chuyên đề tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau

 Bằng cách làm tợng tự ta có thể làm thêm các bài sau:1.. Đặt dãy tỉ số bằng một số k hoặc 1 k nhng phải bình phơng hai vế của đẳng thức tìm đợc để đi tìm các đẳng thức mà có một vế n

Ph ¬ng ph¸p gi¶I mét sè bµi to¸n tØ lÖ thøc

 D¹ng 1 : chøng minh mét d·y tØ sè b»ng nhau

 Trong d¹ng nµy chóng ta cÇn chi thµnh mét sè lo¹i ®iÓn h×nh sau:

Lo¹i 1: Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña mçi tØ sè víi mÉu t¬ng øng.

* VÝ dô 1: Cho cy-bz az-cx bx-ay

a b c

= =

x y z

 Lêi gi¶i:

Ta cã cy-bz az-cx bx-ay

 cxy - bxz ayz -cxy bxz -ayz cxy - bxz + ayz -cxy + bxz -ayz2 2 2 2 2 2

 cy - bz

x = 0  cy-bz = 0  cy = bz 

b c

=

y z (1)

Vµ az - cx

y = 0  az = cx 

x  (2)z

Tõ (1) vµ (2) ta cã a b c

x y  (§PCM)z

* VÝ dô 2: Cho 2 3 3 2

  Chøng minh r»ng:

a  b c

 Lêi gi¶i:

Ta cã 2 3 3 2

 2 23 2.3 22 3 3.22

= 2 3 62 22 2 3 6

 2bz 3cy

a



= 0  2bz-3cy = 0 

b c (1)

Vµ 3

2

cx az

b

 = 0  3cx-az = 0 

3

a  c (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã

a  b  c (§PCM).

* VÝ dô 3: Cho 4 5 5 3 3 4

a  b  c

 Lêi gi¶i:

 12 215 20 122 15 202

  = =

 4 5

3

bz cy

a



= 0 vµ 5 3

4

cx az b

 = 0

 4bz -5cy = 0 

b  c (1)

Và 5cx -3az = 0 

c a (2)

Từ (1) và (2) ta có

a  b  c (ĐPCM).

 Tơng tự ta có thể cho HS làm các bài sau:

1 3 4 4 2 2 3

x  y  z

2 7cy 5bz 2az 7cx 5bx 2ay

  CMR: 2a 5b 7c

x  y  z

3 bz cy cx az ay bx

  .CMR: x y z

a b c

Loại 2: Đặt dãy tỉ số bằng nhau bằng hằng số k hoặc 1

k, sau đó tìm ra các đẳng thức cùng

bằng nhau để đi đến một dãy tỉ số cần chứng minh.

* Ví dụ 1: Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn:

a b c  a b c   a b c Chứng minh rằng:

x y z  x y z   x y z

 Lời giải:

Ta đặt:

a b c  a b c   a b c =k

Ta có:

2 2

4 4

x

k

y

k

a b c c

k





  









 











2 2

x ka kb kc

y ka kb kc











2

x ka kb kc









Cộng từng vế ta có: x+2y+z= 9ka  1

a

x y z  k

Lại có

2 2

x ka kb kc

y ka kb kc











2

y ka kb kc







 Cộng từng vế ta có: 2x+y-z = 9bk  1

b

Tơng tự ta cũng có 1

c

Khi đó ta có

x y z  x y z   x y z (ĐPCM)

* Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:

a b c  a b c   a b c Chứng minh rằng:

x y z z y  x  x y z

 Lời giải:

Ta đặt:

k

a b c  a b c   a b c 

Khi đó ta có:

2 2

4 4

x

k

y

k

a b c c

k





  









 











2 2

x ka kb kc

y ka kb kc











2

x ka kb kc









Cộng từng vế ta có: x+2y+z = 9ak  1

a

x y z  k

Lại có

2 2

x ka kb kc

y ka kb kc











2

y ka kb kc







 Cộng từng vế ta có: z-y-2x = 9bk  1

b

z y  x  k

Tơng tự ta có: 1

c

x y z  k

Từ các kết quả trên ta có

x  y z   z y   x  x  y z  (ĐPCM)

* Ví dụ 3: Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:

a b c  a b c   b a c Chứng minh rằng:

x y z  x y z   x y z

 Lời giải:

Ta đặt:

k

a b c  a b c   b a c 

Khi đó ta có:

