Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian sử dụng phân tích trực giao

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN VĂN LỘC GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015... TRƯỜNG Đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN LỘC

GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN

TUYẾN TÍNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN LỘC

GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN

TUYẾN TÍNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

SỬ DỤNG PHÂN TÍCH TRỰC GIAO

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

0.1 Lý do chọn đề tài 1

0.2 Mục đích nghiên cứu 2

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

0.5 Phương pháp nghiên cứu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Những lí thuyết căn bản của hệ động lực tuyến tính không phụ thuộc thời gian 4

1.1.1 Tính đạt được 5

1.1.2 Tính quan sát được 7

1.2 Phân tích giá trị kì dị của ma trận 9

1.2.1 Phân tích giá trị kỳ dị của ma trận (SVD) 9

1.2.2 Ý nghĩa hình học của giá trị kì dị của ma trận 14

2 Phương pháp phân tích trực giao 16

2.1 Ý tưởng của phương pháp 16

2.2 Trường hợp dữ liệu rời rạc 16

2.3 Trường hợp dữ liệu liên tục 20

2.4 Phương pháp giảm bậc sử dụng phân tích trực giao 22

2.5 Mối quan hệ với phương pháp chặt cân bằng 23

2.5.1 Sơ lược về phương pháp chặt cân bằng 23

2.5.2 Phương pháp POD cân bằng (balanced POD) 24

3 Ví dụ số 26 3.1 Hệ hình thức FOM 27

3.2 Hệ Eady 27

TÓM TẮT NỘI DUNG

Trong thực tiễn, thường xuất hiện những hệ điều khiển mà mô hình toán học của

nó có cỡ rất lớn Thực tế này gây khó khăn cho việc mô phỏng trên máy tính vì làmviệc với hệ lớn thường đòi hỏi máy tính có tốc độ cao và bộ nhớ lớn Do đó xuất hiệnnhu cầu xấp xỉ hệ cỡ lớn bởi hệ cỡ nhỏ, hay còn gọi là giảm bậc của mô hình, để việctính toán được diễn ra thuận lợi Tùy theo thông tin đầu vào và nhu cầu xấp xỉ màngười ta có nhiều phương pháp giảm bậc khác nhau

Luận văn này sẽ trình bày chi tiết phương pháp giảm bậc của hệ điều khiển tuyếntính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp phân tích trực giao (Proper Or-thogonal Decomposition) Ngoài ra chúng tôi cũng phân tích mối quan hệ của nó vớiphương pháp Chặt cân bằng Hai ví dụ số được trình bày để minh họa cho phươngpháp

Lời cảm ơn

Trước tiên tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn - Giảngviên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người thầy đãhướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này.Tôi cũng xin được gửi lời cám ơn chân thành đến các thầy, cô đã và đang tham giagiảng dạy tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Các thầy cô đã nhiệt tình giảngdạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học tại trường

Đồng thời, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp và ngườithân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và viết luận văn

Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tím hiểu, song bản luận văn khôngthể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong muốn nhận được nhữnggóp ý để luận văn này được hoàn thiện hơn

Học viên Cao học Toán K7A, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

˙x(t) đạo hàm củaxtheo biếnt

span(X) không gian con sinh bởiX

diag(σ1, , σn) ma trận chéo với các phần tử đường chéo là σ1, , σn

Λ(A) tập hợp các giá trị kì dị của ma trậnA

Im ảnh của một ma trận/ánh xạ tuyến tính

Ker nhân của một ma trận/ánh xạ tuyến tính

rank(R) hạng của ma trậnR

σi(A) giá trị kỳ dị thứ icủa ma trậnA

trace tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận

Danh sách hình vẽ

3.1 Sai số tuyệt đối của mô hình FOM: bậc giảm r = 20(a) và bậc giảm

r = 30(b) 273.2 Sai số tương đối của mô hình FOM: bậc giảmr = 20(a) và bậc giảm

r = 30(b) 283.3 Sai số tuyệt đối của mô hình Eady: bậc giảm r = 20(a) và bậc giảm

r = 40(b) 283.4 Sai số tương đối của mô hình Eady: bậc giảmr = 20 (a) và bậc giảm

r = 40(b) 29

Danh sách bảng

Mở đầu

0.1 Lý do chọn đề tài

Trong thực tiễn hệ điều khiển xuất hiện thường xuyên; khi sử dụng hệ đó như làmột mô hình toán học trên máy tính, cỡ của hệ thường rất lớn, hàng nghìn đến hàngtriệu biến Với máy tính thông thường, việc mô phỏng trở thành rất khó khăn, chậmchạp do máy tính phải làm việc với dữ liệu lớn Từ đó, xuất hiện nhu cầu xấp xỉ, theonghĩa nào đó, hệ có cỡ lớn bằng hệ có cỡ nhỏ hơn Công việc đó gọi là giảm bậc của

mô hình (model order reduction)

Có ba phương pháp giảm bậc thường dùng (cho hệ tuyến tính, không phụ thuộcthời gian):

• Phương pháp phân tích trực giao-POD (Proper Orthogonal Decomposition)

• Phương pháp chặt cân bằng (Balanced truncation)

• Phương pháp không gian con Krylov

Mỗi phương pháp có những điểm mạnh và điểm yếu riêng Phương pháp POD làphương pháp có ý tưởng và thực hiện tương đối đơn giản; phạm vi của nó khôngchỉ giới hạn cho hệ tuyến tính mà còn có thể áp dụng cho cả hệ phi tuyến Ngoài

ra, chúng tôi cũng muốn nghiên cứu phương pháp này để so sánh với phương phápChặt cân bằng vốn có quan hệ gần gũi với phương pháp POD Chính vì vậy, chúng tôi

đã chọn "Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian sử dụngphân tích trực giao" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn này gồm 3chương

Chương 1: trình bày sơ lược về hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời

gian và định nghĩa cũng như tính chất của phân tích giá trị kỳ dị của ma trận

Chương 2: là chương chính của luận văn Chúng tôi diễn giải ý tưởng của phương

pháp phân tích trực giao, phân tích phương pháp đối với dữ liệu rời rạc, với dữ liệuliên tục, nêu thuật toán thực hiện phương pháp, nêu mối quan hệ của phương phápphân tích trực giao với phương pháp Chặt cân bằng

Chương 3: minh họa phương pháp phân tích trực giao thông qua 2 ví dụ số, phân

tích một số ưu điểm và nhược điểm của phương pháp phân tích trực giao

0.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về phương pháp giảm bậc của hệđiều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian, sử dụng phương pháp phân tích trựcgiao

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung làm rõ các vấn đề sau đây:

- Một số kiến thức liên quan đến phương pháp phân tích trực giao: Hệ động lựctuyến tính không phụ thuộc thời gian, phân tích giá trị kì dị của ma trận

- Trình bày ý tưởng của phương pháp phân tích trực giao, nội dung phương pháp,một số nhận xét, và cuối cùng là áp dụng phương pháp này cho hai ví dụ thực tế

0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp phân tích trực giao trong giảm bậc của môhình điều khiển tuyến tính

• Phạm vi nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian

0.5 Phương pháp nghiên cứu

• Đọc và tìm hiểu một số tài liệu liên quan như sách, bài báo tạp chí, luận án tiến

sĩ, luận văn thạc sĩ

• Sử dụng các kiến thức toán học đã biết để phân tích, so sánh, nhận xét, tổng hợp

• Kiểm chứng các kết quả lý thuyết bằng ví dụ số lập trình trên MATLAB và các

dữ liệu đã được công nhận rộng rãi trong cộng đồng những nhà nghiên cứu về lýthuyết giảm bậc

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Những lí thuyết căn bản của hệ động lực tuyến tính

không phụ thuộc thời gian

Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộcthời gian liên tục dạng

• t ∈ (0, +∞): biến thời gian,

• u(t) ∈Rm: đầu vào hay hàm điều khiển,

• y(t) ∈Rl: đầu ra,

Ở đâyA, B, C, D là các ma trận hằng, nghĩa là chúng không phụ thuộc vào thời gian

t Phương trình thứ nhất của (1.1) được gọi là phương trình trạng thái Để cho gọn,chúng tôi viếtΣ = (A, B, C, D)cho hệ thống (1.1)

Nếu l = m = 1, hệ chỉ có một đầu vào và một đầu ra, do đó, nó được gọi là hệthống đơn đầu vào đơn đầu ra (SISO) Nếum > 1, l > 1, hệ được gọi là đa đầu vào đađầu ra (MIMO)

Giả sử phương trình trạng thái (1.1) được kết hợp với điều kiện ban đầux (t0) = x0,

sử dụng phương pháp biến thiên hằng số, nghiệm của phương trình trạng thái của (1.1)

có thể được viết như sau

Từ đó, đầu ray(t)được tính theo công thức

y(t) = C(eA(t−to ) xo+

Định nghĩa 1.1. • Một trạng tháix ∈ X được gọi là đạt được từ0, nếu có tồn tạimột điều khiển năng lượng hữu hạnu (.) ∈ U, một thời gian hữu hạn tsao cho

x = ϕ t; to, 0, u (.)
.

• Không gian con đạt đượcXr ⊂ Xđược định nghĩa là tập hợp của tất cả các trạngthái đạt được

• HệΣđược gọi là đạt được nếuXr = X.

• Ma trận vô hạn chiềuR (A, B) := h B AB A2 B i được gọi là ma trận đạtđược củaΣ.

Cụm từ "năng lượng hữu hạn" liên quan đến điều khiểnu(.)có nghĩa làucó chuẩnhữu hạn trongU Thông thường, ta hay xétU = L 2 (R+,Rm)

Lưu ý rằng định nghĩa trên chỉ liên quan đến các cặp (A, B) của Σ, tuy nhiênchúng tôi muốn gắn khái niệm này vào một hệ động lực cụ thể

Ma trận đạt được có mối quan hệ chặt chẽ với các gramian đạt được, được địnhnghĩa như sau

Định nghĩa 1.2 Các gramian đạt được hữu hạn tại thời điểmt ∈R+ của hệ thống

• Với mỗit ∈R+,ImP (t) =ImR (A, B).

Dựa trên Định lý 1.1.3, ta có kết quả quan trọng và hệ quả của nó như sau:

Định lí 1.2. • Xr = Im R (A, B).

• X r là mộtA-không gian con bất biến, nghĩa là,AXr ⊂ X r

• Σlà đạt được khi và chỉ khi rank(R (A, B)) = N.

• X r là bất biến đối với phép biến đổi tọa độ.

Theo nội dung Định lý Cayley-Hamilton, hạng của R (A, B) được xác định bởi

kuk2 6kuk2, ∀u (t) ∈ L2(R+,Rm) , ϕ t : 0, 0, u (.)
= x.

NếuΣlà đạt được, bởi một số tính toán đơn giản, chúng tôi có

• Hệ thốngΣđược gọi là quan sát được nếuXuo = {0}

• Ma trận vô hạn chiều O (A, C) := h CT ATCT AT
2CT

iT

được gọi là

ma trận quan sát được củaΣ.

• Các gramian quan sát được hữu hạn tạit ∈R+ là

Định lí 1.3. • Với mọit ∈R+, Xuo =KerO (A, C) =KerQ (t).

• Xuolà A-bất biến.

• Σlà quan sát được khi và chỉ khi rank(O (A, C)) = N.

• Tính quan sát được là độc lập đối với cơ sở.

Tương tự như (1.2), năng lượng trong L 2

R+ ,Rl
của các hàm đầu ra

y(t) = Cx(t)gây bởi trạng tháixtại thời điểmtđược tính bằng

kyk2 = xTQ t
x.

Theo định nghĩa, P và Q là không giảm trong R+ Nếu Σ là đạt được, thì P (t)

là không suy biến và nghịch đảo của nóP−1(t)là không tăng Nếu chúng ta thay đổimột trạng tháixvà sử dụng (1.2), thì thời gian điều khiểnu(.)sẽ chạy từ0đếnx, giảmnăng lượng mà nó tiêu thụ Ta suy ra rằng năng lượng tối thiểu chạy từ0đếnxtại thờiđiểmtlà đạt được khit → ∞ Tương tự như vậy, thời gian trạng tháixhoạt động càngdài, năng lượng quan sát nó tạo ra càng lớn Những điều đó đòi hỏi sự cần thiết phảixác định gramians vô hạn

Định nghĩa 1.4 Đối với một hệ thống ổn địnhΣ = (A, B, C, D),hai gramian đạt được

vô hạn và gramian quan sát vô hạn được được định nghĩa là

Định lí 1.4 Gramian đạt được và gramian quan sát được của hệ thống ổn địnhΣlà những nghiệm của phương trình Lyapunov:

AP + PAT + BBT = 0 (1.5)

ATQ + QA + CTC = 0 (1.6)Bằng những lập luận trên và ký hiệu năng lượng tối thiểu để đạt đượcxtừ0là

1.2 Phân tích giá trị kì dị của ma trận

1.2.1 Phân tích giá trị kỳ dị của ma trận (SVD)

SVD là một phân tích rất quan trọng được sử dụng cho nhiều mục đích khác nhau

cả trong lý thuyết cũng như trong thực tiễn tính toán

Định lí 1.5 Cho A là một ma trận cỡ m × n tùy ý với m > n Khi đó, chúng ta có thể viếtA = U ΣVT, với U cỡm × n và thỏa mãnUTU = I, V cỡ n × nvà thỏa mãn

kAvk22kAvk2 = kAvk2 = kAk2≡ σ

vàUeTAv = UeTukAvk2= 0. Ta suy rauTA V = 0e bởi vì nếu không

đó là điều phải chứng minh.

Định nghĩa 1.5 Các cộtu 1 , , u n của U trong phân tích A = U ΣVT nói trong Định

lí 1.2.1 được gọi là các vectơ kì dị trái Các cộtv1, , vn củaV được gọi là các vectơ

kì dị phải Cácσi được gọi là các giá trị kì dị (Nếum < nSVD được xác định bằngcách xétAT)

SVD có nhiều tính chất đại số và hình học quan trọng, quan trọng nhất là nhữngtính chất sau đây

Định lí 1.6 ChoA = U ΣVT là SVD của ma trận Acỡ m × n, trong đó m >n (Kết quả tương tự chom < n)

1 Giả sử rằng A là đối xứng, với giá trị riêngλi và vectơ riêng trực giao ui Nói cách khác A = U ΛUT là một phân tích riêng của A, với Λ = diag(λ1, λn),

U = [u1, , un], vàU UT = I Khi đó, một SVD củaAlàA = U ΣVT, vớiσi = |λi|

,trong đó Alà ma trận vuông và A = U ΣVT là SVD của

A Cho Σ = diag(σ1, , σn), U = [u1, , un], và V = [v1, , vn] Khi đó, 2n giá trị riêng củaH là±σi, với các vectơ riêng đơn vị tương ứng1/ √

5 NếuAcó hạng đầy đủ, các nghiệm củaminxkAx − bk2làx = V Σ−1UTb.

6. kAk2 = σ 1 Nếu A là ma trận vuông và không kì dị, thì A−1 −1

2 = σ n và

kAk2 A−1

2 = σ1/σn.

7 Giả sử σ1 > > σr > σr+1 = = σn = 0 Thì hạng củaAlà r Hạt nhân của

A, nghĩa là không gian con của vectơv màAv = 0, là không gian kéo dài bởi cột

r + 1 đến n của V: span(vr+1, , vn) Ảnh củaA, không gian con của vectơ có dạngAwvới mọiw, là không gian kéo dài bởi cột1đếnrcủaU: span(u1, , ur)

8 NếuSn−1là hình cầu đơn vị trong Rn : Sn−1= {x ∈Rn : kxk2= 1}vàASn−1là ảnh của Sn−1 dướiA : ASn−1 = {Ax : x ∈Rn, kxk2 = 1} ,thì ASn−1 là một tâm ellipsoid gốc của Rm, với trục chínhσ i u i.

1 Điều này đúng theo định nghĩa của SVD

2 ATA = V ΣUTU ΣVT = V Σ2VT Đây là một phân tích riêng củaATAvới các cộtcủaV là các vectơ riêng và đường chéo củaΣ2 là các giá trị riêng

3 Chọn một ma trậnUe cấp m × (m − n)để hU, Ubi là vuông và trực giao Sau đóviết

AAT = U ΣVTV ΣUT = U Σ2UT =

h

U, Uei

2 Từ đó A có hạng đầy đủ, do đó xuất hiện Σvà Σ

khả nghịch Bây giờ chúng ta thấyhU, Uei là vuông và trực giao như trên nên

Nghiệm được làm gọn bằng cách bỏ bớt các số0đầu tiên, tức làx = V Σ−1UTb

6 Từ định nghĩa, chuẩn2của ma trận đường chéo là giá trị tuyệt đối của số lớn nhấttrên đường chéo Từ đó ta có,

Σ có cùng hạng, cụ thể là hạng r theo giả định của chúng tôi về Σ Ngoài ra v

thuộc hạt nhân của A nếu và chỉ nếu VTv thuộc hạt nhân của UbTAV = Σb, từ

Av = 0 nếu và chỉ nếuUbTAV VTv
= 0 Nhưng hạt nhân của bΣrõ ràng là mởrộng ra bởi cộtr + 1đếnncủa ma trận cấpn × ngốcIn, bởi vậy hạt nhân củaA

được mở rộng ra bởi những cột của V, tức làvr+1 đếnvn Lập luận tương tự cho

thấy rằng ảnh củaA là ảnh thông quaUb của ảnh của UbTAV = Σb, tức là,Ub nhânvớircột đầu tiên của I m, hoặc u 1đếnu r.

Ta còn phải chỉ ra rằng không còn ma trận nào hạngk gần ma trậnA hơn Cho

B là ma trận bất kì hạngk, vì hạt nhân của nó có chiều làn − k Không gian mởrộng ra bởi{v1, , vk+1} có số chiều làk + 1 Từ đó tổng số chiều của chúng là

(n − k) + (k + 1) > n, hai không gian này phải trùng nhau Chọnhlà một vectođơn vị ở giao của chúng Khi đó

1.2.2 Ý nghĩa hình học của giá trị kì dị của ma trận

Cho bất kì ma trận Acấpm × n, coi nó như một ánh xạ từ vectơx ∈Rn đến mộtvectơ y = Ax ∈ Rm Khi đó, chúng ta có thể chọn một hệ trục tọa độ trực giao cho

Rn (nơi các trục đơn vị là các cột củaV) và một hệ trục tọa độ trực giao cho Rm (nơicác trục đơn vị là các cột củaU) sao choAlà ma trận chéo (Σ), nghĩa là, ánh xạ vectơ

điều kiện là ta chọn hệ trục tọa độ trực giao thích hợp cho các miền xác định và ảnhcủa nó.

Chương 2

Phương pháp phân tích trực giao

2.1 Ý tưởng của phương pháp

Có thể nói, tất cả các phương pháp giảm bậc đều dựa trên việc chiếu bài toán lênmột không gian con có số chiều nhỏ hơn không gian trạng thái ban đầu Tùy vào thôngtin có sẵn và mục đích xấp xỉ mà người ta chọn các không gian chiếu khác nhau và vìthế mà sinh ra các phương pháp khác nhau

Trong thực tế, nhiều khi thông tin có sẵn thu được từ đo đạc các trạng thái của hệ

Về mặt kí hiệu, chúng là vectơ trạng thái tại một số thời điểmx (t 1 ) , x (t 2 ) , , x (t n )

Vì việc chọn thời điểm là ngẫu nhiên, sẽ là hợp lí nếu chúng ta cho rằng các trạng thái

đó là phổ biến cho hệ và nó thích hợp để chiếu toàn bộ hệ lên không gian con sinh bởicác trạng thái đó

2.2 Trường hợp dữ liệu rời rạc

Lẽ dĩ nhiên, ta không chọn toàn bộ spanX = span[x (t1) , , x (tn)] làm khônggian chiếu Ta luôn mong muốn tìm được một nhóm nhỏ các vectơ, tốt nhất là trựcgiao,{vi}ki=1, k 6d , sao cho nhóm này là đại diện tốt nhất củaX Nhiệm vụ này cóthể được viết lại như một bài toán tối ưu hóa