Đề thi thử tuyển sinh vào ĐH toán 2009 có đáp án

a Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số.. b Tìm tất cả các điểm trên đồ thị C của hàm số mà qua đó chỉ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị hàm số.. Tìm số đo các góc của tam giác ABC

ĐỀ THI THỬ SỐ 3 TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC

MÔN TOÁN NĂM 2009

A PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y= -x3 2x2- 7x- 4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của hàm số mà qua đó chỉ kẻ được duy nhất một

tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Câu II (2 điểm)

a) Giải phương trình 2sin 3 1 8sin 2 cos 2 2

4

π

ç + = +÷

4log x x log 2 3 log x

Câu III (2 điểm)

a) Giải hệ phương trình

2 2 2







2009 2 2009 3 2009 2009 2009 2010 2009

Câu IV (1 điểm)

a) Cho tam giác đều ABC cạnh a ở trong mặt phẳng   . Trên các đường thẳng vuông

góc với   kẻ từ B, C lấy các đoạn 2 2

2

a

minh rằng ADE vuông và tìm góc tạo bởi hai mặt phẳng   và ADE 

b) Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện cos A2 2 2cos B2 2cos C 3.

Tìm số đo các góc của tam giác ABC.

B PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH

Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn

Câu Va (2 điểm)

a) Cho elíp 

2 2

1

E :   và điểm M thuộc (E) Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với (E) tại M và d cắt trục Ox, Oy tại A, B Tìm tọa độ điểm M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.

b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2y2  x y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

P x  y.

Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao

Câu Vb (2 điểm)

a) Cho biết các số phức z ,z đều có môđun bằng 1 Chứng minh rằng số phức1 2

1 2

1 1

1

z

z z





 có phần ảo bằng 0

b) Cho x, y thỏa mãn x2 xy y 2 1. Chứng minh rằng

.







ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 3 TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC

MÔN TOÁN NĂM 2009 Câu I 2 điểm

b) Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của hàm số mà qua đó chỉ kẻ được duy

nhất một tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Gọi điểm M x ; x 0 03 2x02 7x0 4 C  Phương trình đường thẳng d qua

0 0 2 0 7 0 4

0,25

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C)  Hệ sau có nghiệm

2







0,25

Thế k ở phương trình sau vào phương trình trước ta được

 

f x

1444444444442444444444443

Để có một tiếp tuyến duy nhất thì f x  hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm  0

kép bằng x 0

0,25

Trường hợp 1:  3x0 22  0 Vô lý

0

0

2

b x a

 









Vậy điểm cần tìm là 2 250

3; 27 .



0,25

Câu II 2 điểm

a) Giải phương trình 2sin 3 1 8sin 2 cos 2 2

4

π

ç + = +÷

 Điều kiện 3 0

4

π sin xæç + ³ç ö÷÷÷ .

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta được:

-0,25

1 2 2

5

sin x

0,25

 Xét họ nghiệm

12

π

x= +kπ Kết hợp với điều kiện 3 0

4

π sin xæç + ³ç ö÷÷÷

çè ø ta suy

12

x  l 

0,25

 Xét họ nghiệm 5

12

π

x= +mπ. Kết hợp với điều kiện 3 0

4

π

ç + ³÷

çè ø ta suy ra 5 2 1

12

π

 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2 5 2 1

4log x x log 2 3 log x

4log x x log 2 3 log x  4 4 log x  6log x 18 9 log x 0,25

 Đặt

2 2

 Đặt

2 2

t

a

a



  

 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1

4

0,25

Câu III 2 điểm

 







 

x y

  

 Từ (3) và (2) ta có 0

x y

 







Hệ này vô nghiệm vì 0 x y  1 0 1.

0,25

 Từ (4) và (2) ta có 2 1 0





 Giải hệ này ta được 5

2

x y











0,25

2009 2 2009 3 2009 2009 2009 2010 2009

 Ta có 1 n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n

 Nhân hai vế với x ta được

 Đạo hàm hai vế ta được

1 n 1 n 1 0 2 1 3 2 2 n 1 n 1  1 n n

 Cho x1,n2009, ta được

2009 2 2009 3 2009 2009 2009 2010 2009 2 2009 2

Câu IV 2 điểm

Cho tam giác đều ABC cạnh a ở trong mặt phẳng   . Trên các đường thẳng

vuông góc với   kẻ từ B, C lấy các đoạn 2 2

2

a

phía với   . Chứng minh rằng ADE vuông và tìm góc tạo bởi hai mặt

phẳng   và ADE 

Ta có

2

2

a

AE a ; DE . Do đó

AD DE AE  ADE vuông tại D.

0.5

Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng   và ADE là   Ta có.

2 3

1 4

ABC ADE

a S

.

0,5

b) Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện

2 2 2 2 2 3

Đặt M cos A2 2 2cos B2 2cos C 3

Mà ABC nhọn nên cos A cosA2  và

2

Câu Va 2 điểm

a)

Cho elíp 

2 2

1

E :   và điểm M thuộc (E) Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với (E) tại M và d cắt trục Ox, Oy tại A, B Tìm tọa độ điểm M để diện tích

tam giác OAB nhỏ nhất.

Phương trình tiếp tuyến  tại     0 0

Ta có

0,25

Do đó

OAB

Ta có

2 2

6

0,25

Dấu bằng xảy ra

2 2

0 0

1









0,25

b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2y2  x y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P x 2y.

x y  x yx  y   .

P x  yx  y  .

0.25

Mà theo bất đẳng thức Bunhicovsky, ta có

2 2

2

       

0.25

Do đó 3 10

2

P  . Vậy 3 10

2

max

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

x

y













0.25

Câu Vb 2 điểm

a)

Cho biết các số phức z ,z đều có môđun bằng 1 Chứng minh rằng số phức1 2

1 2

1 1 1

z

z z





 có phần ảo bằng 0

Vì z1  1 z1cos1i sin 1 Vì z2  1 z2 cos2i sin 2 0,25

Ta có z1z2 cos1cos2i sin 1sin2

2

0,25

Mặt khác 1z z1 2  1 cos12 i sin12

2

0,25

1 2

1 2 2 2

cos

z

cos

 

 





b)

Cho x, y thỏa mãn x2 xy y 2 1. Chứng minh rằng

.







Đặt

2x xy 4y

 



1

 

 

Ta có P 2t2 P1tP4 0.

0,5

Trường hợp 1: P 2 t2.

Trường hợp 2: P   2 P12 4P 2 P4 0

0,25

2 2 11 0

P

Suy ra điều phải chứng minh

0,25