2 2

4 4

x

k

y

k

a b c c

k





  









 







  





2 2

x ka kb kc

y ka kb kc











2

x ka kb kc









Cộng từng vế ta có: x+2y-z = 9ak  1

a

x y z  k

Lại có

2 2

x ka kb kc

y ka kb kc











2

y ka kb kc







 Cộng từng vế ta có: 2x+y+z = 9bk  1

b

x y z   k

Tơng tự ta có: 1

c

x y z  k

Từ các kết quả trên ta có

x y z  x y z   x y z (ĐPCM)

 Bằng cách làm tợng tự ta có thể làm thêm các bài sau:

1 Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:

b c a  b c  a c b a

Chứng minh rằng:

x y z z x y z x y

2 Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:

a b c  a b c   b c  a

Chứng minh rằng:

x y z  x y z   y z  x

Loại 3 Đặt dãy tỉ số bằng một số k hoặc 1

k nhng phải bình phơng hai vế của đẳng thức tìm

đợc để đi tìm các đẳng thức mà có một vế nh nhau.

* Ví dụ 1: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:

Chứng minh rằng:

 Lời giải:

Đặt

Khi đó ta có:

2 2 2

z xy ck





















y xy z x z b k









Lại có:

2

2

2

y zx bk

z xy ck





















(4) (5) (6)

x y x z y z xyz abk

x z x y yz xy z ack

y z xy xz x yz bck

Lấy (1)-(6) ta có : x(x3+y3+z3-3xyz) = k2(a2-bc) 

2

x y z 3xyz a bc



Lấy (2)-(5) ta có: y(x3+y3+z3-3xyz) = k2(b2-ac) 

2

x y z 3xyz b ac



Lấy (3)-(4) ta có: z(x3+y3+z3-3xyz) = k2(c2-ab) 

2

x y z 3xyz c ab



Khi đó ta có :

* Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:

Chứng minh rằng:

 Lời giải:

Đặt

Khi đó ta có:

2 2 2

6











( 6 ) (4 3 ) 4 (9 2 ) 9



















Lại có:

2 2 2

6











( 6 )(4 3 ) 2 ( 6 )(9 2 ) 3 (4 3 )(9 2 ) 6











Mặt khác:

Lấy (1)-(6) ta có : x(x3+8y3+27z3-6xyz) = k2(a2-6bc) 

2

x 8y 27z 6xyz a 6bc

 Lấy (2)-(5) ta có: 2y(x3+8y3+27z3-6xyz) = k2(b2-ac)



2

x 8y 27z 6xyz 4 3 c

2

 Lấy (3)-(4) ta có: 3z(x3+8y3+27z3-6xyz) = k2(c2-ab)



2

x 8y 27z 6xyz 9 2

3



Khi đó ta có

 Bằng cách làm tợng tự ta có thể cho HS làm thêm các bài sau:

1 Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:

Chứng minh rằng:

2 Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:

Chứng minh rằng:

3 Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:

Chứng minh rằng:

Loại 4: Đặt dãy tỉ số bằng hằng số k hoặc 1

k sau đó cộng trừ một cách hợp lý đẳng thức tìm

đợc ta sẽ có kết quả của bài toán

Ta xét một số ví dụ sau:

* Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:

a(y+z) = b(x+z)= c(x+y)

Chứng minh rằng:

a b c b c a c a b

 Lời giải:

Đặt a(y+z) = b(x+z)= c(x+y) = k

Ta có

(1) (2) (3)

k

y z

a k

z x

b k

x y

c



 







 







 



Lấy (!) - (2) ta đợc: y-x = k b a( )

ab



 x y k

a b ab





c a b abc







Lấy (2) - (3) ta đợc: z-y = ( )

( )

 Lấy (1) - (3) ta đợc: x-z = ( )

Khi đó ta có

a b c b c a c a b

   (ĐPCM).

