SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài tập về lập phương trình đường thẳng

Toán học có vai trò quan trọng như vậy là vì Toán học “Không chỉ là một tập hợp các sự kiện trình bày dưới dạng các định lý mà trước hết nó là một hệ thống các phương pháp, hơn nữa nó là

PHẦN I MỞ ĐẦU.

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các nghành khoa học Ngay từ thế kỷ 13 nhà tư tưởng Anh R.Ba - Con đã nói “Ai không hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác

và cũng không thể phát hiện ra sự rốt nát của bản thân mình” (Tạp chí toán học trong trường phổ thông) Đến giữa thế kỷ 20, nhà vật lý học nổi tiếng P-Di-rac khẳng định rằng khi xây dựng lý thuyết vật lý không được tin vào mọi quan niệm vật lý mà phải tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lý cả (Tạp chí toán học trong trường phổ thông) Sự phát triển của các khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của Các - Mác “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toán học” (Hoàng Chúng: Phương pháp dạy học toán, trang 16)

Toán học có vai trò quan trọng như vậy là vì Toán học “Không chỉ là một tập hợp các sự kiện trình bày dưới dạng các định lý mà trước hết nó là một

hệ thống các phương pháp, hơn nữa nó là ngôn ngữ để diễn tả các sự kiện và các phương pháp trong các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn (Hoàng Chúng: Phương pháp dạy học Toán học) Do vậy “Xây dựng

mô hình Toán học là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tự nhiên” (Tạp chí Toán học trong trường phổ thông)

Ở trường phổ thông, các môn khoa học tự nhiên nói chung và môn Toán nói riêng là một môn học mà nhiều học sinh rất ngại học bởi nó toàn những công thức, những định lí, hệ quả khô khan và cứng nhắc, mỗi bài toán khi giải luôn phải tuân theo một quy tắc, một công thức rõ ràng, điều này gây nên

sự nhàm chán cho học sinh Đôi khi có những bài toán học sinh không thể áp dụng được ngay những quy tắc, đinh lí, hay những công thức đã có sẵn để làm

mà cần phải có sự suy luận sáng tạo, một sự nhanh nhạy khi tổng hợp các kiến thức lí thuyết để giải

Giúp học sinh ham học và học tốt bộ môn Toán là nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên dạy Toán ở trường phổ thông bởi các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu để giúp học sinh học tập tốt các môn khoa học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực “Dù các bạn phục vụ ở nghành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và phương pháp Toán học cũng cần cho các bạn” (Phạm Văn Đồng - Tạp chí Toán học và tuổi trẻ) Do tính chất trừu tượng cao độ của Toán học, môn Toán có thể giúp rất nhiều cho học sinh rèn luyện óc trừu tượng Do tính chính xác, suy luận lôgíc chặt chẽ là “môn thể thao của trí tuệ” Toán học có khả năng phong phú dạy cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với logíc

Việc tìm kiếm chứng minh một định lý, tìm lời giải cho một bài Toán có tác dụng lớn trong việc rèn cho học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập, trong giải quyết các vấn đề: Biết quan sát,

dự đoán, quy nạp và qua đó có tác dụng lớn rèn cho học sinh trí thông minh sáng tạo

Khi học Toán học sinh phải biết tiếp thu tri thức, biến những tri thức thu nhận được thành của bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng Biết đơn giản hóa một bài toán khi giải, biết sử dụng thành thạo các quy tắc, các thuật toán đã biết, biết nhận dạng, phân loại bài toán để giải một cách nhanh nhất Khi dạy toán người giáo viên cần nêu lên những bài toán gây sự tò

mò cho học sinh, yêu cầu học sinh phải khám phá, suy luận, phải đặt ra câu hỏi: Bài toán này nằm trong nội dung lí thuyết nào đã học, bài toán này thuộc vào dạng toán nào, nó có liên hệ gì với các bài toán đã được làm……

Những câu hỏi và những vấn đề nêu trên thực sự cần thiết với người dạy Toán và học Toán, bởi nhiều bài toán không có thuật toán để giải, không được trình bày trong SGK theo một bài cụ thể mà nó là sự tổng hợp của nhiều kiến thức trong một chương, học sinh khi giải phải tự nhận dạng, phân loại bài toán

để giải Làm tốt những bài toán dạng này không phải là một vấn đề đơn giản đối với học sinh, một trong những dạng Toán mà học sinh hay gặp khó khăn

khi gặp phải là dạng toán “Lập phương trình đường thẳng” Để giúp học sinh

có một công cụ hữu hiệu, một định hướng rõ ràng khi gặp những bài toán dạng này, sau nhiều năm thực tế giảng dạy bản thân tôi đã có một chút phương pháp

để “Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài tập về lập phương trình đường

thẳng”, và đây cũng là nội dung chính mà tôi muốn đưa ra trong đề tài này

II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.

