Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng... Cho hình vuông ABCD.. Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM=BN.. Chứng minh HD vuông góc với HN.
Trang 1ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM HỌC 2013– 2014
-
Dưới đây chỉ là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận chặt chẽ, chi tiết Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng
1. Tìm m để hàm số ( ) 2
y= m− x − mx+ +m nghịch biến trên (−∞; 2) +Nếu m=1⇒ y= − +2x 3 nghịch biến trên ℝ Do đó m=1 thỏa mãn đề bài 0.5 + Nếu m≠1 Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) khi và chỉ khi
1 0
2 1
m
m m
m
− >
⇔ < ≤
≥
−
1.0
+ Kết luận 1≤ ≤m 2 là kết quả cần tìm 0.5
2. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x th1; 2 ỏa mãn 2x1− =x2 2
+ (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
( ) 2
m− x − mx+ + =m có hai nghiệm phân biệt
2
1 0
m
− ≠
⇔
∆ = − − + >
⇔ ≠ <1 m 2
0.5
+ Theo Viet ta có 1 2 2 ; 1 2 2
+
Kết hợp với giả thiết 2x1− =x2 2, tính được
;
0.5
Từ đó thu được:
7
2
m
m
= −
=
+ Kết hợp điều kiện, kết luận m= −7 là kết quả cần tìm 0.5
Câu2
1 Giải phương trình: 2 1 2 1
1 3
x
x
+ − −
+ Điều kiện: 1 3
1
x x
− ≤ ≤
≠
0.5
+ Khi đó phương trình tương đương với
2 1( 1 3 )
2 1
2 2
x x
= −
−
0.5
( )
2
2 2
2
x x
0.5
Trang 2+ Đối chiếu điều kiện và kết luận 2 7
2
2 Giải hệ ( ) ( )
1
+ Hệ đã cho tương đương với ( ) ( )
2
1
xy x xy y
xy x xy y
0.5
+ Đặt u=xy+x v; =xy+y, ta được
2
1
u v uv
=
Giải hệ thu được 1
1
u v
=
=
hoặc
2 1 2
u
v
= −
= −
0.5
+ Với 1
1
u v
=
=
1 1
xy x
xy y
+ =
⇒
+ =
2
+ Với
2 1 2
u
v
= −
= −
2 1 2
xy x
xy y
+ = −
⇒
+ = −
Giải được
5 1 2
x= =y −
và kết luận
0.5
Câu 3 1 Giải bất phương trình: 2 2
2x − + +x 1 2x +4x+ ≥1 5 x
+Ta thấy x=0 không là nghiệm của bất phương trình, do đó bất phương trình
tương đương với:
2x 1 1 2x 4 1 5
Đặt t 2x 1 1,t 0
x
= + − > , ta được t+ t2+ ≥5 5
0.5
+Giải bất phương trình trên kết hợp với t>0, ta được t≥2 0.5
+ Từ đó ta có 2x 1 1 2
x
+ − ≥ , giải bất phương trình với điều kiện x>0, ta được
5 17 0
2
5 17 2
x
x
< < −
≥ +
Kết luận
0.5
P
Ta có A=(sin4x+cos4x−1)(tan2x+cot2x+2)
= −2 sin( 4x+cos4x)−4sin cos2x 2x = − ( 2x+ 2x)2 = −
1.0
Trang 3B=cos cot2x 2x+3cos2x−cot2x+2sin2x
=cos cot2x ( 2x+ −1 cot) 2x+2 sin( 2x+cos2x)
= x − x+ =
x
2
1
sin
0.5
Câu 4 1. Cho hình vuông ABCD Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM=BN
Gọi H là hình chiếu của B trên CM Chứng minh HD vuông góc với HN
+ Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông và α =MBH =BCH
H A
D
B
C
M
N 0.5
+ Ta có: HN HD =(HB+BN)(HC+CD)
=HB CD +BN HC (vì HB⊥HC BN, ⊥CD)
0.5
= HB BA +BN HC
= −HB a .cosα +BN HC .cosα
0.5
= −BM a .cos2α +NB a .cos2α =0 (do BM=BN)
Do đó HB⊥HD
0.5
2 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu
( 2 2) ( 2 2)
sin 2 sin cos
0
=
+Từ sinA=2 sin cosB C chỉ ra tam giác ABC cân tại A 1.0 + Từ ( 2 2) ( 2 2)
0
b b −a +c c −a = chỉ ra tam giác ABC có góc A bằng 600 0.5
3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
biết trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ B là K(0;2) và trung điểm của AB
là M(3;1)
H
M K
A
C
B
+ Viết được phương trình đường thẳng AC: x-2y+4=0 và BK: 2x+y-2=0 0.5
Trang 4+ Vì A∈AC nên A(2a−4;a), B∈BK nên B b( ; 2 2− b)
Từ M là trung điểm của AB suy ra A(4;4), B(2;-2)
0.5
+ Viết được phương trình AB:3x-y-8=0 0.5 + Viết được phương trình BC:3x+4y+2=0 và kết luận 0.5
Câu 5
Cho , ,a b clà 3 số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 3
4
a + + ≤b c Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P 8abc 12 12 12
1điểm
+ Áp dụng AM-GM ta có 12 4 4 12 4 4
a + ≥a ⇒a ≥ −a
Tương tự ta có: 12 4 4; 12 4 4
b ≥ −b c ≥ −c
Do đó P 8abc 4 4 4 12
0.5
+ Theo AM-GM, ta có: 8 1 1 1 4
abc
+ Chứng minh được 1 1 1 9
a+ + ≥b c a b c
+ +
Do đó
( 63 )
4 2
P
a b c
≥ +
+ +
0.5
+ Chứng minh được ( )2 ( 2 2 2) 9 3
3
a b+ +c ≤ a + +b c = ⇒a+ + ≤b c
Từ đó suy ra MinP=25, đạt đươc khi 1
2
a= = =b c
0.5