Về tính co và không giãn của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

23 2 Phương pháp ánh xạ co và không giãn của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 26 2.1 Tính co và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm... Bài toán bất đẳng thức biến phân t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

Mục lục

1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 4

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản 4

1.1.1 Không gian Hilbert 4

1.1.2 Tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân 6

1.1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz trong không gian Hilbert 8 1.2 Ánh xạ đa trị đơn điệu 13

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị đơn điệu 13

1.2.2 Định nghĩa ánh xạ đơn điệu mạnh 15

1.2.3 Định nghĩa ánh xạ đồng bức 15

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 17

1.3.1 Phát biểu bài toán và ví dụ 17

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (MVIP) 23

2 Phương pháp ánh xạ co và không giãn của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 26 2.1 Tính co và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm 26

2.1.1 Tính co của ánh xạ nghiệm 26

2.1.2 Mô tả thuật toán và sự hội tụ 33

2.2 Tính không giãn và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm 37

2.2.1 Tính không giãn của ánh xạ nghiệm 37

2.2.2 Mô tả thuật toán và sự hội tụ 42

Kết luận 45

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn,chỉ bảo tận tình và giúp đỡ nghiêm túc của GS.TSKH Lê Dũng Mưu (ViệnToán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam) Tôi xin chânthành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Thầy đã giành nhiều thờigian hướng dẫn cũng như giải đáp thắc mắc của Tôi trong suốt quá trìnhlàm luận văn Thầy đã tạo điều kiện và giúp đỡ Tôi có thêm kiến thức,khả năng nghiên cứu, chọn lọc và tổng hợp các tài liệu chính cũng như cơbản để hoàn thành luận văn Tôi xin kính chúc Thầy và gia đình luôn luônmạnh khỏe, hạnh phúc

Qua đây Tôi xin cảm ơn các quý Thầy, Cô tham gia giảng dạy khóa caohọc 2011 - 2013 tại Đại học Thái Nguyên và tại Viện Toán Học lời cảm ơnsâu sắc nhất đối với công lao dậy dỗ trong suốt quá trình đào tạo giáo dụctại nhà trường, đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích không chỉ vềmặt chuyên môn mà còn cả trong cuộc sống

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, đồng môn đãgiúp đỡ tôi trong thời gian học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quátrình hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, Tôi xin giành lời cảm ơn sâu sắc đến Gia đình và người bêncạnh Tôi Nhờ có sự chăm sóc, lo lắng, động viên và tạo mọi điều kiện tốtnhất để Tôi có được thành quả ngày hôm nay Xin kính tặng bản luận vănnày tới Gia đình

Thái Nguyên, tháng 8 - 2013Người viết Luận văn

VŨ THỊ THU

Mở đầu

Bài toán Bất đẳng thức biến phân đa trị được giới thiệu lần đầu tiênvào năm 1966 bởi Hartman và Stampachia Những nghiên cứu đầu tiên vềbài toán bất đẳng thức biến phân đa trị liên quan tới việc giải bài toán biếnphân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán có dạng của phương trìnhđạo hàm riêng Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữuhạn chiều và các ứng dụng thực tiễn của nó thì được giới thiệu trong cuốnsách ” An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications”của Kinderlehrer D và Stampachia G., xuất bản năm 1980 và trong cuốnsách ” Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to FreeBoundary Problems ” của Baiocci C và Capelo A., xuất bản năm 1984.Năm 1979 Michael J Smith đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông

và đến năm 1980 Defermos đã chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài toán này

là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Từ đó bài toán bất đẳngthức biến phân được phát triển trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiêncứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lý thuyếttrò chơi và nhiều bài toán khác Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

có quan hệ mật thiết với nhiều bài toán khác như: bài toán bù phi tuyến,bài toán quy hoạch lồi, bài toán xác định phương án sản xuất, các bàitoán đó là một trong những trường hợp riêng của bài toán bất đẳng thứcbiến phân đa trị Gần đây bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị cũng làmột đề tài thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu khoahọc vì nó có nhiều vai trò và ứng dụng trong lý thuyết toán học và các ứngdụng trong thực tế Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của bàitoán bất đẳng thức biến phân đa trị là xây dựng phương pháp giải Thôngthường các phương pháp giải được chia thành các loại sau:

Loại thứ nhất là các phương pháp chuyển bài toán về hệ phương trình

và dùng các phương pháp thông dụng như phương pháp Newton, phương

pháp điểm trong hệ phương trình.

