Bài giảng sô 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A.. phương pháp tìm min và max Phương pháp 1: Bảng biến thiên Bước 1: Tìm miền xác đinh và tính y’ Bước 2: Lập bảng biến
Trang 1Bài giảng sô 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1 Định nghĩa
Cho hàm sốy f (x )xét trên tập
- Số gọi là giá trị lớn nhất của hàm số = ( ) trên nếu ∀ ∈ : ( ) ≤
∃ ∈ : ( ) =
Kí hiệu là max
∈ ( ) = = ( )
- Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( ) trên nếu ∀ ∈ : ( ) ≥
∃ ∈ : ( ) =
Kí hiệu là min
∈ ( ) = = ( )
2 phương pháp tìm min và max
Phương pháp 1: Bảng biến thiên
Bước 1: Tìm miền xác đinh và tính y’
Bước 2: Lập bảng biến thiên
Bước 3: Kết luận giá trị min và max dựa vào bảng biến thiên
Phương pháp 2: Phương pháp hàm liên tục trên đoạn
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN c ủa hàm số
2
2
3( 1) ( )
x
f x
trên khoảng ;
Lời giải
Tập xác định = ℝ
Ta có
2
6
1 (1)
1 ( 1) 2
x
2
3
)
(
Lim
x
Bảng biến thiên
( )
3
2
2
6 5
3 2
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
1 2
)
(
max f x x
5
6 ) ( min f x x
D
Trang 2Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN c ủa hàm số f ( x ) x 4 x2 trên miền xác định của nó
Lời giải
Tập xác định D 2 ; 2
4 1 )
(
'
x
x x
f
2 ) 2 (
; 2 2 ) 2 (
; 0 ) 2 (
;
2
)
2
f
Vậy max f ( x ) 2 2 x 2
D
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
x
x y
2
ln
trên đoạn 3
;
1 e
Lời giải
Ta có :
2
) ln 2 ( ln
'
x
x x
3 2 3
; 1
; 1 1 2
ln
0 ln 0 '
e e x
e x
x
x y
Khi đó y ( 1 ) 0;
2
) (
e e
3
) (
e e
Vậy
2 2
;
1
4 max
e
y
Ví dụ 4: Tìm GTNN c ủa hàm số
) sin cos 2 ( sin
cos
2
x x x
x y
3
;
0
Lời giải
Hàm số xác định trên khoảng
3
;
0
3
;
0
x ta có cos x 0 Chia cả tử và mẫu cho cos x ta được
) tan 2 ( tan
1 tan
2
1
2
x x
x
y
Đặt t tan x thì 0 ; 3
3
;
0
Trang 3Khi đó ta có: ( )
) 2 (
1 2
1
t t t
1
0 0
4 3 0
) ( ' ) 2 (
4 3 2
1
)
(
2 2
t
t t
t t t
g t
t
t t t
t
g
Bảng biến thiên
)
(
' t
g - 0 +
)
(t
g
2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
min min
1
; 0 3
; 0
x t
t g y
Ví dụ 5: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 4 x2 3 y 4 y2 3 x 25 xy
Lời giải
Ta có S 16 x2y2 12 x3 y3 9 xy 25 xy
x y xy x y xy
y
xy xy y
16 2 2
Đặt t xy với
4
1
; 0 4
1 4
0
2
t y
x xy
Ta được S 16 t2 2 t 12 với
4
;
0
t
4
1
; 0 16
1 0
' 2
32
S
Bảng biến thiên
Trang 4t 0
16
1
4 1
)
(
' t
)
(t
16
25
Dựa vào bảng biến thiên ta có
4
3 2
; 4
3 2
4
3 2
; 4
3 2 16
1 2
25 ) ( min
min
4
1
;
0
y x
y x
t t
g
S
2
1 4
1 2
25 ) ( max
max
4
1
;
0
y x t
t g S
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x x x 12 m 5 x 4 x (1)
có nghiệm
Lời giải
Điều kiện: 0 x 4
4 5
12
x x
x x x
Ta có: f ( x ) x x x 12 có 0 , 0 ; 4 ( )
12 2
1 2
3 ) (
x
x x
,
0
)
( x x
x x
x
g ( ) 5 4 có 0 , 0 ; 4 ( )
4 2
1 5
2
1 )
(
x x
x
0 ; 4 ,
0
)
( x x
g
Do đó F (x ) là hàm tăng trên 0 ; 4
Ta có bảng biến thiên:
Trang 5x 0 4
) (
' x
)
(x
F
) 0 (
F
) 4 (
F
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để (1) có nghiệm F ( 0 ) m F ( 4 )
12 2
5
12
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
1
2
x
x
y trên đoạn 1 ; 2
Đs:max y 2 f ( 1 ); min y 0 f ( 1 )
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y ( 3 x ) x2 1 trên đoạn 0 ; 2
Đs: max y 3 ; min y 5
Bài 3: Cho x 0 , y 0 , x y 1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P 32x 3y
Đs:
2
3 log 1
; 2
3 log 4
9 min
));
0
; 1 ((
10
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
x x
x x
4 4
cos sin
cos sin
7
5 min y y
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2
1
1 3
1
1 )
(
2 2
2 3
2
2
x x
x x x
x
x x x f
Đs: max y 2 ; min y 2
Bài 6: Cho hai số thực x 0 , y 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x y ) xy x2 y2 xy Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
3 3
1 1
y x
A
Trang 6Đs:
2
1 16
max A x y
Bài 7: Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn
4
5
y
x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y
x
S
4
1
4
Đs: max S 5 S ( 1 )
Bài 8: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x2 y2 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 x3 y3 3 xy
2
13 max P P
Bài 9: Cho
2
3
; 0 , , y z x y z
x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
z y x z y x
P 1 1 1
Đs:
Bài 10: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x y 3 4 xy 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
3 4 4 2 2 2 2
Đs:
2
1 16
9 min A x y
Bài 11: Tìm m để phương trình 4 sin4 x cos4x 4 sin6x cos6x sin24 x m có nghiệm
16
9
m
