các khẳng định trên thì tất cả ba số cd ce de, , là số hữu tỷ vô lý với nhận xét

2

0,25

…… Hết……….

ĐỀ CHÍNH THỨC THAY BỞI CÁC CÂU SAU

Câu 1.Cho hai dãy số( ) ( )x n , y n xác định bởi 1 1

x + x y y + x y n



 Với mỗi số nguyên dương ,đặt n

n n

x z y

= Chứng minh rằng dãy ( )x n hội tụ và tìm giới hạn đó

Câu 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( p q, ) sao cho 7p+ 1 chia hết cho q và 7q+ 1

chia hết cho p

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH

THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC

2014-2015

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát

đề

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Tìm tập xác định của hàm số ( ) 2014 2015cot

1 sin

x

2

x

Câu 2 (1,0 điểm) Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác

nhau và có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M Tính xác suất để số

được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1 >a2 >a3 >a4 >a5 >a6

Câu 3 (1,0 điểm) Tìm hệ số của 4

x trong khai triển Niu – tơn của biểu thức

2 2

n

x

  , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức:

C + C + C + + +n C = .

Câu 4 (1,0 điểm) Cho dãy số ( )u n được xác định bởi: 1 1, 1 , 1, 2,3,

1

n n

n

u

u

+

+ Tính:

lim

2015

n

n

Câu 5 (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm dương:

x − x− =

Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là

tam giác vuông, nội tiếp trong đường tròn (I) Kẻ đường kính AM của đường tròn (I)

Đường thẳng ∆ đi qua đỉnh A, vuông góc với BC và ∆ cắt đường tròn (I) tại điểm N (N khác A) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng M( )5;3 , N( )4; 4 , đường thẳng BC đi

qua điểm P( )4; 2 , đường thẳng AC đi qua điểm 3 5;

2 2

Q 

  và hoành độ điểm B lớn hơn 3

Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, SA SC SB SD= , =

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, trọng tâm tam giác SAC và song song với AC Mặt phẳng (P) cắt các đường thẳng AD, CD lần lượt tại M, N Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và B là trung điểm của đoạn thẳng MN (với O là giao điểm của AC và BD).

Câu 8 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC= = , ·ASB= 60 0, BSC· = 90 0,

120

ASC= Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC, BC và gọi L là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng SK Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và HL vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Câu 9 (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b, ta có bất đẳng thức sau:

a b a + − ≥ +b a b ab− .

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo

danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH

PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC

2014-2015 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên)

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

II ĐÁP ÁN:

(Đáp án có 05 trang)

Câu Nội dung trình bày Điểm

1 (2,0 điểm)

a.(1,0 điểm)

Hàm số f x( ) xác định khi và chỉ khi 1 sinsin− x x0≠0⇔sinsinx x≠10

2 2

x k

π

 ≠ +



⇔ 

 ≠



k

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \ 2 ,

2

S=  π +k π πk k∈ 

b.(1,0 điểm)

2

x

2

(2 4sinx) (2sin cosx x cosx) (2 3 sin 2x 3 sinx)

0,25

(2sinx 1) ( 3 sinx cosx 2) 0

x

− =





0,25

x− x+ = ⇔ x− x= − ⇔ x−π = −

x π π k π x π k π k

0,25

5 2

2 6

 = +



 = +



Vậy phương trình đã cho có nghiệm

5

x= − +π k π x= +π k π x= π +k π k∈¢

0,25

2 (1,0 điểm)

Gọi A là biến cố “chọn ra được một số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời

thỏa mãn a1 >a2 >a3 >a4 >a5 >a6” Khi đó: ( ) 5

9

9.

n M = A (số có sáu chữ số đôi

một khác nhau thì a1 có chín cách chọn, a a a a a2 3 4 5 6 là chỉnh hợp chập 5 của 9

phần tử nên có 5

9

A )

0,25

TH1: a6 = 0thì a a a a a1 2 3 4 5 có 5

9

C cách chọn

TH2: a6 = 2thì a a a a a1 2 3 4 5 có 5

7

C cách chọn

TH3: a6 = 4thì a a a a a1 2 3 4 5 có 5

5

C cách chọn

0,5

( ) 5 5 5

9 7 5 148

n A =C +C +C =

Do đó ( ) ( ) ( ) 5

9

n A

P A

3 (1,0 điểm)

!

n n n

−

Ta có 2 1 3 2 4 3 ( 1) n 111

C + C + C + + +n C =

nC − nC− nC − nC −−

1

n −

+) Nếu n> ⇒ 5 n.2n− 1 + 2n > 5.2 4 + = 2 5 112 vô lí

+) Nếu n< ⇒ 5 n.2n− 1 + 2n < 5.2 4 + = 2 5 112 vô lí

Do đó n= 5

0,5

Theo khai triển nhị thức Niu – tơn ta có:

( )

5

2

k k

Hệ số của x4 ứng với 10 3 − k= ⇔ = 4 k 2 Do đó hệ số của x4 là: 2 2

5 2 40.

C =

0,25

4 (1,0 điểm)

Do u1 > ⇒ 0 u n > ∀ ∈ 0, n ¥ * Ta có 1

1

1 1

n

u

+

+

n

n

+

Suy ra

1

2014 1

n

 + 

lim

n

n

0,25

5 (1,0 điểm)

Đặt f x( ) =x5 − 2014x− 2015 Tập xác định D= ⇒ ¡ f x( ) liên tục trên ¡ 0,25

f = − f = − − = suy ra f ( ) ( )0 f 8 < 0. 0,5

Do đó phương trình 5

x − x− = có ít nhất một nghiệm trong khoảng

6 (1,0 điểm)

Do ·ANM = 90 0 ⇒ AN ⊥MN , kết hợp với AN vuông góc BC suy ra BC song

song với MN hay đường thẳng MN có vtcp là MNuuuur= −( 1;1) Do đó phương

0,25

trình đường thẳng : 4 2 6 0

BC − = − ⇔ + − =x y

AH vuông góc với MN nên AH có vtpt là MNuuuur= −( 1;1) suy ra phương trình

đường thẳng AH: − 1(x− + 4) (1 y− = ⇔ − = 4) 0 x y 0.

Gọi K là giao điểm của AH và BC suy ra K là trung điểm HN và tọa độ K là

nghiệm của hệ phương trình:

( )

3;3

K

( )2; 2

0,25

Gọi E là trung điểm BC, do tứ giác BHCM là hình bình hành suy ra E là

trung điểm HM suy ra 7 5;

2 2

E 

 .

B thuộc đường thẳng BC nên B t( ;6 −t), kết hợp với E là trung điểm của BC

suy ra C(7 −t t; − 1) Ta có 2 11 7 2; , (2 ; 4)

CQ= − −  BH = −t t−

0,25

Do H là trực tâm tam giác ABC nên

CQ BHuuur uuur= ⇔ t− − + −t t t− =

2

5

2

t

t

=





 =

 , kết hợp với t > ⇒ = 3 t 5 Vậy tọa độ các đỉnh

của tam giác ABC là B( ) ( ) ( )5;1 ,C 2; 4 ,A 1;1 (A là giao của đường thẳng AH và

AC)

0,25

Q

P

I

E K

M N

H

C B

A

7 (1,0 điểm)

Tam giác SAC cân tại S, O là trung điểm của AC suy ra SO vuông góc với

AC.

Tam giác SBD cân tại S, O là trung điểm BD suy ra SO vuông góc với BD.

Do đó SO vuông góc với (ABCD).

0,25

Mặt phẳng qua B, G (trọng tâm tam giác SAC) song song với AC cắt SA,

SC, SD lần lượt tại E, F, H Do AC||(EFH) suy ra AC||EF.

M là giao của (EFH) với AD suy ra M là giao của EH và AD, N là giao của

(EFH) với CD suy ra N là giao của FH với CD.

0,25

Do B, M, N là điểm chung của hai mặt phẳng (EFH) và (ABCD) nên B, M,

N cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng này suy ra B, M, N thẳng hàng. 0,25

Do AC||(EFH) suy ra AC||MN GE GH GF

BM HB BN

EF||AC suy ra GE SG GF GE GF

OA = SO =OC ⇒ = (2).

Từ (1) và (2) suy ra BM =BN hay B là trung điểm của MN.

0,25

H

F E

N

M

O

G

D

C B

A

S

8 (1,0 điểm)

Theo định lí hàm số cô sin trong các tam giác SAB, SAC, SBC ta được:

AB a BC a= = AC a= ⇒AC =AB +BC ⇒tam giác ABC vuông tại B 0,25

H là trung điểm AC nên SH vuông góc với AC,

,

BH = AC= SH = SA −HA = ⇒SB =SH +HB ⇒SH vuông góc với

0,5

BH suy ra SH vuông góc với mặt phẳng (ABC).

H, K là trung điểm CA, CB suy ra HK||AB ⇒HK ⊥BC (1)

Mặt khác SH vuông góc (ABC) suy ra SH ⊥BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC⊥(SHK) ⇒BC⊥HL, kết hợp với

HL⊥SK⇒HL⊥ SBC .

0,25

L H

K

C

B A

S

9 (1,0 điểm)

Đặt a b x ab+ = , = ⇒y x2 ≥ 4y, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được

viết lại dưới dạng:y x2( 2 − 2y− ≥ 2) x y( − 1) (1).

TH1 Nếu y> ⇒ > 1 x 2 thì xy2 − + >y 1 2y2 − + >y 1 0

2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2

y x − y− −x y− =x xy − + −y y − y ≥ y y y − + −y y − y

0,5

TH2 Nếu y≤ 1 thì

x y− −y x − y− ≤x y− −y y− y− =x y− − y y−

2

Do đó (1) đúng Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= = 1

0,5

-Hết -SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2011-2012

MÔN TOÁN LỚP 10

Thời gian làm bài 150 phút ( Đề thi có 01 trang, gồm 4 câu)

Câu 1 a) Giải phương trình: x2 − 7x+ = 10 2 x− 2

b) Giải hệ phương trình:

2 2 2

y xy x





Câu 2 Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và có diện tích bằng 1.

Chứng minh rằng: 2 2 2

Câu 3 a) Xác định hình dạng tam giác ABC biết các góc A, B, C của tam giác

đó thỏa mãn hệ thức: sin 2

cos

C SinA B = . b) Cho hình thoi ABCD, biết đường thẳng AB, AC lần lượt có phương trình 2x – y + 7 = 0, 3x – y + 8 = 0 và đường thẳng BC đi qua điểm

M(-4;13

2 ) Lập phương trình đường thẳng CD

Câu 4 Các số thực x, y, z dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 2 2 2 2 2

x xy y y yz z z zx x

-Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Giám thị không được giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ………

Số báo danh :………

-Hết -Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác ở đây:

(GIỮ PHÍM CTRL VÀ CLICK VÀO ĐƯỜNG LINH MÀU XANH NÀY):

http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm