NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP VỀ CĂN BẬC HAI I.. Toán học là môn học cơ bản trong nhà trường phổ thông, đối với học sinh môn toán nói chung và môn đại số
Trang 1NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP VỀ CĂN BẬC HAI
I Đặt vấn đề.
Toán học là môn học cơ bản trong nhà trường phổ thông, đối với học sinh môn toán nói chung và môn đại số nói riêng là một môn học khó Bởi vậy, không ít học sinh dù đã có nhiều cố gắng xong kết quả môn toán nói chung và phân môn đại số nói riêng còn thấp so với yêu cầu Để nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện các nhà trường nói chung, các giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán nói riêng cần phải có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng môn Đại số của học sinh trung học cơ sở
Với lý do trên tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh giải
bài tập về căn bậc hai”.
II Nội Dung.
Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 vừa qua, năm học 2004 – 2005 Tại trường trung học phổ thông thành phố Lào Cai có rất nhiều em bị điểm 1; 2 vì môn toán Quan nghiên cứu thực tế, tôi nhận thấy phần đông các em bị điểm thấp về môn toán vì hai lý do sau:
+ Không thuộc kiến thức hoặc không nắm vững kiến thức
+ Lý do quan trọng nhất là các em chưa biết cách làm toán mà ta gọi là phương pháp Nhất là các phương pháp đặc trưng cho từng dạng bài, từng loại toán: Muốn rút gọn một biểu thức, hay chứng minh một đẳng thức phải làm thế nào? Các em đều không biết
Qua nhiều năm dạy lớp 9 bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh giải bài tập về căn bậc hai” cần phải nắm được phương pháp giải
và các dạng bài
1) Bài toán :
Rút gọn biểu thức A:
Phương pháp giải:
Để rút gọn biểu thức A, ta thực hiện các bước sau:
Trang 2- Qui đồng mẫu số chung (nếu có).
- Đưa bớt thừa số ra ngoài dấu căn
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Thực hiện các phép tính, luỹ thừa, khai căn, nhân chia
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng
Ví dụ1: Rút gọn
a) 2 75 - 3 12 + 27
b) x + 2y - x 4xy 4y
Nhận xét về câu a) rõ ràng ta phải biến đổi các căn thức thành căn thức đồng dạng thì mới rút gọn biểu thức đã cho được
Ta có : 2 75= 2 25 3=2.5 3=10 3
3 12=3 4 3=3.2 3=6 3
27 = 9 3=3 3
Suy ra: 2 75-3 12+ 27= 10 3- 6 3+3 3=(10 –6 +3) 3= 7 3
Vậy : 2 75-3 12+ 27= 7 3
Nhận xét về câu b) biểu thức trong căn là một bình phương:
x2 – 4xy +4y2=(x-2y)2
Các học sinh cần lưu ý một điều là: Căn bậc hai của bình phương hiệu hai số bằng số lớn trừ đi số nhỏ
) (A B 2=|A-B|=
Do đó:
) 2
(x y 2= | x-2y|=
A-B nếu AB -(A-B)=B-A nếu A<B x-2y nếu x2y -(x-2y)=x+2y nếu x<2y
Trang 3- Nếu x2y thì |x- 2y| = x-2y.
