• Bài toán: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện( ); 0F x y = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức( );P G x y= . • Phương pháp giải chung: Gọi T là tập giá trị của P, khi đó m T∈ khi và chỉ khi hệphương trình sau có nghiệm: =( )( ); 0;F x yG x y m= (1) • Sau đó tìm các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm (thường là đưa về điều kiện có nghiệmcủa một phương trình bậc hai) rồi suy ra tập giá trị T của P, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức( );P G x y= .
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU
THỨC HAI BIẾN BẰNG ĐẠO HÀM
Ví dụ 1 ( CĐ Khối A, B – 2008 ) Cho x y, là số thực thỏa mãn 2 2
2
x y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 2(x3 y3 ) 3 xy
Bài giải
P xy x xyy xy xy xy xy
Vì
2
2
x y
xy , đặt txy , ta có
P t t t t t
Do
2
2
x y
x y xy t
Xét hàm số 3 3 2
2
P t t t t với 2 t 2
Ta có P t'( ) 3t2 3t 6, '( ) 0 1
2
t
P t
t
Bảng biến thiên
Vậy
2;2
M in ( )P t P( 2) 7
khi x y 1
2;2
;
;
ax P t P
Ví dụ 2 ( ĐH Khối D – 2009 ) Cho x 0,y 0 và xy 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
S (4x2 3 )(4y y2 3 ) 25x xy
Bài giải
S x y y x xy x y x y xy
16x y 12(x y x)( xy y ) 34xy
2 2 2
16x y 12[(x y) 3xy] 34xy, do x y 1
2 2
16x y 2xy 12
Đặt txy Do x 0;y 0 nên
2
x y
Xét hàm số f t( ) 16t2 2t 12 với 0 t 1
Trang 2Ta có f t'( ) 32t 2 ; '( ) 0 1
16
f t t Bảng biến thiên
Vậy :
1
0;
4
M in ( )
f t f
1
0;
4
Max ( )
f t f
2
x y
Ví dụ 3 ( ĐH Khối B – 2009) Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P x y x y x y với x y, là các số thỏa mãn điều kiện : (xy) 3 4xy 2
Bài giải
Ta luôn có kết quả : 2
(xy) 4xy, từ đó ta có :
(xy) 4xy 2 (xy) (xy) (xy) 4xy 2
2
x y
Do
2
xy xy xy x y
Bài toán được đưa về tìm Max, Min của :
P x y x y x y
với x y, thỏa mãn xy 1
Ta biến đổi biểu thức P như sau
P x y x y x y x y x y x y
x y
( do
2
x y
x y )
4
P x y x y
Vì
2
2
x y
x y ( do xy 1) nên 2 2 1
2
x y
Đặt tx2 y2 Xét hàm số 9 2
4
f t t t với 1
2
t
Trang 3Ta có '( ) 9 2; '( ) 0 4
f t t f t t
Bảngbiến thiên
Vậy
1
2
M in ( ) ( )
2 16
t
f t f
2
t
Suy ra 9
16
P Mặt khác, ta dễ thấy 1
2
x y thì 9
16
P
Kết luận : M in 9
16
2
x y và không có giá trị lớn nhất
Ví dụ 4 (ĐH Khối A- 2006) Cho hai số thực x y , 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện
(xy xy) x y xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P 13 13
x y
Bài giải
Ta có
P
(xy xy) x y xy (t 1)ty (t t 1)y
Do đó
2
2
1
;
t t
y
t t
2
1 1
t t
x ty
t
Từ đó
2
2
1
P
Xét hàm số
2 2
2 1 ( )
1
f t
t t
, ta có
2 2 2
'( )
1
t
f t
t t
Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của P là: 16 đạt được khi 1
2
xy
Ví dụ 5 (ĐH Khối B- 2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2 2
2(a b ) ab
(a b ab)( 2)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
Bài giải
Biến đổi giả thiết: 2 2
2(a b ) ab (a b ab )( 2)
a b
b a
Trang 42 a b 1 (a b) 2 1 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
2
Đặt t a b
b a
2
P t t t t t t
Xét hàm số: 3 2
'( ) 6(2 3 2) 0,
2
f t t t t
Bảng biến thiên
Suy ra
5
; 2
Mi n ( )
f t f
4
P khi và chỉ khi
1 1 2 5 2
a b
a b
a b
b a
( ; )a b (2;1) hoặc
( ; )a b (1; 2)
Ví dụ 6 Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện 2(x2 y2 ) xy 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P xy
Bài giải
Đặt t=xy từ giả thiết suy ra 4 1 1 1
xy xy xy Vậy 1 1;
5 3
t
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và y ta được x2 y2 2 xy
Biến đổi và biểu diễn theo biến t ta được:
2
P
t
Xét hàm số
2
( )
8 4
t t
f t
t
5 3
t
; ta có
2 2
'( ) (8 4)
t t
f t
t
1
t
f t
t
1 1
;
5 3
1 Max ( ) (0)
4
f t f
và
1 1
;
5 3
Min ( )
Từ đó kết luận về giá trị lớn nhất và giá
trị nho nhất của P