* Ví dụ 2: Cho ba số x,y,z khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:

z(a+b) = x(b+c)= y(a+c)

Chứng minh rằng:

 Lời giải:

Đặt z(a+b) = x(b+c)= y(a+c) = k

Ta có:

(1) (2) (3)

k

a b

z k

b c

x k

c a

y



 







 







 



 Lấy (1) – (2) ta đợc: a-c = ( )

 Lấy (2)-(3) ta đợc : b-a = ( )



Lấy (1) - (3) ta đợc: b-c = ( )

 Khi đó ta có:

* Ví dụ 3: Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:

a(y+z) = b(z-x)= c(y-x)

Chứng minh rằng:

c b a a b c b c a

 Lời giải:

Đặt a(y+z) = b(z-x)= c(y-x) = k

Tacó:

(1) (2) (3)

k

z y

a k

z x

b k

y x

c



 







 







 



 Lấy (1) - (2) ta đợc: x+ y = k b a( )

ab



 x y k

b a ab





c b a abc





 Lấy (2) - (3) ta đợc: z-y = ( )

( )

 Lấy (1) - (3) ta đợc: x+z = ( )

 Bằng cách làm tợng tự ta có thể cho HS làm thêm các bài sau:

1 Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn: a(y+z) = b(x-z)= c(x-y)

Chứng minh rằng:

c b a a c b b c a

2 Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:

a(z-y) = b(z+x)= c(x-y)

Chứng minh rằng:

c c b b c a c a b

 Dạng 2 : Từ một dãy tỉ số bằng nhau chứng minh một đẳng thức:

Với loại này có rất nhiều loại ở đây tôi đề cập đến ba loại mà cách giải khá quen với HS trong quá trình làm và có thể từ đó HS thấy rằng với cách đó có thể vận dụng vào các bài toán rất hiệu quả

Loại 1: Đặt dãy tỉ số bằng k hoặc 1

k từ đó ta tính giá trị hai vế của đẳng thức và so sánh:

* Ví dụ 1: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: x y z

ab  c

Chứng minh rằng:

 

 

 Lời giải:

Đ ặt x y z

a b  = k Ta có : x=ka, y=kb và z=kcc

Khi đó:

x  y  z =

 

2

(a b c)

x y z

 

  =

2



  (2)

Từ (1) và (20 suy ra

 

  (ĐPCM).

* Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: x y z

ab  c

Chứng minh rằng:

1

 



 Lời giải:

Đ ặt x y z

a b  = k Ta có : x=ka, y=kb và z=kcc

Khi đó:

1

Vậy ta suy ra:

1

 



    (ĐPCM)

* Ví dụ 3: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: 3x 4y 5z

a  b  c

Chứng minh rằng:

 

 

 Lời giải:

Đ ặt 3x 4y 5z

a  b  c = k Ta có : 3x=ka, 4y=kb và 5z=kc

Khi đó:

x y z=

 

2

a b c

 

  =

2



  (2)

Từ (1) và (20 suy ra

 

  (ĐPCM).

* Ví dụ 4: Cho:

2002 2003 2004

  Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)=(a-c)2

 Lời giải:

Đặt

2002 2003 2004

  = k Ta có: a = 2002k, b = 2003k và c= 2004k Khi đó 4(a-b)(b-c) = 4(2002k-2003k)(2003k-2004k) = 4k2

(a-c)2 = (2002k- 2004k)2 = 4k2

Suy ra: 4(a-b)(b-c)=(a-c)2 (ĐPCM)

* Ví dụ 5: Cho a,b,c thoả mãn:

x x x Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)= (a-c)

2

Lời giải: Đặt

x x x = k ta có: a= kx, b= k(x+1) và c = k(x+2) Khi đó : 4(a-b)(b-c)=kx k x ( 1) k x( 1) k x( 2)= 4k2

(a-c)2 = kx k x ( 2)2 = 4k2

Suy ra: 4(a-b)(b-c)= (a-c)2 (ĐPCM)

* Ví dụ 6: Cho a,b,c thoả mãn:

x  x x Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)= (a-c)

2

 Lời giải:

Đặt

x  x x = k ta có: a= k(x-1), b= kx và c = k(x+1) Khi đó : 4(a-b)(b-c)=k x( 1) kx kx k x   ( 1) = 4k2

(a-c)2 = k x( 1) k x( 1)2 = 4k2

Suy ra: 4(a-b)(b-c)= (a-c)2 (ĐPCM)

Đôi khi ta cũng có thểỉ dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau một cách hợp lí ta cũng có thể đi

đến kết quả một cách dễ dàng

* Ví dụ 7: Cho bốn số a,b,c,d khác 0 thoả mãn: a b c

b  c d

Chứng minh rằng:

 



 

 Lời giải:

b  c d =

b c d =

 



 

3 3

b

c =

2 2

b b acb a

c c bdc d

Vậy

 



 

(ĐPCM)

 Bằng cách giải tơng tự ta có thể cho HS giải các bài sau:

1 Cho a,b,c thoả mãn:

1997 1996 1995

   Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)=(a-c)

2

2 Cho x,y,z khác 0 thoả mãn:

1 2 3

  Chứng minh rằng: (x+y+z)(1 4 9

) 36

x yz 

Loại 2: Chứng minh một đẳng thức đúng

 Phơng pháp: Ta đặt dãy tỉ số bằng một hằng số k hoặc 1

k nào đó.