P= x+2y-(x-2y) – 4y
- Nếu x<2y thì |x-2y| = 2y-x
P= x+2y-(2y-x) = 2x
Vậy : x+ 2y - x 4xy 4y 2=
Ví dụ 2: Cho biểu thức
M =
Rút gọn rồi tính giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn nhất đó + Nhận xét: Ta phải phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi rút gọn biểu thức đã cho
x4+( 3- 2)x2- 6 =
= x4+ 3x2 - 2x2- 6
= x2(x2+ 3)- 2(x2+ 3)
= (x2+ 3)(x2- 2)
Vậy : M= = = (Với x
2
Vì x2+ 3 3với mọi x nên
Vậy Max M= khi x=0
Ví dụ 3:
Cho biểu thức
C= - +
a) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa.b) Rút gọn biểu thức C.Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên
Giải
2 4y nếu x2y
2x nếu x<2y
x2- 2
x4+( 3- 2)x2- 6
x2- 2
x2(x2+ 3)- 2(x2+ 3)
x2- 2 (x2+ 3)(x2- 2)
1
x2+ 3
1
x2+ 3
1
3
1
3
3x+ 9x -3
x+ x-2
x+1
x+2
x+2 1- x
Trang 41- x 0 x 1 x0
x+2 0 x+2 0 ,x0 x 1
x+ x-2 0 ( x+2)( x-1) 0
b)
C=
-=
=
3x+ 9x -3
( x+2)( x-1)
x+1
x+2
x+2
x-1
3x+3 x-3-( x+1)( x-1)-( x+2)( x+2)
( x+2)( x -1)
3x+3 x -3- x+1-x- 4 x-4
( x+2)( x-1)
x- x-6
( x+2)( x
-1)
x ( x+2)-3( x+2) ( x+2)( x-1)
( x+2)( x -3)
( x+2)( x-1)
x -3
x-1
2
x-1
Trang 53 )
1 )(
2 (
) 3 )(
2 (
) 1 )(
2 (
) 2 ( 3 ) 2 ( ) 1 )(
2 (
6
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
c)
1
2 1 1
2 1 1
3
x x
x x
x
C
Với xZ để CZ thì x-1 phải là ước của 2 vì x0 nên x -1-1, do đó:
- Nếu x-1=-1 thì x= 0 nên x= 0 khi đó 3
1
2
C
- Nếu x-1=1 thì x=2 nên x=4 khi đó 1
1
2
C
- Nếu x-1=2 thì x=3 nên x=9 khi đó 0
2
2
C
Vậy với x= 0, x= 4, x=9 thì giá trị của biểu thức C là một số nguyên
Nhận xét về phương pháp giải
a) C có nghĩa khi x 0 và mẫu thức khác 0
b) Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu các phân thức, phân tích
tử thành nhân tử, rút gọn biểu thức
c) Tìm x Z khi thay vào C thì C Z
2) Bài toán :
Tính toán
a) Tính A
b) Tính giá trị của biểu thức A(x) biết rằng x =a
(*) Phương pháp giải:
a, Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán “Rút gọn biểu thức A”
Ví dụ1:
Tính 8 2 15+ 8 2 15
* Nhận xét: Các biểu thức trong căn bậc hai thường là một bình phương của tổng hoặc của một hiệu hai số
(a-b)2= 8-2 15 a2+b2-2ab = 8- 2 15
rõ ràng ab= 15, a2+b2=8
a chỉ có thể là 5 và b= 3 hoặc ngược lại
Do đó ta giải quyết bài toán trên như sau:
15 2
8 = 5 2 3 2 2 5 3
= ( 5 ) 3 ) 2 =| 5- 3|= 5- 3
Tương tự: 8 2 15 = 5+ 3
Do đó: 8 2 15 + 8 2 15 =( 5 3 ) ( 5 3 )
= 5 3 5 3 2 3
Vậy 8 2 15+ 8 2 15=-2 3
b, Biết x=a tính A(x)
- Trước hết ta rút gọn A(x)
- Cuối cùng ta mới thay x=a vào biểu thức thu gọn
Trang 6Ví dụ 1:
Tính : 15a2 8a 15 16 với a=
3
5 5
3
Ta rút gọn biểu thức
A(x)= 15 2 8 15 16
a a
= a 152 2a 15 4 4 2
= 2
4
15
- Các học sinh giỏi có thể thấy ngay rằng:
a= 53 35 2
Với b> 0 ta có: 1 21 21 2 2
b
b b
b b b
=
b
b
b2 1 2 +2=
b
b 1 ) 2
+22 Suy ra : a 15 2 15= 60> 16 =4
Do đó : A(a)= a 15-4
Với a= 53 35=
15
