Bài toán khoảng cách và góc giữa hai mặt phẳng

Loại 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Phương pháp: Bước 1: Chọn một điểm M có tọa độ cụ thể nằm trên mặt phẳng  ... tạo với nhau một góc ... Chứng tỏ A, B, C không t

BÀI GIẢNG SỐ 03: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

Dạng 1: Tính khoảng cách

Loại 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp:Cho điểm M x y z 0; 0; 0và mặt phẳng (P):ax by czd  0 Khi đó khoảng cách

từ M đến (P) được cho bởi công thức:     0 0 0

2 2 2

d M

Ví dụ 1:

Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng (P): x + y –z + 1 = 0 và (Q) x –y +z – 5 = 0

Bài giải:

Gọi điểm M0; ;0b Oy

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:    

 2

2 2

;

3

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) là:    

 2

;

3

Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có: d M ; P d M Q ;  

3

b

Vậy M0; 3; 0 

Ví dụ 2:

Viết phương trình mặt phẳng   song song với   : x + 2y + 2z – 10 = 0 và khoảng cách từ M( 1; 0; 1) đến   bằng 2

Bài giải:

Vì   song song với   nên   có dạng: x + 2y + 2z + D = 0

Khoảng cách từ M đến   là:  ;   1.1 2.0 2.12 2 2 3

3

Vì d M ;  = 2 nên có: 3 2

3

D



D

Vậy   có dạng x 2y 2z 3 0







Ví dụ 3: Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC AD4cm

,AB 3cm,BC 5cm Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD

Bài giải:

Vẽ hình:

AB AC BC ABC vuông tại A

Chọn hệ trục tọa độ Axyz vớiB Ax,CAy D, Az

Khi đó: A(0; 0; 0), (3; 0; 0), (0; 4; 0),B C D(0; 0; 4)

Phương trình mặt phẳng (BCD) là: 1 4 3 3 12 0

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCDlà:

2 2 2

34

Ví dụ 4:

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cách điểm M(1; 2; 1) một khoảng bằng 2

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và cách điểm N(3; 3; 1) một khoảng bằng 3

Bài giải:

a) Mặt phẳng (P) chứa trục Ox nên có dạng: By + Cz = 0

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là: d M ; P  2B C2 2







Vì d M ; P  = 2 nên

2 2

2

2

B C







2 2

2

0

C







Nếu C  0 y 0

Nếu 3C4B0 Chọn C = 4, B = 3  3y 4z 0

Vậy phương trình của (P) là: 0

y

y z







b) Gọi n a b c ; ; 

là VTPT của mặt phẳng (Q) Phương trình mặt phẳng (Q) qua A(1; 0; 0) nhận n a b c ; ; 

là VTPT là:

a x bycz

0

ax by cz a

Vì (Q) qua B(0; 2; 0) nên có: 2b – a = 0 2ba

Chọn a = 2, b = 1phương trình (Q) là: 2x + y + cz – 2 = 0

Khoảng cách từ N đến (Q) là:

8c 14c 4 0 4c 7c 2 0

2 1 4

c

c









  



Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 2x y 2z – 2 0

8x 4y - z – 8 0







Loại 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Phương pháp:

Bước 1: Chọn một điểm M có tọa độ cụ thể nằm trên mặt phẳng  

Bước 2: Khi đó d     ;  d M ;  

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa   :x2y2z11 0 và   :x2y2z 2 0

Bài giải:

Ta thấy: 1 2 2 11    / /

1  2  2  2   

Lấy M1; 3; 3      Khi đó:     ;   ;   1 6 6 22 2 2 9 3

3

Vậy d = 3

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng:

 P1 :x2y2z 3 0, P2 :x2y2z 1 0

Bài giải:

Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng  P1 và  P2 nên có dạng: x 2y 2zD 0

Vì (P) cách đều  P1 và  P2 nên d    P ; P1 d    P ; P2  (1)

Chọn A 1; 1;0   P1 ,B1; 0;0   P2

Có:     1     

1 2

3

D

d P P d A P    

   

 2     

1

3

D

d P P d B P   

3 1 0 2

2

D

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x 2y 2z 2  0

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M cách đều   : 2x y 4z 5 0,  : 3x5y  z 1 0

Bài giải:

Gọi M x y z ; ; 

Khoảng cách từ M đến   là:  ;   2 4 5 2 4 5

 

Khoảng cách từ M đến   là:  ;   3 5 1 3 5 1

Vì M cách đều   và   nên d M ;  d M ;  

x y z x y z

 2 53 3 x  55 3 y 4 5 3z5 5 3 0

Vậy tập hợp các điểm M cách đều   và   là hai mặt phẳng:

2 53 3 x  55 3 y 4 5 3z5 5 30

Dạng 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp: Cho hai mặt phẳng   :a x b y1  1 c z1 d10,  :a x b y2  2 c z2 d2 0

tạo với nhau một góc . Khi đó 1 2 1 2 1 2

cos

 

 

 

Ví dụ 1:

Tính góc giữa các mặt phẳng   :x   y z 1 0,  :x   y z 5 0.Đs:

Bài giải:

VTPT của   là n 1;1; 1 

VTPT của   là n 1; 1;1 

Gọi .là góc giữa hai mặt phẳng   và  Khi đó

cos

3

n n

 

 

 

Ví dụ 2:

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng

  : 2xy 5z 0một góc 0

60

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(3; 0; 0), C(0; 0; 1)

và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 0

60

Bài giải:

a) Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có dạng: Ax + By = 0

VTPT của (P) là: nP A B; ; 0

, VTPT của   là: n 2;1; 5

Vì mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng   một góc 0

60 nên:

2 2

cos

2

P

P





 

4 4A 4AB B 10A 10B

6A 16AB 6B 0

1 3 3











 



Với 1

3

A B Chọn B = 3, A = 1 x 3y 0

Với A 3B Chọn B = -1, A = 3  3xy 0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 3 0

x y

x y





b) Gọi nQ a b c; ; 

là VTPT của mặt phẳng (Q) Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = 0 VTPT của (xOy) là n  (0; 0;1)

Phương trình mặt phẳng (Q) qua A có VTPT nQa b c; ; 

là:

a x bycz  ax bycz 3a 0

Vì (Q) qua C (0; 0; 1) nên c3a0 c 3a

Chọn a = 1, c = 3  ( ) : xQ by 3z  3 0

Vì mặt phẳng (Q) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc 600nên ta có:

cos

Q

Q

n n

 

 

cos os60

2

c

2

2 10

b



2

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: x 26 3 3 0

y z

y z





Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

D(0; a; 0), A’(0; 0; b) với a, b là những số dương và M là trung điểm của CC’

b) Tìm tỉ số a

b để mặt phẳng (A’BD) (MBD)

Bài giải:

Vẽ hình:

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A0; 0; 0 , B a ; 0; 0 , D0; ; 0 , ' 0; 0;a  A  b

Từ giả thiết ta có:  ; ; 0 , ' ; ;  ; ;

2

b

C a a C a a b M a a 

Vậy  ; ; 0 , 0; ;

2

b

BD a a BM   a 

2

2 2

ab ab

 

2

BA  a b BD BM BA  a  a b  

Do đó:

2 '

1

BDA M

a b

V  BD BM BA 

  

b) Mặt phẳng (BDM) có VTPT là: 1 ; ; ; 2

2 2

ab ab

n BD BM a 

  

n BD BA ab ab a

  

2 2 2 2

4

1 2

b

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Cho ba điểm A1; 0;0 , B0; 2; 0 , C3;3;1

a Chứng tỏ A, B, C không thẳng hàng Tinh diện tích ABC

ĐS: 3 6

2

ABC

S 

b Lập phương tình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và cách điểm C một khoảng bằng

3 ĐS: ( ) : 2 2 2 0

x y z Q

x y z





Bài 2: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q):

a (P): 2x + y – 2z – 1 = 0 và (Q): 6x – 3y + 2z – 2 = 0

b (P): x + 2y + z – 1 = 0 và (Q): x + 2y + z + 5 = 0

ĐS: a) 4x – 16y + 20z + 1 = 0 hoặc 32x – 2y – 8x – 13 = 0

b) x + 2y + z + 2 = 0

Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a vuông

góc với đáy Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và AC

a Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) ĐS:

3



b Tính góc giữa hai mặt phẳng(SEF) và (SBC) ĐS: os 3

10

c  

Bài 4: trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1;0; 0 , B0; ; 0 ,b  C0; 0;c, trong đó ,

b c dương và mặt phẳng (P): y  z 1 0 Xác định bvà c, biết mặt phẳng ABCvuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC bẳng 1

3

2

bc

1; 2;1 ,  2;1;3 , 2; 1;1

khoảng cách từ C đến  P bằng khoảng cách từ Dđến P

ĐS: ( ) : 4 2 7 15 0

P

x z







Bài 6:Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình vuông, tam giác A AC' vuông cân,

'

A C a Tính thể tich của khôi tứ diện ABB C' 'và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

BCD'theo a ĐS: 6

6

a

Bài 7:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P :x   y z 3 0và

 Q :x   y z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng  R vuông góc với  P và  Q sao cho khoảng cách từ O đến  R bằng 2 ĐS: ( ) :R x z 2 2  0

Bài 8:Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

, AA ' 2 , ' 3

ABa  a A C a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A C' ', I là giao điểm của AM

và A C' Tính theoa thể tích khối tứ diện IABCvà khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC

3

IABC

Bài 9: Cho 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho

a2 + b2 + c2 = 3 Xác định a, b, c để khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) lớn nhất ĐS: a = b = c = 1