Loại thứ hai là phương pháp có tính chất kiểu đơn điệu điển hình củaphương pháp này là các phương pháp gradient sau này được tổng quátbởi Cohen thành lý thuyết bài toán phụ, phương pháp điểm gần kề củaRockafellar, phương pháp hiệu chỉnh của Tikhonov, Các phương pháp nàykhá là hiệu quả, dễ thực hiện trên máy tính nhưng các điều kiện hội tụ chỉđược đảm bảo dưới các giả thiết khác nhau về tính chất đơn điệu

Loại thứ ba là các phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm đánh giá Nộidung chính của phương pháp này là chuyển bài toán bất đẳng thức biếnphân đa trị về cực tiểu của hàm chắn và sau đó sử dụng kỹ thuật tối ưutrơn hoặc không trơn để tìm cực tiểu của hàm chắn, phương pháp này cóthể giải được bài toán với giả thiết rất nhẹ Tuy nhiên, tốc độ hội tụ củathuật toán được đề xuất là chậm và thường chỉ hội tụ với các giả thiết vềtính đơn điệu

Loại thứ tư là các phương pháp dựa trên điểm bất động, nội dung chínhcủa phương pháp này là chuyển bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

về tìm điểm bất động của ánh xạ nghiệm

Trong luận văn này, ta xây dựng phương pháp giải bằng loại thứ tư.Luận văn trình bày phương pháp giải bất đẳng thức biến phân thôngqua việc tìm điểm bất động của ánh xạ nghiệm với ánh xạ giá là phùhợp, nội dung chính của phương pháp này được viết trong bài báo ” P

N Anh, L D Mưu, V H Nguyen and J J Strodiot (2005), Using theBanach Contraction Principle to Implement the Proximal Point Methodfor Multivalued Monotone Variational Inequalities, J Oplim Theory Appl,

124, pp 285 - 306 ”

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương I gồm hai phần: Phần một nhắc lại một số kiến thức cơbản của không gian Hilbert, giải tích lồi, ánh xạ đa trị, ánh xạ đơn điệumạnh, ánh xạ đồng bức (ánh xạ đơn điệu mạnh ngược) Phần hai trìnhbày về bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (viết tắt là MVIP), nêu

ra một số trường hợp riêng của bài toán và các ví dụ điển hình, sự tồn tạinghiệm cũng như tính chất của tập nghiệm

Chương II trình bày phương pháp lặp Banach giải bài toán bấtđẳng thức biến phân đa trị (MVIP) trong hai trường hợp hàm giá là đơn

điệu mạnh và hàm giá là đồng bức.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS TSKH Lê Dũng Mưu Dovấn đề đề cập trong luận văn là tương đối mới và phức tạp, thời gian cũngnhư khả năng còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếuxót Tác giả mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp quý báu củacác Thầy, Cô giáo, các bạn đồng nghiệp, đồng môn và những người quantâm để đề tài được hoàn thiện hơn

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

1.1.1 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian tuyến tính Tích vô hướng xácđịnh trên H là một ánh xạ được xác định:

h., i :H×H →R

(x, y) 7→ hx, yithỏa mãn các điều kiện sau:

i hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H

ii hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H

iii hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ H và λ ∈ R

iv hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈H,hx, xi = 0 ⇔ x = 0

hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x và y

Cặp (H,h., i) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là khônggian Unita) Từ định nghĩa trên ta thấy rằng tích vô hướng là một dạngsong tuyến tính trên H

Ví dụ 1.1

1) Lấy H = Rn với x = (x1, x2, , xn) , y = (y1, y2, , yn) ∈ H và biểuthức

xác định như một tích vô hướng trên Rn

2) Lấy H = C[0,1] không gian gồm các hàm liên tục trên [0, 1] nhận giá trịthực với x, y ∈H biểu thức