8 15
5 3 3
5 5
3
15
)
A x
Vậy 15 2 8 15 16 4
a
a
khi a=
3
5 5
3
Có nhiều học sinh tính a 158 và thay trực tiếp a 158 vào biểu thức nằm trong căn thức
Làm như vậy sẽ gặp rất nhiều khó khăn
Ghi nhớ: Rút gọn biểu thức trước khi thay thế giá trị của chữ vào biểu thức + Các học sinh khác có thể thay a 158 vào (*)
A(a)= 15 4 | | 8 4 | | 4 | 4
15
8
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
n mn
m mn
m
n mn
n m n
m
n
m
Với m 2 3 ,n 2 3
Ta rút gọn phần nằm trong ngoặc đơn
Trang 7
2
1 3 2
1 3 2
3 2 4 2
3 2 4 3 2 3
2
:
n m n m
n m n m
n m n m
n
m
B
n m
n m n m mn
n m mn n
m
mn
mn m
mn
n
n m mn
n m m m n m n n n
m
n
m
n m n
m n
m m
n mn
n
m
n mn
m mn
m
n
mn
n
m
Vậy B= 2
Ví dụ 3:Tính giá trị của biểu thức tại x=3
8 2 4
2 2 8
2 4
2 2
2 2
x x
x x
x
x
M
Giải
2 2
2 2
) 2 2 (
2 2 )
2
2
(
2
2
8 2 4
2 2 8
2 4
2 2
x
x x
x
x x
x x
x
x
M
Với x 3 2 2nên các căn thức bậc hai đều xác định và các mẫu thức đều dương, ta có:
8
2 2 2
2
2 2
1 2
2
1 )
2 2 (
2 2 )
2 2
(
2 2
2
2 2
x
x x
x x
x
x x
x
M
Tại x=3 ta có :
2 1 3 1 3 ) 1 3 ( ) 1 3 ( 8
9
2 2 3 2
2
M
3) Bài toán giải phương trình vô tỉ:
Dạng 1: f x g x (1)
Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ
Sơ đồ cách giải: g x 0 (2)
x g x
f
2
x g x
Giải phương trình (3) đối chiếu điều kiện (2), chọn nghiệm thích hợp nghiệm của (1)
Ví dụ1: Giải phương trình
1
1
x (1)
Giải: Ta có: x 1 0 x 1
Trang 8)
1
2 ) 1 (
1
x
1
x
3
x
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 3
Trang 9Dạng 2:
) ( ) ( ) (x h x g x
Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình:
0 )
f
0 )
0 )
g
Với điều kiện (*) hai vế của (1) không âm, bình phương của 2 vế ta có:
2
1 )
(
)
(
) ( ) ( ) ( 2 )
(
)
(
2
2
x h x f x g x
h
x
f
x g x h x f x
h
x
f
(2)
Phương trình (2) có dạng 1 Buộc điều kiện mới:
g(x)2 f(x) h(x) 0 (**)
Bình phương 2 vế của (2) ta được một bình phương (3) mà cách giải đã biết Giải (3) chọn nghiệm thoả mãn các điều kiện (*) và (**) đó là nghiệm của (1)
Ví dụ2:
Giải phương trình sau: x 3 5 x 2 (1)
Giải:
Ta có : ( 1 ) x 3 x 2 5 (1’)
Điều kiện: x 3 0 x 3
0
2
x x 2 x 2 (*) Với điều kiện (*) hai vế cuả (1’) không âm Bình phương 2 vế ta có:
x x
x
x x
x
x x x
x
12 6
2 24 6 2
25 ) 2 )(
3 ( 2 2
3
2
Điều kiện để (2) có nghĩa là:
12 0
Bình phương hai vế của (2) ta có:
6 150
25
24 144
2
x x
x x x
x thoả mãn (*) và (**)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là: x 6
Dạng 3:
x h x g x
Trang 10Cách giải tương tự
Ví dụ 3: Giải phương trình:
x x
x 1 7 12
Giải: Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
7 12
1
Điều kiện: x 1 0 x 1
0
7
0
Với điều kiện (*) hai vế của (1) không âm Bình phương hai vế của (1) ta có:
4 84
19
2
) 7 )(
12 ( 2 7 12
1
2
x x
x
x x x
x
x
(2) Với (*) hai vế của (2) không âm Bình phương hai vế ta có:
2 4
1760
1764
0 352 84
5x
16 -8x x2 84)
19x
4(-x2
' '
2
x
Phương trình (3) có hai nghiệm là: ; 8
5
44
2
x thoả mãn (*)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: ; 8
5
44
2
x
Dạng 4:
x h x g x k x
Phương trình này quá trình độ đối với học sinh phổ thông Tuy nhiên cách giải cũng tương tự như dạng 3
Trang 11 Buộc điều kiện:
x 0 ,h x 0 ,g x 0 ,k x 0
f
Bình phương hai vế, ta có:
x h x g x k x g
x h x f x
h
x
f( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2
Đưa phương trình về dạng:
x G x H x
Tuỳ theo từng trường hợp cụ thể mà giải tiếp
Ví dụ 4: Giải phương trình
0 9 4
1
Cách 1: Ta viết (1) dưới dạng 4:
4 1
9
Điều kiện : x 0 (*)
Với (*) bình phương hai vế của (2) ta có:
4 5 9
2
4 5 2
9
2
4
2 2
2 2
x x x x
x x x
x
Hai vế không âm Bình phương hai vế ta có:
x x
x
x x x x x
x
9
4 5 9
4
9
4
2
2 2
2
(3) Điều kiện: x 0 (**)
Bình phương hai vế của (3), ta có:
0 0
9
2 xx x x
vậy nghiệm của phương trình đã cho là:x 0
Cách 2: Ta có thể viết:
1 x 9 x 4 x 1 x (2)
nhân và chia với lượng liên hợp với x 0 (*), ta có:
Trang 12
x x
x
x
x x
x
x
x x
x x x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
5 1 5 4 9
1
1 4
9
5
1 _
1 4
9
4 9
1
1 1
4 9
4 9
4 9
Cộng (2) và (3) vế theo vế:
x x
x 9 3 1 2
Do x 0 nên 3 x 1 2 x 3 x 1 9 x 9 9x 9 (4)
Nếu x>0 thì 9x+9 > x+9 do đó (4) vô lí Vậy x=0
Dạng 5:
x h x n f x h x g x
Phương pháp giải:
Để giải được loại phương trình này ta dùng ẩn số phụ
Ví dụ5: Giải phương trình
x x
x x
Giải:
Điều kiện: 2 x132 (*)
Đặt t x 1 x 2, với t >0, ta có:
1 2 2
2
2 2
2 1
2 2
2 2
x t x
x
x x x
x
t
Do đó ta có:
0 12
2 13 1 2
)
1
(
2
2
t
t
x x
t
t
(2) Phương trình (2) có hai nghiệm là t1=3, t2=-4 Vì t >0 nên ta chọn t=3
Ta giải phương trình
(3)
Trang 134) Bài toán:
Giải phương trình: |f(x)| = g(x) (1)
Phương pháp giải:
Có 3 cách giải:
- Cách 1: + Điều kiện: g x 0 (2)
+ Bình phương hai vế: 2 2
x g x
f (3) Giải (3): Chọn nghiệm thoả mãn (2) nghiệm của (1)
Sơ đồ cách giải:
x g x
f |
- Cách 2: + Xét f x 0 f x g x
+ Xét f x 0 f x g x
Sơ đồ cách giải:
x g x
f |
Cách 3: Với g x 0ta có f x g x
Sơ đồ cách giải:
x g x
f |
x g x f
x g
0
x g x f
x g
0
Ví dụ: Giải phương trình : | x-2 | = x + 2
Ta dùng cách 1:
Ta có : | x-2 | = x+ 2
2
)
2
(
0 2
x x
x
4 4 4 4
2
2 2
x x x
x x
0
8
2
x
x
x=0
III Kết luận:
2 2
0
x g x f
x g
x g x f
x f
x g x f
x f
0
Trang 14Qua quá trình giảng dạy: “Hướng dẫn học sinh giải bài tập về căn bậc hai” Tôi thu nhận được kết quả tương đối tốt, học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng bài tập và vận dụng giải bài tập tương đối tốt
Bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm trong các giờ luyện tập giáo viên chọn các dạng bài tập hay thi vào cấp III để học sinh được rèn kỹ năng giải bài tập, nhằm gây hứng thú học Toán của học sinh và học sinh thích những giờ luyện tập Toán
