Đề đề xuất thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc (khối chuyên) năm học 20132014

Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn O, có đường cao AH và tâm đường tròn nội tiếp là I.. Đường thẳng AI cắt lại đường tròn O tại điểm thứ hai M.. Gọi A' là điểm đối xứng

ĐỀ ĐỀ XUẤT ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014

MÔN: TOÁN (Dành cho trường chuyên Vĩnh Phúc)

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình:







b) Cho đa thức với hệ số thực   4 3 2

P x x ax bx cx thoả mãnd P 1 3,P 3 11,P 5 27 Tính P  2 7P 6

Câu 2 (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương  x y thoả mãn phương trình:;

Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AH và tâm

đường tròn nội tiếp là I Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai M Gọi A' là điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng MA' cắt các đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K.

1) Chứng minh rằng tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn.

2) Đường thẳng A'I cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai D, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm

S Chứng minh rằng nếu ABAC2BC thì I là trọng tâm của tam giác AKS.

Câu 4 (1,5 điểm) Cho các số thực a b c d, , , thoả mãn 4a2b2 2và c d 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P2ac bd cd

Câu 5 (1,0 điểm) Cho tập hợp M gồm 2014 số dương a a1, 2, ,a2014 Xét tất cả các tập con khác rỗng

i

T của M, gọi s là tổng các số thuộc tập con i T Chứng minh có thể chia tập hợp tất cả các số i s được i

thành lập như vậy thành 2014 tập con khác rỗng không giao nhau, sao cho tỉ số của hai số bất kì thuộc cùng một tập tập con vừa được phân chia không vượt quá 2

-Hết -Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh……….Số báo danh………