* Ví dụ 1: Cho 2 2 2

1 1

a b c



   







  



Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0

 Lời giải:

Đặt x y z

a b  = c

1

k Ta có: xk = a, yk = b và kz = c

Khi đó: a +b + c = 1

 xk+ ky + kz =1

 k( x +y + z) =1

 k2 ( x + y + z)2= 1

 k2 ( x2 + y2 + z2 + 2xy+2yz +2zx) = 1

 k2 ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx) =1

Mặt khác : a2b2c2  1  k2 ( x2 + y2 + z2 ) = 1

Suy ra: 1 + 2( xy + yz + zx) =1  xy + yz + zx = 0

Vậy xy + yz + zx = 0 (ĐPCM)

* Ví dụ 2: Cho 2 2 2

3 9

a b c



   





 



Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0

 Lời giải:

Đặt x y z



  = 1

k Ta có: - xk = a, yk = b và kz = c

Khi đó: a - b - c = 3

 - xk- ky - kz =3

 - k( x +y + z) =3  k2 ( x + y + z)2= 9

 k2 ( x2 + y2 + z2 + 2xy+2yz +2zx) =9

 k2 ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx) =9

Mặt khác : a2b2c2  9  k2 ( x2 + y2 + z2 ) = 9

Suy ra: 9 + 2( xy + yz + zx) =9

 xy + yz + zx = 0

Vậy xy + yz + zx = 0 (ĐPCM)

* Ví dụ 3: Cho 2 2 2

4 16

a b c



   







  



Chứng minh rằng: xy + yz = zx

 Lời giải:

Đặt x y z

a b  = c

1

k Ta có: xk = a, yk = b và kz = c

Khi đó: a - b + c = -4

 xk- ky + kz = - 4

 k( x - y + z) = - 4  k2 ( x - y + z)2= 16

 k2 ( x2 + y2 + z2 - 2xy - 2yz + 2zx) =16

 k2 ( x2 + y2 + z2 ) - 2( xy + yz - zx) =16

Mặt khác : a2b2c2 16  k2 ( x2 + y2 + z2 ) = 16

Suy ra: 16 - 2( xy + yz - zx) =16

 xy + yz - zx = 0

Vậy xy + yz = zx (ĐPCM)

 Tơng tự ta cũng có thể cho HS vận dụng các bài sau một cách tơng tự.

1 Cho 2 2 2

7 49

a b c



   







  



Chứng minh rằng: xy = yz + zx

2 Cho 2 2 2

1 1

a b c



   





  



Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0

Loại 3 Ta có thể chứng minh đồng thời một đẳng thức và một dãy tỉ số: Với dạng này ta lại không đặt dãy tỉ số bằng hằng số k mà ta nên kết hợp các cặp tạo nên các dẳng thức và sử dụng phép biến đổi để đI đến đáp số:

* Ví dụ1: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn: 2 1 2 1 1

2

Chứng minh rằng: a = 2b = c hoặc 4a2b2c2 =1

 Lời giải:

Từ 2 1 2 1 1

2

Ta có: 2 1 2 1

2

2 2

2

b c



2bc 1 ac 1

  1 1



    (

Nhân từng vế của ba đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:

(a-2b)(2b-c)(a-c) = 2

2

b c bc

 c a ac

 2 2

b a ab



4

a b c

Suy ra: (a-2b)(2b-c)(a-c) - (2 )( 2 2 2)(2 )

4

a b c

= 0

 (a-2b)(2b-c)(a-c) 1- 2 2 21

4a b c  = 0  (a-2b)(2b-c)(a-c) = 0 hoặc 1- 2 2 21

4a b c = 0

* Nếu (a-2b)(2b-c)(a-c) = 0

Nếu a = 2b  2b = c  a = 2b = c

Nếu 2b = c  a = c  a = 2b = c

Nếu a = c  2b = a  a = 2b = c

* Nếu 1- 2 2 21

4a b c = 0  4a

2b2c2 =1

Vậy a = 2b = c hoặc 4a2b2c2 =1 (ĐPCM)

