Tam giác A’CB vuông tại A’ và hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai
Trang 1TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013
OLYMPIA MÔN: TOÁN, KHỐI: A, A 1, B, D
Thời gian làm bài: 180 phút
ĐỀ THI THỬ LẦN 1
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x= 3−(2m+1)x2+3(m−1)x m− có đồ thị (C m ).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Xác định các tham số m để đường thẳng ( ) : d y=2x−5 cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A, B và C
sao cho OA2+OB2+OC2 =80
Câu 2 (2,0 điểm)
cos x cos x sin x sin x
+ b) Giải phương trình: (4−x) ( 3x− −2 x) =x2+ −x 2 (x∈¡ )
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân 3
3 0
cos sin 2 cos
x
+
=∫
π
Câu 4 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a Tam
giác A’CB vuông tại A’ và hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm
G của tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và AB.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho a ≥ 1, b ≥ 2 và c ≥ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng(phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình chuẩn:
Câu 6.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có AB= 5, đường thẳng
AB đi qua điểm M(1; 2) và đường chéo AC có phương trình x – 3y = 0 Tìm tọa độ đỉnh C, biết đỉnh
A có hoành độ dương.
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y –2 z + 10 = 0 và đường
x− = y+ = z
− Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (d), biết rằng (α) cắt trục hoành tại điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến (P) bằng 3.
Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 2 + 3i| = 5 và z 2 là số ảo
2 Theo chương trình nâng cao:
Câu 6.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 4) 2 + y 2 = 4 Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho từ M kẻ được đến (C) hai hai tiếp tuyến MA, MB (với A, B là các tiếp điểm) sao cho đường thẳng AB qua điểm E(4; 1).
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1
1 ( ) :
x y z
và
2
( ) :
d − = − =
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d 1 ) sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d 2 ) bằng 2 2
Câu 8.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 1
x y
+
HẾT
Thí sinh không đước sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
1179 - Ngô Quyền - Q Sơn Trà - Đà Nẵng - ĐT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths Nguyễn Văn Bảy Trang 1
Trang 2TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
OLYMPIA ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: Toán – Khối A, A1, B, D
(Đề thi thử lần 1)
Khi m = 1, ta có y = x3–3x2 – 1
+ TXĐ: D = R
Sự biến thiên:
+ Giới hạn tại vô cực:
+∞
→ y
−∞
→ y
xlim
025
+ Chiều biến thiên :
y’ = 3x2– 6x
y’ = 0 ⇔–3x2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
Hàm số đồng biến trên hai khoảng ( –∞; 0) và (2; +∞) và nghịch biến trên khoảng (0;
2)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, yCĐ = –1 và đạt cực tiểu tại điểm x = 2 và yCT = –5
0,25
Bảng biến thiên :
x –∞ 0 2 +∞
y’ + 0 – 0 +
y
–1 +∞
–∞ –5
0,25
+ Đồ thị:
0,25
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2
1
x ( m )x ( m )x m x
x ( m )x ( m )x m ( x )( x mx m )
x g( x ) x mx m ( )
=
⇔
0,25
Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt
⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
2
4
∆ >
0,25
Xem xA = 1 thì xB, xC là nghiệm của (1) Do đó x B +x C =2m, x x B C = −m 5 0,25
Trang 3(2,0 đ)
Ta có A(1; – 3), B(xB; 2xB – 5) và C(xC; 2xC – 5)
2 2 2
( x x ) ( x x )
( x x ) x x ( x x )
2 2
m ( m ) m
2
kiện)
0,25
a) Giải phương trình: 2 3 2 22 1
1
cos x cos x sin x
sin x
+
2
x≠ − + ππ k
2
cos x cos x sin x sin x
(cos x cos x ) ( cos x ) sin x
0,25
2
0
cos2x sin x
sin x sinx
1 2
sinx
5
x π k x π k
b) Giải phương trình (4−x) ( 3x− −2 x) =x2+ −x 2 (1)
Điều kiện: 2
3
x≥
3
x≥ ta có 3x− +2 x ≠0 Do đó
(1)⇔ −4 x (3x− − =2) x x + −x 2 3x− +2 x
0,25
1
x
=
⇔
0,25
Xét phương trình (x+2)( 3x− +2 x)+2x−8= 0 (2)
3
f x = +x x− + x + x− x≥
3
−
Do đó hàm số f(x) đồng biến trên 2
; 3
0,25
Lại có f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2).
1179 - Ngô Quyền - Q Sơn Trà - Đà Nẵng - ĐT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths Nguyễn Văn Bảy Trang 3
Trang 43 3 3
+
0,25
3
3
0
1
cos
x
π
π
Đặt t =cosx⇒dt = −sinxdx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 và 1
x= ⇒ =π t
0,25
1
1 2
1
2
t t
Vậy I = + = +J K 2 3
0,25
4
(1,0 đ)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BC và AB
Tam giác ABC đều cạnh a nên
AM = ⇒GM =
Tam giác A’BC vuông tại A nên
1 '
a
A M = BC=
Do A’G ⊥ (ABC) nên A’G ⊥GM
Do đó:
a a a
A G= A M −GM = − =
0,25
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
3
ABC
Vẽ CH ⊥ A’N tại H
Ta có AB ⊥ CN và AB ⊥ A’G nên AB ⊥ (A’NC) Suy ra AB ⊥ HC
⇒ CH ⊥ (AA’B’B)
⇒ d(C, (AA’B’B)) = CH
Do CC’ // (AA’B’B)) nên d(CC’, AB) = d(CC’, (AA’B’B)) = d(C, (AA’B’B) = CH
0,25
' 2
A G= CN = Tam giác A’NC ta có:
2
a a
CH A N A G CN CH
a
A N
2
a
d CC AB =
0,25
Trang 51 6 1 3 1 2
a b c
a b c bc ac ab
0,25
Ta có: a 1 2
a
+ ≥ Đẳng thức xảy ra khi a = 1 (1)
2
b
b
⇒ + ≥ Đẳng thức xảy ra khi b = 2 (2)
1 10 3
c
c
⇒ + ≥ Đẳng thức xảy ra khi c = 3 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
6
Đẳng thức xảy ra khi a = 1, b = 2 và c = 3
(4)
0,25
Do a ≥ 1, b≥ 2 và c ≥ 3 nênbc ≥ 6, ac ≥ 3 và ab ≥ 2
3
bc ac ab
3
bc ac ab
⇒ − + + ≥ − Đẳng thức xảy ra khi a = 1, b = 2 và c = 3 (5)
0,25
Từ (4) và (5) suy ra:
6
6
Đẳng thức xảy ra khi a = 1, b = 2 và c = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 29
6 khi a = 1, b = 2 và c = 3.
0,25
PHÂN RIÊNG
6.a
(1,0 đ)
Gọi nr=( ; ),a b a2 +b2 ≠0 là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AB Khi đó
(AB): ax + by – a – 2b = 0
Vec tơ pháp tuyến của đường chéo AC là nuuurAC = −(1; 3)
Góc giữa (AC) và (AB) bằng 450 nên
2
AC AC
−
+
r uuur
r uuur
0,25
1179 - Ngô Quyền - Q Sơn Trà - Đà Nẵng - ĐT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths Nguyễn Văn Bảy Trang 5
Trang 62 2 2 2 2 2 2
2
b a
= −
+ Xét a = – 2b, chọn b = – 1thì a = 2 Do đó (AB): 2x – y = 0
A
+ Xét b = 2a, chọn a = 1 thì b = 2 ta có (AB): x + 2y – 5 = 0
A
0,25
ABCD là hình vuông và AB= 5 nên AC= 10
Gọi C(3c; c) ∈ (AC), c > 0 Ta có:
Do đó C(6; 2) hoặc C(0; 0)
0,25
Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; – 1; 0) và có vec tơ chỉ phương u ( ; ;r= 2 1 2− )
+ Theo đề
1 10
19 3
a
| a | d( M ,( P ))
a
= −
+
⇒ M(– 1; 0; 0) hoặc M(–19; 0; 0).
0,25
+ Xét mp(α) đi qua điểm M(– 1; 0; 0) và chứa đường thẳng (d).
AM = −( ; ; ),u ( ; ;= − ⇒) AM ,u = − − −( ; ; )
Phương trình mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 1 = 0
0,25
+ Xét mp(α) đi qua điểm M(– 19; 0; 0) và chứa đường thẳng (d).
AM = −( ; ; ),u ( ; ;= − ⇒) AM ,u= − −( ; ;− )
Phương trình mặt phẳng (α): x + 20y + 11z + 19 = 0
0,25
Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) là số phức cần tìm.
• |z + 2 + 3i| = 5 ⇔ |(x + 2) + (y + 3)i| = 5 ⇔ (x + 2)2 + (y + 3)2 = 25 (1)
• z2 = (x + yi)2 = x2 – y2 + 2xyi
z2 là số ảo ⇔ x2 – y2 = 0 (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có hệ:
2 2
0
( x ) ( y )
x y
( x ) ( x ) ( x ) ( x )
0,25
0,25
Trang 7(1,0 đ)
Đường tròn (C) có tâm I(4 ; 0) bán
kính R = 2
Gọi M(0 ,m ) là điểm thuộc trục tung
Ta có IM = m2+16 >R
Vậy qua M luôn kẻ được đến (C) hai
tiếp tuyến
0,25
Do A và B cùng nhìn đoạn IM dưới một góc vuông nên A, B thuộc đường tròn (C’)
đường kính IM
Đường tròn (C’) có tâm là 2;
2
m
J
và bán kính
2
16
trung điểm IM) nên có phương trình:
m m
C x − + y − = + ⇔ x + y − x my − =
0,25
Tọa độ A và B thỏa mãn hệ phương trình:
(
x y x my
x y x
Lấy (1) trừ (2) ta được: 4x – my – 12 = 0 (3)
Tọa độ các tiếp điểm A,B đều thỏa (3) nên đường thẳng AB: 4x – my – 12 = 0
0,25
Do E thuộc AB nên: 16 – m – 12 = 0 ⇔ m = 4
7.b
(1,0 đ)
Đường thẳng (d2) đi qua điểm A(3; 1; 0) và có vectơ chỉ phương u r = (1;1;1)
1
M ∈ d ⇒ M a a + a ⇒ uuuur AM = − a a − a + 0,25
2
,
u AM a a
u AM
d M d
u
r uuuur
r uuuur r
0,25
2
2 2 3
a a a a
0,25
8.b
(1,0 đ)
2 1
x y
+
Điều kiện: x+2y+ >2 0
2 1
2
x y xy
+
0,25
1179 - Ngô Quyền - Q Sơn Trà - Đà Nẵng - ĐT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths Nguyễn Văn Bảy Trang 7
Trang 8Đặt u x 2y
v xy
= +
=
u v
2
1
2
u
v
=
2 2
y y
0,25
Chú ý: Nếu thí sinh làm bài khác với nội dung đáp án mà vẫn đúng thì được tính đủ điểm từng phần như đáp
án qui định.