Định lí 1.2 Cho H là không tiền Hilbert Khi đó ||x|| = hx, xi1/2, x ∈ H

xác định một chuẩn trên H

Định nghĩa 1.2 Cho H là không tiền Hilbert Khi đó ||x|| = hx, xi1/2, x∈

H xác định một chuẩn trên H thì H là một không gian tuyến tính địnhchuẩn Nếu H là không gian đầy đủ thì ta gọi H là không gian Hilbert

Định lí 1.3 Cho H là không gian Hilbert, khi đó

h, i : H×H → R, là một hàm liên tục

Định lí 1.4 (Đẳng thức hình bình hành)

Với mọi x, y trong không gian tiền Hilbert H, ta có

||x + y||2 +||x − y||2 = 2(||x||2 +||y||2)

Định lí 1.5 (Tích vô hướng sinh bởi chuẩn)

Cho (X, ||||) là một không gian tuyến tính định chuẩn trên không gianHilbert thực H Giả sử với mọi x, y ∈ X thỏa mãn

||x + y||2 +||x − y||2 = 2(||x||2 +||y||2)

Khi đó trên X có một tích vô hướng thỏa mãn hx, xi = ||x||2

Định lí 1.6 Cho M là một tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gianHilbert H khi đó với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất một phần tử y ∈ M saocho ||x − y|| = d(x, M), trong đó d(x, M) là khoảng cách từ điểm x tới tậpM

1.1.2 Tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân

Định nghĩa 1.3 Một tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu

Định nghĩa 1.5 Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệulà

NC(x) :={w ∈ H : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}

Cho C ⊆ H và f : H −→ 2H ta kí hiệu

epif := {(x, µ) ∈ H×H | f(x) ≤ µ}

domf := {x ∈ H | f(x) < +∞}

Tập epif được gọi là trên đồ thị của hàm f

Tập domf được gọi là miền hữu hiệu của f

Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và f(x) > −∞, ∀x ∈ C.Định nghĩa 1.6 Cho hàm f : H −→ R∪ {+∞}, C ⊆ H Khi đó hàm fđược gọi là

i) lồi trên C nếu

f (λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]

ii) lồi chặt trên C nếu

f (λx + (1− λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, λ ∈ (0, 1).iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có

f (λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) − λ(1 − λ)β||x − y||2

Định nghĩa 1.7 Giả sử f :H −→R∪ {+∞} là hàm lồi trên tập C ⊆ H

ta định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi như sau:

Véc tơ w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm (gradient) của f tại x◦ ∈ C ⊆ H

nếu

hw, x − x◦i + f(x◦) ≤ f(x), ∀x ∈ C

Tập tất cả các dưới đạo hàm (gradient) của hàm f tại x◦ được gọi là dưới

vi phân của f tại x◦, kí hiệu là ∂f(x◦), tức là

1.1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz trong không gian Hilbert

Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị

và đưa ra một số ví dụ minh họa

Định nghĩa 1.8 Cho X, Y là hai không gian bất kì, F : X ⇉ Y là ánh

xạ từ X vào các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y) Ta nói F là ánh xạ

đa trị từ X vào Y Như vậy, với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập hợp con của

Y, (F (x) có thể là tập ∅)

Kí hiệu F : X ⇉ Y để chỉ F là ánh xạ đa trị từ X vào Y

Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y thì tanói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y lúc này ta thay kí hiệu F : X ⇉ Y bởi

và rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}

Ánh xạ ngược F−1 : Y ⇉ X của ánh xạ đa trị F : X ⇉ Y được xác địnhbởi công thức:

F−1(y) ={x ∈ X : y ∈ F (x)}, y ∈ Y

Nếu M ⊂ X là tập con cho trước thì hạn chế của ánh xạ F trên M (kí hiệu

F |M) là ánh xạ đa trị F |M: M ⇉ Y được cho bởi: F |M= F (x), ∀x ∈ M

Định nghĩa 1.10 (Tính liên tục)

Ánh xạ đa trị F : H → 2H được gọi là:

i) Nửa liên tục trên tại ¯x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ 2H thỏa mãn

F (¯x) ⊂ V , tồn tại lân cận mở U của ¯x sao cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U

ii) Nửa liên tục dưới tại ¯x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ 2H thỏa mãn

F (¯x) ∩ V 6= ∅ tồn tại lân cận mở U của ¯x sao cho F (x) ∩ V 6= ∅, ∀x ∈

F được gọi là liên tục tại ¯x ∈ domF nếu F đồng thời là nửa liên tụctrên và nửa liên tục dưới tại ¯x Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc domF ,thì F được gọi là liên tục.

1, nếux > 0

Khi đó, ánh xạ F là nửa liên tục trên trên H

Thật vậy, ta thấy ánh xạ F là nửa liên tục trên tại mọi điểm x 6= 0 Mặtkhác, F nửa liên tục dưới tại ¯x = 0 vì với mọi tập mở (a, b) ⊃ [−1, 1] = F (0)tồn tại lân cận của 0, chẳng hạn (−1, 1), ta có:

1, nếu 0 < x < 1

Do đó F (x) ⊆ (a, b) với mọi x ∈ (−1, 1)

Như vậy, F là ánh xạ nửa liên tục trên trên H = R

Khi đó F nửa liên tục dưới tại ¯x = 0

Thật vậy, với mọi tập mở (a, b) thỏa mãn (a, b) ∩ F (0) = 0 6= ∅, tồn tạilân cận của 0, chẳng hạn U = (−1

không phải là ánh xạ liên tục ở trên H = R Hơn thế F không là nửa liêntục trên và cũng không là nửa liên tục dưới tại bất cứ điểm ¯x ∈ H nào.Như đã biết, khái niệm liên tục Lipschitz là khái niệm có vai trò quantrọng trong toán học Ta sẽ định nghĩa liên tục Lipschitz của một ánh xạ

đa trị dựa trên khoảng cách Hausdorff

Định nghĩa 1.11 (Khoảng cách Hausdorff)

Cho A, B là hai tập con đóng và khác rỗng bất kì của H Khoảng cáchHausdorff của A và B được xác định như sau:

ρ(A, B) = max{d(A, B); d(B, A)}

L < 1 thì F được gọi là ánh xạ co trên C

L = 1 thì F được gọi là ánh xạ không giãn trên C

α− θ .

1.2 Ánh xạ đa trị đơn điệu

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị đơn điệu

Định nghĩa 1.13 Với C ⊆ H, ánh xạ đa trị F : C −→ 2C, được gọi lài) đơn điệu trên C, nếu

2) Một trong những ví dụ quan trọng nhất về ánh xạ đa trị đơn điệu là

∂f (x) (dưới vi phân của hàm lồi)

Với bất kỳ hàm lồi, chính thường f :H −→ R∪ {+∞}, ánh xạ ∂f : H −→

2H là đơn điệu trên domf Thật vậy,

Giả sử f là hàm lồi, với mọi x, x′ ∈ dom(∂f), v ∈ ∂f(x), v′ ∈ ∂f(x′), từbất đẳng thức dưới gradient ta có:

f (x) ≥ f(x′) +hv′, x− x′i

f (x′) ≥ f(x) + hv, x′ − xivới các giá trị f(x) và f(x′) hữu hạn Cộng các bất đẳng thức trên vớinhau ta được

0 ≥ hv′, x− x′i + hv, x′− xihay

hv − v′, x− x′i ≥ 0, ∀x, x′ ∈ dom∂f, v ∈ ∂f(x), v′ ∈ ∂f(x′)

Vậy ∂f là đơn điệu

∗ Tính chất (Phép bảo toàn tính đơn điệu)

Cho T :H −→ 2H là một ánh xạ đa trị

i ) Nếu T đơn điệu thì T−1 cũng là đơn điệu

ii) Nếu T là đơn điệu (đơn điệu ngặt) thì λT (λ > 0) cũng đơn điệu (đơnđiệu ngặt)

iii) Nếu T′ : H −→ 2H cũng là ánh xạ đa trị đơn điệu thì T + T′ là đơnđiệu

Nếu thêm điều kiện T hoặc T′ là đơn điệu ngặt thì T +T′ là đơn điệu ngặt.Chứng minh

i) Giả sử T đơn điệu, với mọi w, w′ ∈ H, x ∈ T−1(w), x′ ∈ T−1(w′), theođịnh nghĩa ánh xạ đa trị ngược thì w ∈ T (x) và w′ ∈ T (x′), ta có

hx − x′, w− w′i = hw − w′, x− x′i ≥ 0, ∀x ∈ T−1(w), x′ ∈ T−1(w′).Vậy T−1 là ánh xạ đơn điệu

ii) Với λ > 0, ∀x, x′ ∈ H, λw ∈ λT (x), λw′ ∈ λT (x′) Ta có

hλw − λw′, x− x′i = λhw − w′, x− x′i ≥ 0Vậy λT là ánh xạ đơn điệu khi T đơn điệu Hiển nhiên bất đẳng thức trên

là ngặt khi T đơn điệu ngặt

iii) Với mọi x, x′ ∈ H và

v ∈ (T + T′)(x) = {u + w | u ∈ T (x), w ∈ T′(x)},

v′ ∈ (T + T′)(x′) = {u′ + w′ | u′ ∈ T (x′), w′ ∈ T′(x′)}

Ta có

hv − v′, x− x′i = hu + w − u′− w′, x− x′i

= hu − u′, x− x′i + hw − w′, x− x′i ≥ 0

Do T, T′ đơn điệu Vậy T + T′ là ánh xạ đơn điệu

Nếu T hoặc T′ đơn điệu ngặt thì bất đẳng thức trên là ngặt khi x 6= x′, do

đó T + T′ đơn điệu ngặt

1.2.2 Định nghĩa ánh xạ đơn điệu mạnh

Định nghĩa 1.14 Ánh xạ đa trị F : C −→ 2C được gọi là đơn điệu mạnhvới hệ số γ > 0 trên C ⊆H nếu ∃γ > 0 sao cho với ∀x, x′ ∈ C, F − γI đơnđiệu tức là

Mà theo Ví dụ 1.13 thì F (x, 0) đơn điệu trên C

Vậy F (x, 0) đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ = 1

1.2.3 Định nghĩa ánh xạ đồng bức

Định nghĩa 1.15 Cho ánh xạ đa trị F : C −→ 2C, F được gọi là đồngbức (đơn điệu mạnh ngược) với hệ số δ > 0 trên C ⊆H nếu

hv − v′, x− x′i ≥ δρ2(F (x), F (x′)), ∀x, x′ ∈ C, v ∈ F (x), v′ ∈ F (x′)

Ví dụ 1.15

Xét ánh xạ F : R2 −→ 2R 2

, với C = {(x, 0) | x ≥ 0} ⊆ H xác định bởi

F (x, 0) := {(x, y) | 0 ≥ y ≥ x}

Khi đó, F đồng bức trên C với hệ số δ = 1/2

Thật vậy, theo Ví dụ 1.13 ta đã biết ánh xạ này Lipschitz trên C với hệ số

ρ2(F (x, 0), F (x′, 0)) ≤ 2||(x, 0) − (x′, 0)||2

= 2h(x, y) − (x′, y′), (x, 0)− (x′, 0)i,

∀(x, 0), (x′, 0) ∈ C; (x, y) ∈ F (x); (x′, y′) ∈ F (x′).Vậy F (x, 0) đồng bức trên C với hệ số δ = 1/2

Mệnh đề 1.1 Nếu F : H −→ 2H là ánh xạ đồng bức thì F là ánh xạLipschitz

Ngược lại, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2 Nếu F : C ⊆ H −→ 2H là ánh xạ Lipschitz và đơn điệumạnh thì F là ánh xạ đồng bức

