Bài tập sức bền vật liệu

+ Lực dọc N, > 0 khi hướng ra ngoài mặt cắt và gọi là lực kéo; ngược lại là lực nén.+ Lực cắt ọ > 0 khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt, quay thuận chiều kim đông hô - Biêu đồ nội lực là đ

TS PHẠM ĐỨC PHUNG

NHÀ X U Á T BÀN XÂY DỰNG

HÀ NỘI - 200 8

LỜI NÓI ĐẦU

Trong hệ í hống kiến thức nền tàng của k ĩ sư các ngành k ĩ thuật xây dựng công trình, cầu đường, cơ khí, những hiếu biết về các môn cơ học biên dạng, đặc biệt là môn học Sức bển Vật liệu là kiến thức cơ sờ không thê thiếu trong, chương trình đào tạo các cún bộ k ĩ thuật và những nguyên lí vê Sức bền Vật liệu được vận dụng trong tất cả các khâu thiết kế đến thi công.

Cuốn bài tập Sức bền Vật liệu này nhằm giúp đỡ cho sinh viên giám bớt những khó khăn trong quá trình học, đồng thời nam được phương pháp vù một sổ k ĩ năng cần thiết đế giai bài tập sức bền vật liệu.

Trong tài liệu có trình bày khái niệm cơ ban cùa phần lí thuyết, các chỉ dẫn cần thiết về phương pháp, những thí dụ giải bài toán chọn lọc, các bài tập tự giải, đáp số, sổ liệu tra cứu hoặc hướng dẫn cách giai.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Sức bền Vật liệu

cơ hục kết cấu trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, PG S TS Lê Ngọc Hồng;

PG S TS Nguyền Tài Trung và các bạn đồng nghiệp đã tận tình giúp đờ tác gia hoàn thành cuốn sách này.

Trong quá trình biên soạn cuốn sách chắc chan không tránh khỏi những khiếm khuyết nhắt định Tác giá mong nhận được ý kiến đóng góp và p h ê bình cua bạn đọc M ọi ỷ kiến đóng góp xin gưi về: Phòng Biên tập sách Khoa học K ỳ thuật - Nhà xuất ban Xây dựng - 37 Lê Đại Hành - Hà Nội Điện thoại: 04.9741954.

Tác giả

NHỬNG ĐƠN VỊ ĐO T H Ư Ờ N G GẬP (HỆ ĐON VỊ Q U Ố C TÉ: SI)

m; cm, mm, kg; s - đơn vị chiều dài, khối lượng, then gian (là những đơn vị cơ bản), mét, cent’ẵmét, milimét, kilôaam, giây

k G /c n r - đon vị đo ứng suất và áp suất: 1 kG/cm2 = 9,81.i04 N/rn2

kMm - đon vị công: 1 kMm = 9,81 jun

1 mã lực = 75 kGm/s

ĐƠN VỊ ĐO LƯỜNG QUỐC TÊ VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG c ơ HOC

TT Tên đại lượng Tên đơn vị Ký hiệu Quan hệ các đơn vị

2 Lực phân bố N/m lN/m = 0.1 kG/m = 10' 3 kG/m

3 ú n s suất Pascal Pa lPa = 0,lkG/m: = 10'4T/nr

4 Mô đun đàn hồi Pascal Pa lPa = 10' 4 T/m

5 Cường độ tải trọng Pascal Pa lPa = 10 kG/cm: = 10: T/nr

(p - Góc xoay trong mặt phẳng xoy.

A - Chuyến vị theo phương thẳng đứng

5 - Chuyển vị nhỏ theo phương thẳng đứng

Q - Tần sô dao động cúa lực kích thích.

E - Mô đun đàn hồi cùa vật liệu,

p - Lực tập trung

M - Mô men tập trung,

q - Tái trọng phân bồ đều theo chiều dài

Nz - Lực dọc theo phương của trục z

Qy - Lực cắt theo phương trục Y

Qx - Lực cắt theo phương trục X

Mx - Mỏ men uốn xung quanh trục X

My - Mò men uốn xung quanh trục Y

My - Mô men xoắn xung quanh trục z.

[ơ] - úiig suất pháp cho phép

Kd - Hệ số K động cho va chạm

T - Chu kỳ dao động

J - Mỏ men quán tính

[f ] - Độ võng cho phép

+ Lực dọc N, > 0 khi hướng ra ngoài mặt cắt và gọi là lực kéo; ngược lại là lực nén.

+ Lực cắt ọ > 0 khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt, quay thuận chiều kim đông hô

- Biêu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn các thành phần nội lực theo hoành độ z Từ biểu

đồ nội lực xác định được giá trị nội lực lớn nhất đó chính là mặt cat ne uy hiêm

- Trên sơ đồ chịu lực chịu tải trọng q = const thì biểu đổ lực cắt ọ > là bậc nhất và biếu

đổ mô men uốn M x là đường bậc hai

- Nếu trên biểu đổ lực cát QN = 0 thì trên biểu đồ mô men uốn M v đạt cực trị

- Tai mặt có lực tập trung p hoặc mô men tập trung M thì trên biếu đồ lực cắt Qy mỏ

men uốn Mv có bước nháy đung băng giá lực tập trung hoãc mô men tập truns

II BÀI TẬP CHỌN LỌC

Ví dụ 1-1

Cho dầm chịu lực (hình 1-2): P] = P2 = 20 kN;qi = lOkN/m; q2 = 12kN/m;

q3 = 2kN/m;; Mi = 12 kNm; M2 = 15 kNm; a= lm Vẽ biểu đồ lực cắt Qy và mômen uốn Mv

= 4 0 + 3 4 - 1 0 x 2 - 12x1 - 2x1 - 2 x 2 0 = 0 Điêu đó chứng tỏ, xác định phán lực là đúng

b) Vẽ biêu đô lực cat Qy và mômen uốn M x

- Áp dụng phương pháp mặt cắt

- Chọn gốc tọa độ ớ o

- Đoạn OA Xét sự cân bằng phần trái, với điều kiện 0 < Zị < lm

Tổng mômen với trọng tâm mặt cắt 1-1:

n 7 2

£ m M = M x + M 2 - ^ L = 0

Q

M x = 5zf —15Tổng hình chiếu lên trục Oy:

X y = Q y + i O z , = o _► Qy = - I 0 zĐường biếu diễn lực cắt Qy là bậc một, mômen uốn M x là đường bậc hai thể hiện trên hình 1-1 a

- Đoạn AC với điều kiện l m < z2 < 2 n

bàng phân bên trái:

Hình 1-3 Giải:

1) Xác định phản lực

Z m B = 0

Z m A = 0Kiểm tra phan lực xác định có đúrm khôno,

£ y = R A + R B + 1 2 - 2 x 2 - 4 x 4 = 0

2) Vẽ biêu đồ lực cắt Qy và mômen uốn Mx

- Đoạn AC với 0 < Z| < 3m Xét cân bans phần trái

Q y i = R a = 2

Tại mặt cắt Qy = 0 thì mômen đạt cực đại M xmax = 9 (Tm), M max = 6,5 (Tm).

Tại mặt cắt có lực tập trung (Tại E) thì trên biểu đồ lực cắt Qy có bước nhảy đúng bàng giá trị lực tập trung

Tại mặt cắt có mômen tập trung (tại A, B, D) thì trên biểu đồ mômen có bước nhảy lực tập trung đúng bằng giá trị mômen tập trung

Ví dụ 1-3: Cho 1 dầm đặt trên hai gối tựa A và B Chịu tải trọng như hình 1-4

+ Mômen uốn có bước nhảy Mi = 2kNm ( hình 1-4)

Biêu đồ lực cat Qy và mômen uốn Mx thể hiện trên hình 1-4

Ví dụ 1-4: Cho dầm AB chịu lực như hình 1-5 Vẽ biếu đồ Qy và Mx

Ví dụ 1-5 Cho thanh cong 1/4 đường tròn, bán kính R Chịu tải trọng phân bố đều q

có chiều hướng vào tâm o (hình 1 - 6) Hãy vẽ biểu đồ Qy M x Nz

Hình 1-6 Giải:

- Thực hiện mặt cắt 1-1 qua tâm o tạo với phương thăng đứng OB một góc (p hình l-6e

- Họp lực tài trọng phân bố trên đoạn BC có phương hướng vào tâm o là

Biếu đồ lực dọc N z, lực cắt Qy và mômen uốn M x thể hiện trên hình 1-6.

Ví dụ 1-6 Cho thanh cong một nứa hình tròn, đường kính d = 2R chịu lực tập trung

p = qR và M = qR: (hình 1-7) Hãy vẽ biểu đồ lực dọc Nz, lực cắt Qy và mômen uốn M x

0,86-q.R

Hình 1 7

a) Quy ước dấu:

- Lực dọc N z > 0 khi có hướng ra ngoài và luôn tiếp tuyến với đường cong

- Lực cắt Qy > 0 khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay thuận chiều kim đông hô mọt góc 90° thì cùng chiều với lực cắt Qy (giống thanh thẳng)

- Mômen uốn M x > 0 khi làm thanh cong thêm Đối số được chọn là góc ọ

b) Vẽ biểu đồ lực dọc N z, lực cắt Qy, mô men uốn M x

Áp dụng phương pháp mặt cắt:

* Xét đoạn AB: Tưởng tượng có mặt căt 1-1 đi qua tâm o tạo với phương năm ngang

góc (p , xét sự cân bằng phần bên dưới (hình l-7f):

- Mặt cắt 1-1: 0 < Ọ) <71/2 Biểu diễn các thành phần nội lực trên mặt cắt:

+ Lực dọc N z theo phương tiếp tuyến với thanh cong tại điểm cắt, cũng là phương trục OZ, phương trục OZ luôn biến đổi theo đường cong của thanh

+ Lực cất Qy vuông góc với trục OZ tại mặt cắt (biểu diễn theo chiều dương)

+ Mô men uốn M x luôn biểu diễn theo chiều dương (làm thanh cong thêm)

- Biểu diễn các thành phần nội lực trên mặt cất 2-2 ( hình l-7e):

£ z = N z + R c co s(p 2 - H c sin(p2 = 0 => N z = q.R sincp2 - q R C 0S(p2

=> N z = q.R.(sincp2-c o s (p 2)

^ y = Qy - R c sin ọ 2 + H c COS(p2 = 0 => Qy - qR sin <P 2 + c o s ^2

Vẽ biêu đô nội lực N z; Qy và mômen uốn M x theo góc (p2 thê’ hiện trên hình 1-7

Vi dụ 1-7 Cho một khung phắng ABCDE chịu tải trọng phân bố đều q, lực tập trung

p và mô men tập trung M như hình 1-8 Vẽ biểu đồ lực dọc N z, lực cắt Qy và mô men uốn M x

Tưởng tượng mặt cắt 1-1 cách gốc tọa độ a một khoảng

Z \ Với điều kiện 0 < Z ị < a Xét sự cân bằng của phần

dưới (Đối với khung trục z bao giờ cũng chọn theo trục của

thanh) Hệ trục tọa độ chọn như hình l -8e

Ta tưởng tượng mặt cắt 2-2 với điều kiện a < z2 < 2 a

Xét sự cân bàng của phần dưới hình l -8f

Tướng tượng mặt cắt 3-3 cách gốc tọa độ B một khoảng

z3 với 0 < z3 < a Chọn gốc tọa độ ở B Xét sự cân bàng

của phân dưới hình 1 -8g

e) Xét đoạn CD.

Tưởng tượng mặt cắt 4-4 cách gốc tọa độ D một khoảng Z 4 với điều kiện 0 < z4 < 2a

Chủ ỷ: Đối với khung cần kiểm tra sự cân

bàng tại nút c và D thể hiện trên hình l -8i

1-2 K h ô n g cần tính phản lực, vẽ biểu đồ nội lực c ủ a các d ầm cho trên hình 1-10.

M—■ 973

^ U Ì U Ì L U ^

1-4 C ho một dầm chịu tải trọng q p M như hình 1-11 V ẽ b iểu đồ lực cat Q , v à m ô

m en uốn M x

1-6 Vẽ biểu đồ nội lực của thanh c ong chịu lực n h ư hình vẽ 1-13.

l -8ế Một dầm chịu lực như hình 1-15a, b

Ỉ R b = 21/4 3m

1-10 Một d ầm tĩnh định chịu lực hinh 1-17.Số liệu cho bàng Vẽ biểu đồ Q, và M ,?

Z z = 0- Xy = 0 ’ Z m d = o

Kết luận: Nút ở trạng thái cân bằng Nên các biểu đồ nội lực Nz, ọ , , M là đúng.

1-12 Một dầm tĩnh định chịu tải trọng như hình 1-19a Số liệu cho ở bảng Vẽ biêu đô

1-13 Cho thanh cong phảng chịu lực như hình l-20a sỏ' liệu cho bảng Vẽ biểu đồ

lực dọc N/5 lực cắt Ọy và mômen uốn Mx

- Đoạn AC và EB là thẳng; đoạn nửa hình tròn CDE có R = 1

- Bài chia 4 đoạn

- Biểu đồ nội lực thể hiện trên hình l-20b; l-20c; l-20d

h) Xác định phản lực.

Bài chia hai đoạn, sau đó vẽ biểu đồ lực

Ọ và Mx

i) Hướng dẫn: Hệ đối xứng chịu tải trọng

đối xứng nên biểu đồ lực cắt phản đối

xứng và Mx đối xứng Do đó xét nửa hệ còn

suy ra nửa hệ sau

k) Phàn tích dầm chính và dầm phụ tính

dầm phụ trước rồi truyền áp lực lên dầm a 112

chính Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng

nên biểu đồ lực cắt phán đối xứng và M x

đối xứng Do đó xét nửa hệ còn suy ra nửa hệ sau

1.6 a) Mmax = 9/2 q r ; ỌMAX = 3 q r ; N MAX = 2qr

b) Mmax = 9/2 qr2 ; Q MAX = 3qr ; N MAX = 2qr

c) Chọn trục z là trục của thanh, xác đ ịnh phán lực R a = Rb = qr ; H = 0 Sau đó vẽ

b iêu đô nôi lưc n ôi lire.

Xác định phán lực: RA= 2q/; Rr = 2q/

2 Cõng thức ứng suất

- ứng suất pháp ơ z tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang được tính theo công thức:

Trong đó: Nz - trị số của lực dọc trên mặt cắt ngang chứa điểm cần tính ứng suất'

F - diện tích mặt cắt ngang

- ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến n , tạo góc a với phương trục thanh có hai thành phần ứng suất:

b) Hình 2-1

(2-1)

(2-2a)+ ứng suất tiếp Tư : Ta = - ơ z sin 2cc (2-2b)

Trong đó: E - môđuyn đàn hồi [lực/(chiều dài)2];

|J - hệ số biến dạng ngang (hệ số Poisson) của vật liệu |a = (0 4- 0,5)

- Biến dạng dọc giữa hai mặt cắt ngang cách nhau một đoạn l:

JL N : ỉ

i - l E F ị

4 Điều kiện bền và điều kiện cứng

a) Điều kiện bén của thanh chịu kéo, nén đúng tám bằng:

- Từ (2-8) và (2-9) ta có ba bài toán cơ bản:

+ Bài toán thứ nhất: Kiểm tra bền

+ Bài toán thứ hai: Chon kích thước măt cắt ngang: [ f 1 >

1 J > ]+ Bài toán thứ ba: Xác định tải trọng cho phép: [N z] > F.[ơ]

(2-9)

- Trình tự giải hệ siêu tĩnh:

+ Viết pỉurơng trình cân bằng tĩnh học có chứa nội lực hoặc phản lực cần tìm

+ Viết phương trình biến dạng của hệ (dựa vào trạng thái biến dạng hệ).

+ Kết hợp giải hệ phương trình cân bằng tĩnh học và hệ phương trình cân bằng biến dạng xác định các nội lực và phản lực, ứng suất và biến dạng

a) Vẽ biểu đồ lực dọc Nz = ?

Chia thanh làm ba đoạn AB, BC, CD áp dụng phương pháp mặt cắt, tính giá trị nội lực trên các đoạn:

Nội lực trên đoạn AB và BC là : Nz = 60kN

Nội lực trên đoạn CD là : Nz = 180kN (hình 2-2a)

Vậy chuyến vị trí của B so với D là: A/B = lmm

- Chuyên vị của điểm A với B là:

N AR.2a 60x103x2x103 A/a = = - - = l,2inm

N BC N.a Ơ

tgcp2 = ^ = ^ - = - = e

a EF2.a E Thí dụ 2:

Xác định độ dãn dài của một tấm làm bằng hợp kim nhôm, có tiết diện ngang thay đổi, biết E = 0,7.105 N/m2; 5 = 8 mm; b =20 mm; p = 1,2 kN (hình 2-3)

Hình 2-3 Giải:

Đế xác định độ dãn dài của một tấm có tiết diện thay đổi liên tục, áp dụng công thức (2-5):

Diện tích tiết diện ngang tương ứng với hoành độ z là:

Fz = bz ô Tim b2 = ? b z = —Thay giá trị vào biểu thức (a)

1.5/

0,5/

A/ p/ , - ln3 „ Thay số: A/ = -— - - = 0,216mmI,2x l0 3 x400

2Ebô 2 x 0 , 7 x 1 0 ^ x 2 0 x 8

Thí dụ 3:

Cho một thanh bị ngàm hai đầu,

M ột phương trình hai ẩn s ố RA và R B, ta phải thêm m ột phương trình nữa, đó là

phương trình biến dạng tại ngàm B (hoặc ngàm A) bằng không

Ta tưởng tượng bò ngàm B, và thay vào đó một phản lực R B chưa biết, điều kiện biến dạng do phản lực R B và lực p gày nên tại ngàm B là:

Thay số tìm được R B = 4x 104N ( Biểu đồ lực dọc hình 2-4)

Dấu dương chứng tỏ chiều phản lực ta chọn ban đầu là đúng, thay vào (1) ta tìm được

Thí dụ 4:

Dầm tuyệt đối cứng AC, có trọng lượng trên một mét dài là q và chịu lực tập trung p như hình 2-5a Thanh BD có trọng lượng riêng Ỵ , diện tích F, ứng suất cho phép [ ơ ] Hãy tìm vị trí khớp B sao cho trọng lượng thanh treo BD là nhỏ nhất

NBD

F 2 [ ơ ] x s i n aTlianh BD có trọng lượng là G được xác định:

- Xác định nội lực: £ m A = 0 —» Nị = —

S m D = N, x 2 a - 2 N , x a x c o s a = 0 —» N , = N,

cos a 2 cos aChuyển vị tại điểm G là:

+ Chiều dài thanh 2 là: /, = 3/

2EFcos aChuyển vị của điểm B là (hình 2-6b): A/B = A/| + 2GG| =

Thí dụ 6:

Cho bể nước đặt trên hệ thanh; có sơ đồ tính như

hình 2-7 Cho [ơ]k = 1 6 k N / c m 2 ; [ơ]n = 1 0 k N / c m 2;

(a)(b)

(c)

(d)

(e)

[ N J = 280

Thanh thứ nhất hai chữ [ ghép Tra bảng rC)CT8240-56: [Fị ]' = 14cm2

Chọn thép chữ ] N012 có [F2] = 13,7cm2

Trong kỹ thuật diện tích này sẽ nhỏ hơn 5% là được: ô% = ——Y h l = 0,02%

Cũng tương tự tìm số liệu thép chữ ] cho thanh thứ 3 là N08 có: f t ] = 9,91cm:

- Diện tích của thanh 2 chịu kéo: [F2 ] > 1 2 Í^L = 4 5 52(cm2)

- Diện tích một thanh thép góc không đều cạnh là: [F2]' = 2 ,26cm 2

a) Hộ một bậc siêu tĩnh: l z = 0 -> Ra + Rb = 2 P ( 1 )

Tưởng tượng bỏ ngàm A và thay vào đó phản lực Rạ (hình 2-8b) Ta được hệ tĩnh định Muốn hệ (b) giống hệ siêu tĩnh (a) ta thêm phương trình biến dạng là:

- Ưng suất trong đoan DH: ƠDH = ——

6Fp

- Ưng suất trong đoạn HC: ƠHC =

12F 7P

- Ưng suất trong đoan BC: ƠBC = ——

12Fc) Vẽ biểu đồ chuyển vị

- Chuyến vị tại mặt cắt H: A/r = A/Ar + AIru = _ _ + = —r-r

AC CH 12EF 12EF 3EF

- Chuyến vi tai D: A/D = A/H + A/HD = — — + ■

3EF 12EF 12EF 4EF Biếu đồ chuyển vị thể hiện hình (2-8e)