* Ví dụ 2: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn: 2 1 6 1 3 1

Chứng minh rằng: a = 2b = 3c hoặc 36a2b2c2 =1

 Lời giải:

Từ 2 1 6 1 3 1

Ta có: 2 1 6 1

2

2



    (1)

6 1 3 1

3

3

2 3

c a



    (2)

2 1 3 1 1 1 1 1 2

          (3) Nhân từng vế của ba đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:

(a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 2 3

6

bc

 3 3

c a ac

 2 2

b a ab



36

a b c

Suy ra: (a-2b)(2b -3 c)(a - 3 c) - (2 3 )(32 2 2)(2 )

36

a b c

= 0

 (a-2b)(2b-3c)(a-3 c) 1- 12 2 2

36a b c  = 0  (a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 0 hoặc 1- 2 2 21

36a b c = 0

* Nếu (a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 0

Nếu a = 3c  2b = a  a = 2b = 3c Nếu a = 2b  2b = 3c  a = 2b = 3c Nếu 2b = 3c  a = 3c  a = 2b = 3c

* Nếu 1- 12 2 2

36a b c = 0  36a

2b2c2 =1

Vậy: a = 2b = 3c hoặc 36a2b2c2 =1 (ĐPCM)

* Ví dụ 3: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn: 12 1 4 1 3 1

Chứng minh rằng:3 a = 4b = c hoặc 144a2b2c2 =1

 Lời giải:

Từ 12 1 4 1 3 1

Ta có: 12 1 4 1

4

4

3 4

b c



4 1 3 1

3

4

3

4

b c



    (2)

12 1 3 1 1 1 1 1 4 3

Nhân từng vế của ba đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:

(3a-4b)(4b-c)(3a-c) = 4

4

b c bc

 3 3

ac

 4 3 12

ab

 = (4 )( 3 )(42 2 2 3 )

144

a b c

Suy ra: (3a-4b)(4b - c)(3a - c) - (4 )( 3 )(42 2 2 3 )

144

a b c

= 0

 (3a-4b)(4b-c)(3a- c) 12 2 2

1

144a b c



 (3a-4b)(4b-c)(3a-c) = 0 hoặc 1- 12 2 2

144a b c = 0

* Nếu (3a-4b)(4b-c)(4a-c) = 0

- Nếu 3a = 4b  4b = c  3a = 4b = c

- Nếu 4b = c  3a = c  3a = 4b = c

- Nếu 3a = c  4b = 3a  3 a = 4b = c

* Nếu 1- 12 2 2

144a b c = 0  144a

2b2c2 =1

Vậy: 3a = 4b = c hoặc 144a2b2c2 =1 (ĐPCM

 Tơng tự ta có thể làm bài toán sau:

1 Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn: ab 1 bc 1 ac 1

Chứng minh rằng: a2005+ 20061

b = b

2005+ 20061

2005 2006

1

c a



2 Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn: ab 1 bc 1 ac 1

Chứng minh rằng: an+ 11

n

b  = bn+ 11

n

c  = n 11

n c

a 

 (với n là số tự nhiên lẻ)

 Dạng 3: Tìm x;y;z trong bài toán tỉ lệ thức:

Với dạng này loại bài toán đơn giản là bài toán cho dãy tỉ số bằng nhau và thêm một điều kiện là một đẳng thức phụ thuộc các biến Song ở đây tôi muốn đề cập đến một số bài mang tính nhạy cảm tuy không khó lắm nhng HS thờng khó sử lý một cách thuận lợi cho cách giải.

* Ví dụ 1: Tìm x;y;z khác không thoả mãn 1 1 1

1

 Phơng pháp: Với loại này ta nên hớng dẫn HS kết hợp hai tỉ số thành một đẳng thức để biến đổi, sau đó nhân các kết quả ta sẻ tim ra đợc mối quan hệ đặc biệt của x;y;z Vì dãy tỉ

số bằng 1 nên ta sẻ tìm đợc giá trị của x;y;z.

 Lời giải:

1

   Ta có:

* xy 1 zy 1

x y



   

* zy 1 xz 1

    1 1 x z

y z



   

* xy 1 xz 1

x z



   

Từ các đẳng thức tìm đợc ở trên ta có: