SKKN Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học 11

Lý do chọn đề tài: Môn Toán trong trường trung học phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc

A - MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Môn Toán trong trường trung học phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết còn rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng tính sáng tạo và thẩm mĩ

Thực tế ở trường THPT Thanh Khê chúng tôi hiện nay, chất lượng vào đầu cấp còn khá thấp so với mặt bằng chung của thành phố, đặc biệt đa số các em xuất thân từ các gia đình kinh tế khó khăn, ít có điều kiện học tập, bị hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn, thêm vào đó, lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với phần lớn học sinh ở đây nên việc truyền tải và phát triển khả năng nhận thức, tư duy cho phù hợp với từng đối tượng học sinh gặp nhiều trở ngại Đặc biệt, học sinh khối 11 khi học

về phép biến hình trong mặt phẳng rất vất vả để tiếp thu và áp dụng Vì vậy để ít

nhiều giúp học sinh học tốt một phần của chương trình này, tôi đã chọn đề tài “Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học”

II Mục đích nghiên cứu:

Tạo hứng thú học tập, tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh trường THPT Thanh Khê Làm cho học sinh hiểu, phân biệt rõ các phép dời hình và ứng dụng của nó trong việc giải toán Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh cũng như chất lượng giảng dạy trong các tiết học

III Cấu trúc của đề tài:

A – MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài

Mục đích nghiên cứu

Cấu trúc của đề tài

B - NỘI DUNG

Cơ sở lí luận

Thực trạng của đề tài

Giải quyết vấn đề

Định nghĩa và biểu thức toạ độ phép dời hình

Một số tính chất của phép dời hình

Các dạng bài tập cơ bản

Một số bài tập tham khảo

C - KẾT LUẬN

Tài liệu tham khảo

B - NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận:

Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú trọng phát huy động cơ học tập giúp học sinh thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận

thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội kiến thức Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn; hay có thể có những em thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt… Dù là khả năng nào đi chăng nữa, học sinh cần thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển thì phải có tri thức, phải luôn học hỏi

Riêng về môn Hình học 11, qua thực tế cho thấy nhiều học sinh khi học về

các phép dời hình, các em thường có tâm lí không biết ứng dụng của phép dời hình

để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các

em không muốn học chương này Thế nên giáo viên cần chỉ rõ, đưa ra những ví dụ

cụ thể và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép dời hình vào giải toán Ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp cụ thể, trực tiếp vào đúng đối tượng học sinh để các em yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, còn số ít các em khá không thấy chán nản, vẫn có thể vừa rèn luyện, tiếp nhận kiến thức, vừa giúp đỡ bạn

II Thực trạng của đề tài:

- Học sinh còn lúng túng khi tìm ảnh của một hình qua một phép dời hình

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc

- Khả năng tưởng tượng, tư duy lôgíc còn hạn chế

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt

- Đa số học sinh có tâm lí sợ học môn hình học

Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức Người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp

đỡ, việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích cực, như

 Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về các phép dời hình

 Hướng dẫn học sinh ghi nhớ bằng cách phân biệt sự giống nhau và khác nhau về định nghĩa, biểu thức tọa độ, các tính chất giữa các phép dời hình

 Phân dạng bài tập, phương pháp và các bước thực hiện chung

 Khai thác triệt để bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cho đối tượng trung bình, yếu và một số bài tập đòi hỏi tư duy cao dành cho đối tượng khá giỏi

III Giải quyết vấn đề:

1 Định nghĩa, biểu thức tọa độ của phép dời hình:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho véctơ ( , ) v a b , các điểm: M x y M x y ; ,    ; ,

 ; 

M x y   , I x y 0 ; 0 và đường thẳng :axby c 0

Phép tịnh

tiến

0

v

T v 

  T M v  M MMv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

  



   

  



( )

Phép đối

xứng trục

d

§

Phép đối

xứng trục

d

§

0

§ ( ) 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 d M M



 



 



 

 



by c x

a

ax c y

b

§ ( )

;

§ ( )

 



 



 



   

 



Ox

Oy

Phép đối

xứng tâm

I

M M IM IM

 

§ ( )

0 0

2 2

O

I

 



 



  



   

  



§ ( )

§ ( ) Phép quay

I, 

Q 

Phép quay

I, 

Q 

I,    

 



 

 



OM OM

0

0 0 90

0 0

; ( )







   





I

2

0

2

; ( )

tan /

;

tan /















 



  









O

y x

y x k

x y

Phép đồng

nhất I I M  M

Phép dời

hình F

 



 

 





- Nếu có phép dời hình biến một hình H thành hình H’ thì H và H’ là hai hình bằng nhau

- Thực hiện liên tiếp hai ( hay nhiều ) phép dời hình ta được một phép dời hình

Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng :axby c 0, điểm

 , 

M x y Gọi M x y    ,  § ( M) Khi đó, biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:



 



 



 

 



by c x

a

ax c y

b Chứng minh:

Gọi M x y0 0, 0  MM sao cho MM .

   

0

0 0

0

0

2

x

y

b

 









Mà M là điểm trên đoạn MM sao cho M0 là trung điểm

0

0

2 2

by c x

y

b

 



 



  



Vậy (I ) được chứng minh.

Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M x y ,  và số thực 0

0 90 Gọi M x y    ,  QO; M Khi đó, biểu thức tọa độ của phép quay QO;:

  trong đó 2  

2

;

tan ( )

tan ,













 



  







O

x

x y

Chứng minh:

Gọi  là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm M x y , 

+ Khi x    M 0 có hệ số góc tan ;  M

M

    và : y x M  x y M 0 Gọi :axby0 là đường thẳng thỏa      0 0

2 Ox



     ,  có hệ

tan ,

y

y

x





0

  :  0:

2

M

        

Gọi M x y   ,  QO; M  MĐ M Áp dụng bổ đề 1, ta có

y

x

k

y k x

       

M

O

x

y







M

/ 2

O

y







M

/ 2





M

*) Trường hợp suy biến: - Nếu   0 Đ  

,Ox 0 Ox y: 0 M Ox M

       

,Ox 90 Oy x: 0 M Oy M

Vậy (II ) được chứng minh.

2 Một số tính chất của phép dời hình:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó

- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn bán kính thành đường tròn có cùng bán kính

3 Các dạng bài tập cơ bản:

<*> Một số dạng bài tập cơ bản:

Dạng 1: Xác định trên hình vẽ ảnh của một hình qua phép dời hình

Phương pháp chung:

- Dùng định nghĩa

- Dùng các tính chất của phép biến hình

Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình

Phương pháp chung:

- Dùng định nghĩa

- Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình

- Dùng các tính chất của phép biến hình

Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình

Phương pháp chung:

- Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh

- Để dựng điểm M ta làm như sau:

Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép dời hình.

Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã

biết qua một phép dời hình

Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích

Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép dời hình

<*> Yêu cầu chung:

Để thực hiện giải một bài toán, tôi yêu cầu học sinh cố gắng phân tích kỹ đề

và thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đọc và tìm hiểu kỹ đề

Bước 2: Xác định dạng bài tập

Bước 3: Tìm kiến thức sử dụng và cách giải quyết các vướng mắc để giải bài tập đó Bước 4: Hoàn thành bài giải

* Tìm cách giải khác (nếu có)

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O Xác định ảnh của các đỉnh A B C D, , , qua 1) Phép tịnh tiến T AB ; 2) Phép đối xứng trục §AB ;

3) Phép đối xứng tâm §O ; 4) Phép quay QO;90 0.

Hướng dẫn giải

1) T AB               A B T;              AB B B BB AB

 

 

;

AB

AB



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) §ABAB AB;

 

 

 

 

AB

AB

D D AD AD

3) §O A C;§O B D

4)   

0

2

;90

2





  





O

OA OA

0

2

;90

2





  





O

OB OB

0

2

;90

2





  





O

OC OC

0

2

;90

2





  





O

OD OD

Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và    A B C D ( như hình vẽ ) có AB A B   Tìm một phép dời hình biến hình vuông ABCD thành    A B C D

Hướng dẫn giải

- Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông ABCD theo   

v AA ( như hình vẽ ) ta

được ảnh của nó là hình vuông A B C D  1 1 1

- Thực hiện quay hình vuông A B C D tâm  1 1 1 A, góc quay   A D A D ta được 1;   hình vuông A B C D   

Vậy thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình nói trên ta được một phép dời hình biến hình vuông ABCD thành    A B C D

B

A

D

A

B

C

A’

B’

C’

D’

1

B

1

C

1

D



D

1

C

B 1

D

2

A

A

B

C D

2

B

2

C

A

B O

C D

C’ B’

Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau  O1 và O2 Tìm tất cả các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia

Hướng dẫn giải

Các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia:

- phép tịnh tiến TO O 1 2,

- phép đối xứng tâmĐ O

(O là trung điểm của O O1 2),

- phép quay I, với I ,

- phép đối xứng trục Đ 

Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm 1;4 ,  3;5

2

 

 

 

 



điểm ảnh của M qua các phép dời hình

a) 

v

T ; b) §Ox; c) §Oy; d) §O

2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4) Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900

Hướng dẫn giải

1/ a) Gọi M x y M x y , , 1 1, 1 T M v 

Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến   1 1

1

 



  

 





v

y y b, ta có:

1

1

3

4 5 9



   





   



x y

Vậy điểm ảnh của M qua 

v

T là 1

5

;9 2



b) Gọi M x y2 2, 2 §Ox M Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Đ : Ox

2

2

2

1

4

Ox

y







Vậy điểm ảnh của M qua § Ox là 2

1

; 4 2



c) Gọi M x y3 3, 3 §Oy M Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Đ : Oy

3

3

3

1

4

Oy

y









O

Vậy điểm ảnh của M qua § Oy là 3

1

; 4 2



d) Gọi M4x y4, 4 §O M Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm Đ : O

4

4

4

1

4

O

y







Vậy điểm ảnh của M qua § O là 4

1

; 4 2

 

2/ Cách 1: Gọi A QO;90 0 A Gọi B3;0 ,  C0;4 lần lượt là hình chiếu vuông

góc của A lên các trục Ox, Oy

Phép QO;90 0 biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OB A C  

Ta thấy B0;3 ,  C  4;0 Vậy điểm ảnh của A qua QO;90 0 là A  4;3.

Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay    

0

0 0 90

0 0

; ( )



   



   



I

Suy ra  ;90 0   4;3 

O

Bài 2: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ ( 2;3) v  , đường thẳng d có phương

trình: 3x 5y 3 0 Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép 

v

T

2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M 1;5, đường tròn (C) có phương trình x2  y2  2x4y 4 0 , đường thẳng d có phương trình x 2y 4 0

a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.

b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục :x y 1 0

Hướng dẫn giải

1/ Gọi M x y   ,  T M d v ; T d v 

Cách 1:

Chọn 1;0     3;3 

v

Vì d’//d nên : 3 d x 5y C 0, Md C = 24

Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3x 5y24 0.

Cách 2:

Từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến Tv: ' 2

 





 



' 2 ' 3

 



 

 



x x

y y

Thay vào phương trình của d ta được: 3 x 5y24 0.

Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3x 5y24 0.

Cách 3 :

Lấy M N, bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo vectơ v Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’.

+ Ta có M11; 5  

+ Đường tròn (C) có tâm I1; 2 ,  bán kính R 3 Đường tròn ảnh (C ) của (C) có1 tâm là I’Đ Ox  I 1;2 và bán kính R 3

Vậy phương trình (C ) là: 1  2  2

+ Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ĐOx: ' '



Thay vào phương trình của d ta được: ’ 2 ’ 4 0 x  y  

Vậy phương trình của d1 là x2y 4 0.

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: § ( )



 



 



 

 



by c x

a

ax c y

b

Thay tọa độ điểm M và hệ số của đường thẳng vào ta có









 

1.5 1

4 1

1.1 1

2 1

x y

Vậy ĐM M24;2

Từ biểu thức tọa độ , ta có







§ ( )

+ Pt đường thẳng d2 ảnh của d qua Đ là

 

Vậy d2: 2x   y 7 0

+ Pt đường tròn C2ảnh của (C) qua Đ là

 

2 2

Vậy C2 : x12y2 9

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A1; 1 ,  B3;1 , C2;3  Tìm toạ

độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm D x y  ; 

Để ABCD là hình bình hành thì BA CD 

Nên  ( ) 

BA

Với BA  4; 2 ,  CDx 2;y 3



Vậy D  2;1 

Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là

hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ) Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất

2) Có ba thành phốA B C, , tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng

bằng Tìm vị trí I trong ABCsao cho có thể xây dựng một sân bay chung mà tổng

khoảng cách từ I tới các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất.

Hướng dẫn giải

1) + Giả sử coi con sông rất hẹp: a b

Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng

a Tìm vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất Khi đó M là giao điểm của AB với a

+ Thực tế: a song song với b

Các đường thẳng a, b cố định  MN

cố định

Nên T MN  A A’ A N’ AM

Ta có AM BN ’A N NB A B’

Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học

Cách dựng:

- Dựng A T MN  A Nối A’, B có A B  b N

- Từ N hạ đường thẳng d a tại M Khi đó MN là vị trí xây cầu.

2) Thực hiện phép  ;60 0 : ;

B

Q I  J A A Ta có BI BJ;  60 ;0 BA BA;  60 0

BI BA;   BI BA;  600 BJ BA; 

BIA BJA AI A J

    

IA IB IC JA IJ IC

      ngắn nhất khi A I J C, , , thẳng hàng và J ở giữa A’ và

I, I ở giữa J và C Thì  0

120 ;

120

AIBBJA

Vậy I nhìn AB, BC, CA dưới góc 0

120

Cách dựng:

- Dựng ảnh A’ của A qua QB;60 0

- Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều.

Nên I chính là điểm cần dựng.

Thật vậy, ABC là tam giác nhọn nên A’, A cùng phía so với BC; A’, B cùng phía

so với AC Lúc đó A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB

Mặt khác  0

60

60

ABA  nên I phải nằm trong ABC Nên A I J C, , , thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C và

IAIBICJAIJ IC ngắn nhất

Bài 2: Cho hai dây cung không cắt nhau AC, BD của một đường tròn (O) và điểm P

trên dây CD Hãy xác định điểm S trên (O) sao cho ASB chắn trên dây CD một đoạn MN nhận P làm trung điểm.

Hướng dẫn giải

Thực hiện phép đối xứng tâm Đ M P  N , Đ S P  S Đ A; P  A Đ B; P  B



 S là đỉnh thứ tư của các hình bình hành MSNS, ASA S BSB S ,   có cùng tâm đối

xứng P.

, ,

 A N S thẳng hàng và B M S, ,  thẳng hàng

A

C

B

I

A

C

D O

N

S

M

P

S’