SKKN Bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

TÊN ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 2.. Thực trạng liên quan đến vấn đề đang nghiên cứu: Trong quá trình giảng dạy về chuyên đề Phương tr

Trang 1

1 TÊN ĐỀ TÀI:

BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

2 ĐẶT VẤN ĐỀ:

2.1 Tầm quan trọng của vấn đề được nghiên cứu:

Về bài học Phương trình đường thẳng trong không gian trong sách

giáo khoa Hình học lớp 12 chỉ đưa ra một cách chung chung chưa phân dạngcụ thể tường minh, với thực tế giảng dạy, ôn luyện cho học sinh lớp 12, tôinhìn thấy viết phương trình đường thẳng trong không gian là dạng toán cơbản thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ, đề thi tốtnghiệp cũng như đề thi Đại học, Cao đẳng Nhằm giúp cho các em có đủ tựtin hơn thì người thầy phải có cách hệ thống hóa và phân dạng các dạng bàitập cơ bản để cho số đông học sinh có thể tiếp thu tốt phương trình đườngthẳng

2.2 Thực trạng liên quan đến vấn đề đang nghiên cứu:

Trong quá trình giảng dạy về chuyên đề Phương trình đường thẳng

trong không gian bản thân tôi nhận thấy một điều học sinh rất lúng túng trong

việc viết phương trình đường thẳng, bởi lẻ nó rất đa dạng, rất trừu tượng chưamang tính hệ thống và phân dạng làm cho học sinh không hình dung đượccách viết phương trình của đường thẳng

2.3 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình toán THPT, dạng toán viết phương trình đườngthẳng là một trong cách dạng bài tập cơ bản, đặc biệt trong các kỳ thi học sinhthương xuyên gặp dạng bài tập này Là một giáo viên qua nhiều năm giảngdạy, tôi rất trăn trở về vấn đề này Vấn đề tôi thường đặt ra làm thế nào họcsinh làm tốt dạng toán viết phương trình đường thẳng trong không gian Dođó, tôi chỉ có một lao động nhỏ là hệ thống lại và phân dạng các bài toán viếtphương trình đường thẳng, đưa ra phương pháp giải từng dạng rỏ ràng và dễhiểu

2.4 Giới hạn nghiên cứu của đề tài

Phạm vi nghiên cứu cho đề tài này ở hai lớp 12/3 và 12/11 tại trườngTHPT Nguyễn Hiền năm học 2012-2013

Trang 2

3 CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Để xây dựng được đề tài này, tôi dựa trên cơ sơ kiến thức đã được họcvà đọc nhiều tài liệu nói về chuyên đề phương trình đường thẳng trong khônggian

4 CƠ SỞ THỰC TIỄN:

Từ năm học 2007-2008 cho đến năm học 2011-2012, tôi luôn đượctrường phân công dạy Toán lớp 12 Đây là điều kiện tốt nhất cho tôi thực hiệnnghiên cứu đề tài này

5 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:

5.1 Cơ sở lý thuyết:

Nhắc lại phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm

( ; ; )

M x y z và nhận vectơ chỉ phương u ( ; ; )a b c có phương trình tham số là:

0 0 0

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm

- Dựa vào giả thiết để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d

- Đường thẳng d được cho bởi:

Trang 3

0 0

là VTPT của mặt phẳng (P))

b)Các ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;2;3), ( 3; 4; 4)B 

b) Đường thẳng d đi qua điểm C(3; 2; 1)  và song song với đường thẳng

- Vậy phương trình tham số của



- Đường thẳng d được cho bởi: : (3; 2; 1) : (3; 2; 1)

C C

D D

Nhận xét: Qua ba ví dụ trên cho ta thấy bài toán viết phương trình

đường thẳng ở dạng 1 không cho trước vectơ chỉ phương u mà phải dựa vào

Trang 4

giả thiết khác nhau để suy ra vectơ chỉ phương Vì vậy cần nhấn mạnh chohọc sinh tầm quan trọng của việc nắm các chú trên đã nên trên.

* DẠNG 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M x y z( ; 0 0 0 ), có vectơ chỉ phương u thỏa mãn ua u , b (a và b không cùng phương)

b Các ví dụ:

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;3;3) và song song với hai

mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình sau:

Trang 5

- Đường thẳng d được cho bởi: : (1;3;3)

(1;5; 3)

A d

Nhận xét: Qua ví dụ b), giả sử đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

(R), ta có ví dụ c) sau đây:

c) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

( ) :R x 2y 2z  4 0 và vuông góc với đường thẳng : 4 2

Trang 6

- Vậy phương trình chính tắc của : 1 1

- Vậy phương trình chính tắc của : 3 1 1

VTPT của hai mặt phẳng ( ),( )   : n                (1; 1; 1);                 n  (2; 2; 1)  

- Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng d

- Lấy điểm M ( 3;1; 7)  thuộc cả hai mặt phẳng ( )  và ( ) 

- Đường thẳng d được cho bởi: : ( 3;1; 7)

(1;1;0)

M d

Trang 7

Nhận xét : Cách giải 2 gọn hơn cách giải 1, cách giải 1 học sinh rất

khó chọn điểm đi qua của đường thẳng d mà thuộc cả hai mặt phẳng ( ),( )  

* DẠNG 3.1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x y z( ; ; ) 0 0 0 , vuông góc với đường thẳng  1 và cắt đường thẳng  2

a) Cách giải:

- Gọi N   d 2, khi đó N  2 nên suy ra tọa độ của điểm N theo tham số t.

- Tính tọa độ MN theo tham số t.

- Xem MN là VTCP của d và u 1

là VTCP của  1

- Vì d  1 nên MN u   1 0 Giải phương trình tìm ra t và suy được VTCP MN

- Kết luận: Phương trình của đường thẳng d

là VTCP của đường thẳng d.

- Vectơ CP của đường thẳng  1 :u 1 (1; 2; 1) 

Trang 8

- Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d : 1 2 3

- Tính tọa độ của điểm N và tọa độ MN theo tham số t.

- Xem MN là VTCP của d và u1 là VTCP của  1

- Vì d  1 nên MN u   1 0 Giải phương trình tìm ra t và suy được VTCP MN

- Kết luận: Phương trình của đường thẳng d

b) Ví dụ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M ( 3;1;3) và đườngthẳng:

1 :

là VTCP của đường thẳng d.

- Vectơ CP của đường thẳng  :u  (1; 2;1)

Trang 9

phương trình chứa ba ẩn s, t, k.

- Khi đó đường thẳng d được cho bởi: d: M x y z( ; ; )0 0 0

- Kết luận: Phương trình của đường thẳng d.

b) Ví dụ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 1;1)  và hai đườngthẳng có phương trình: 1

1 2 :

- Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Trang 10

- Do d  ( )P nên AB và n cùng phương hay tồn tại số k 0 sao cho AB k n

,

giải hệ phương trình chứa ba ẩn s, t, k.

- Khi đó đường thẳng d được cho bởi: d: A

b) Ví dụ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

( ) :P x 2y z  1 0  và hai đường thẳng có phương trình

- VTPT của mặt phẳng (P): n  (1; 2;1)

- Do d  ( )P nên AB và n cùng phương hay tồn tại số k 0 sao cho AB k n

3 4

- Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

7 8

9 8

* DẠNG 4.3: Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc

chung của hai đường thẳng  1 và  2.

- VTCP của  1: u 1

và VTCP của  2: u2

Trang 11

- Gọi u là VTCP của d, khi đó, ta có: 1 1

phương trình chứa ba ẩn s, t, k.

- Khi đó đường thẳng d được cho bởi: d: A

Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai

đường thẳng  1 và  2

7 7 7 :

(1;5;3)

A d

Trang 12

- Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

2 7 1

7 1 3 7

* DẠNG 4.4: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P),

vuông và cắt đường thẳng .

- VTCP của : uvà VTPT của (P): n

- Gọi u là VTCP của d, khi đó: d d ( )P u n

- Tìm tọa độ giao điểm I của và mặt phẳng (P)

- Khi đó đường thẳng d được cho bởi: d: I

- Gọi I   ( )P , Khi đó: I   nên I  (2 ; 2 ; )t t t

Do I ( )P nên ta có: 2t 4t t    5 0 t 1, suy ra: I   ( 2; 2; 1)

- Khi đó, đường thẳng d được cho bởi: : ( 2; 2; 1)

(4; 3; 2)

I d

- Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là: 2 2 1

x y z

* DẠNG 4.5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, cắt đường

thẳng  và song song với mặt phẳng (P).

Trang 13

- Vectơ PT của mặt phẳng (P): n

- Gọi I  d, khi đó I   , suy ra tọa độ điểm I theo tham số t.

- Tính MI

- Vì d//( )P nên MI n

 

, tức là MI n   0, giải phương trình tìm ra t.

- Khi đó đường thẳng d được cho bởi: d: M

b) Ví dụ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 2;3)  , mặt phẳng

(P): 2x y z    5 0 và đường thẳng : 1

x y z

   Viết phương trình đường

thẳng d đi qua M , cắt đường thẳng  và song song với mặt phẳng (P).

Giải

- Vectơ pháp tuyến của (P): n  (2;1; 1) 

- Gọi I  d, khi đó I   I  ( ;1 2 ; 2 )t  t t

( 3; 1; 7), (3;1;7)

M d

- Viết PT đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).

- Tìm tọa độ giao điểm H của d và mặt phẳng (P).

- Khi đó H chính là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

Cách 2:

- Vectơ PT của (P): n

- Gọi H  ( ; ; )x y z0 0 0 là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

- Tính : MH

Trang 14

- Vì MH  ( )P nên MH và ncùng phương, tức là tồn tại số t 0 sao cho

.

MH t n

, suy ra tọa độ điểm H theo tham số t.

- Do H thuộc (P) nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P), giải pt tìm ra tham số t.

- Kết luận tọa độ điểm H.

M M

- Gọi H  d ( )P , khi đó: H d  H(1 ; 3 2 ; 2 3 )   t t  t

- Vì H ( )P nên ta có: 1  t 6 4  t 6 9  t 3 0   t 1

- Vậy tọa độ hình chiếu của M lên (P) là H (2; 1; 1)  

DẠNG 5.2: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d cho

trước.

Cách 1:

Trang 15

- Vectơ CP của d: u

- Viết PT mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d.

- Tìm tọa độ giao điểm H của d và mặt phẳng (P).

- Khi đó H chính là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

M M

 

Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là:

2(x 1) 1(  y 3) 3(  z 2) 0   2x y  3z 5 0 

- Gọi H  d ( )P , khi đó: H d  H t(2 ; 2  t;1 3 )  t

- Vì H ( )P nên ta có: 4 2 3 9 5 0 2

Trang 16

- Viết PTMP (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P)

- Đường thẳng d’ là giao tuyến của mặt phẳng (P) và (Q)

- Viết phương trình đường thẳng d’ (Dạng 2)

Do đó, phương trình mặt phẳng (Q):3x 4y z  19 0 

- Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Trang 17

5.3 Bài tập tự luyện và nâng cao:

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d, biết đường thẳng d:

1) Đi qua hai điểm M(1; 2;3) và N(2;0; 2) 

2) Đi qua điểm I(2;3; 1)  và song song với đường thẳng

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d, biết đường thẳng d

a) đi qua điểm A(1;1;1) và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có

phương trình sau: ( ) :P x 2y z  4 0, ( ) : 2  Q x y  2z  5 0

b) đi qua điểm B(0; 2;1) và song song với mặt phẳng ( ) :R x y z   1 0  vàvuông góc với đường thẳng : 1 1 2

x y z

c) đi qua điểm C ( 3;1; 1)  và vuông góc với hai đường thẳng d d1 , 2 lần lượt có

2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt và vuông với đường

d     và mặt phẳng (P): x 2y z  2 0 

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt cả hai đường thẳng d1vàd2

2) Viết phương trình đường thẳng đi qua vuông góc với mặt phẳng (P),

đồng thời cắt cả hai đường thẳngd1vàd2

3) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời

vuông góc và cắt đường thẳng d1

Trang 18

4) Viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt đường thẳng d2 và song

song với mặt phẳng (P).

5) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1và

2

d

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2;1)  , đường thẳng

d và mặt phẳng ( )  lần lượt có phương trình:

1) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên mặt phẳng ( )  Suy ra tọa độ điểm đối

xứng của A qua mặt phẳng (P).

2) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên đường thẳng d Suy tọa độ điểm đối xứng của A qua đường thẳng d.

3) Tìm hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P).

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng

d đi qua A(1; 2; 2), vuông góc với đường thẳng : 1 2

x y z

   và cách điểm(2;0;3)

B một khoảng lớn nhất

Bài 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

  Viết phương trình đường thẳng d, biết đường thẳng d:

1) Đi qua A và cắt tại M sao cho AM 3

2) Đi qua B và cắt sao cho diện tích tam giác BNC bằng 21

2 3) Vuông góc với mặt phẳng (ABC), d cắt tại D sao cho thê tích khối tứ diện ABCD bằng 19

Trang 19

Bài 10 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có

1) Chứng tỏ hai đường thẳng cắt nhau tại I

2) Viết phương trình đường thẳng d cắt  1 và  2 lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng 3

2

6 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:

Để đánh giá hiệu quả của biện pháp này chúng tôi khảo sát bằng đềkiểm tra 45 phút phần phương trình đường thẳng cho hai lớp 12/3 và 12/11

Đề kiểm tra 45 phút

Câu 1 (6,00 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

(3;2;1), (2;1; 2)

A B  và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x 2y z  2 0 

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng d chứa AB.

2) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên mặt phẳng (P).

3) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P).

Câu 2 (4,00 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

1) Chứng tỏ hai đường thẳng trên chéo nhau

2) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ, vuông góc với d1 vàcắt d2

Kết quả kiểm tra cho thấy:

Phương pháp Lớp Tổng sốHS Điểm < 5 Điểm58 910Điểm

Trang 20

Phương pháp cũ 12/11 48 18 23 7

Dựa vào kết quả kiểm tra đánh giá tôi nhận thấy:

- Học sinh dưới điểm trung bình giảm xuống rõ rệt từ 37,5% xuống còn6,3%

- Học sinh điểm trung bình và khá tăng 47,9 – 72,9%

- học sinh giỏi cũng tăng lên 14,6 – 20,8%

Như vậy qua thực nghiệm chúng tôi nhận thấy được hiệu quả của việc ápdụng phương pháp mới

Trang 21

9 TÀI LIỆU THAM KHẢO

TT Tên tác giả Tên tài liệu tham khảo Nhà xuất bản

Nămxuấtbản

1 Nguyễn Văn Dũng – Nguyễn Tất Thu 18 chủ đề Hình Học 12 ĐHQG Hà Nội 2011

2 Phan Huy Khải Bài tập Hình Học 12 Giáo Dục Việt Nam 2011

3 Trần Văn Hạo SGK Hình Học 12 Giáo Dục Việt Nam 2008

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	1,03 MB