Chứng minh

Giả sử F là ánh xạ Lipschitz với hệ số L > 0 và đơn điệu mạnh với

hệ số δ > 0 trên C Áp dụng trực tiếp định nghĩa, với x, x′ ∈ C và

v ∈ F (x), v′ ∈ F (x′), ta có

hv − v′, x− x′i ≥ δ||x − x′||2 ≥ δ

L2ρ2(F (x), F (x′))



1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

Trong phần này, ta xét hai phần: Phần một ta phát biểu bài toán bấtđẳng thức biến phân đa trị, các trường hợp riêng và các bài toán ứng dụngtrong thực tế của bài toán bất đảng thức biến phân đa trị

Phần hai ta nêu về sự tồn tại nghiệm và các tính chất nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân đa trị

1.3.1 Phát biểu bài toán và ví dụ

Định nghĩa 1.16 (Phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị)

Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H, cho F : H −→ 2H làmột ánh xạ đa trị, ta luôn giả sử C ⊆ domF , trong đó domF := {x ∈ H :

F (x) 6= ∅} và F (x) là lồi, đóng với mọi x ∈ domF Khi đó bài toán bấtđẳng thức biến phân đa trị được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C, w∗ ∈ F (x∗) : hw∗, x− x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (MV IP )

F được gọi là ánh xạ giá của bài toán bất đẳng thức biến phân (MVIP).Khi F là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng:

Tìm x∗ ∈ C : hF (x∗), x− x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (V IP )Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (MVIP) có quan hệ mật thiếtvới nhiều bài toán khác của giải tích phi tuyến như: Bài toán bù phi tuyến,bài toán điểm bất động, bài toán quy hoạch lồi, Ngoài ra, còn có nhiềuứng dụng trong thực tế như: Bài toán xác định phương án sản xuất, bàitoán cân bằng mạng giao thông,

Dưới đây ta xét một vài trường hợp riêng điển hình của bài toán bất đẳngthức biến phân đa trị:

Bài toán điểm bất động Kakutani

Cho C là tập tùy ý lồi, đóng trong không gian HilbertH và T : C −→ 2C

là ánh xạ đa trị Bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị F được phátbiểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C : x∗ ∈ T (x∗) (1.1)Chú ý, nếu F là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động Kakutani trởthành bài toán điểm bất động Brouwer sau:

Chiều ngược lại hiển nhiên đúng.



Bài toán bù phi tuyến

Nếu C là một nón lồi, đóng trong H thì bài toán (MVIP) trở thành bàitoán bù:

Tìm x∗ ∈ C, w∗ ∈ F (x∗), w∗ ∈ C′ :hw∗, x∗i = 0 (CP )trong đó

hw∗, x∗i ≤ 0

Suy ra hw∗, x∗i = 0, hay x∗ ∈ C, w∗ ∈ F (x∗), w∗ ∈ C′ là nghiệm của bàitoán bù CP.

Ngược lại, nếu x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bù thì

Bài toán quy hoạch lồi

Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và F : C −→ 2C là một hàmlồi trên C Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C : F (x∗) = min F (x) | x ∈ C (OP )Mệnh đề 1.4 Giả sử F : C −→ 2C là hàm lồi khả dưới vi phân trên tậplồi C ⊂ H Khi đó x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (OP) khi và chỉ khi x∗

là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân:

Tìm x∗ ∈ C, w∗ ∈ ∂F (x∗) : hw∗, x− x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C,trong đó ∂F (x∗) là kí hiệu dưới vi phân của F tại x∗

Chứng minh

Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (OP), tức là F (x∗) ≤ F (x), ∀x ∈ C khi

đó theo điều kiện tối ưu của quy hoạch lồi ta có

0 ∈ ∂F (x∗) + NC(x∗), (1.3)trong đó

NC(x∗) := {w ∈H | hw, y − x∗i ≤ 0, ∀y ∈ C}

là nón pháp tuyến của C tại x∗

Từ (1.3) suy ra tồn tại w∗ ∈ ∂F (x∗) và v∗ ∈ NC(x∗) thỏa mãn

0 = w∗ + v∗.suy ra w∗ = −v∗, nhưng v∗ ∈ NC(x∗) nên

hw∗, x− x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C