Đề tài này nhằm nghiên cứu những vấn đề sau:

1 Nghiên cứu cơ sở lí luận để tìm hiểu khái niệm: Phương trình đường thẳng

2 Hướng dẫn học sinh sử dụng các kiến thức về hàm số bậc nhất, đồ thị của hàm số bậc nhất để giải các bài tập về “Lập phương trình đường thẳng”

3 Kết quả đạt được sau khi sử dụng phương pháp dạy trên vào thực hành giải toán

4 Bài học kinh nghiệm rút ra và những đề xuất của bản thân

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Đề tài này nghiên cứu nhằm những mục đích sau

1 Cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về: Hàm số bậc nhất, đồ thị hàm số bậc nhất, cách lập phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện nào đó

2 Nêu lên các dạng bài tập về lập phương trình đường thẳng, hướng dẫn cho học sinh biết cách sử dụng các kiến thức đã học vào giải toán

3 Giúp học sinh thêm yêu thích và say mê tìm hiểu Toán học nhằm nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường THCS Đông Phú nói riêng và trường THCS nói chung

4 Phát triển các năng lực, phẩm chất, trí tuệ, hình thành thế giới quan khoa học, xây dựng các tư tưởng đạo đức hình thành nhân cách con người mới năng động và sáng tạo

PHẦN II NỘI DUNG.

I CƠ SỞ LÍ LUẬN.

1.1 Định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các số thực xác định và a 0

1.2 Tính chất

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R (TXĐ = R) và

có tính chất

a Đồng biến trên R khi a > 0

b Nghịch biến trên R khi a < 0

1.3 Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng:

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Song song với đường thẳng y = ax nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0, b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng y = ax + b

1.4 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b ( a 0)

1.4a Khi b = 0, thì đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ

O(0; 0) và điểm A(1; a)

1.4b Khi b  0, thì đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng:

+ Qua điểm P(0; b) thuộc trục tung,

+ Qua điểm Q( b

a

 ; 0) thuộc trục hoành

1.5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trên cùng một hệ trục toạ độ, hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a’x + b’ (a’ 0)

a Song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b  b’

b Trùng nhau khi và chỉ khi a = a’, b = b’

c Cắt nhau khi và chỉ khi a  a’

d Vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a’ = -1

e Khi a  a’ và b = b’ thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b

1.6 Hệ số góc

Các đường thẳng có cùng hệ số a (hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau Hệ số a của đường thẳng y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng

1.7 Điểm thuộc đường thẳng

Điểm A(x0; y0) được gọi là thuộc đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) khi và chỉ khi y0 = ax0 + b

Bài toán “Lập phương trình đường thẳng” thực chất là bài toán xác định

hệ số a, b trong công thức y = ax + b (a 0) khi đã biết đường thẳng y = ax + b (a 0) thỏa mãn một số điều kiện nào đó

II CƠ SỞ THỰC TIỄN.

Đề tài nghiên cứu dựa trên các cơ sở thực tiễn sau đây

1 Ý nghĩa của việc giải bài toán.

Dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học toán học ở trường phổ thông Đối với học sinh việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Việc giải toán có nhiều ý nghĩa

1 Là hình thức củng cố, đào sâu hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng,

đó là hình thức rất tốt để dẫn dắt HS tự mình đi đến những kiến thức mới

2 Là hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào vấn đề cụ thể, vào thực

tế, vào các vấn đề mới

3 Là hình thức để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học

4 Giải toán gây hứng thú học tập cho học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện cho con người học sinh về rất nhiều mặt

Trong việc lựa chọn bài toán và hướng dẫn học sinh giải toán cần phải chú ý đến nhiều mặt của bài toán, tránh học sinh phải làm nhiều bài tập, tạo nên gánh nặng cho học sinh, gây sự buồn tẻ và chán nản khi học toán Xuất phát từ đặc điểm tâm lý, theo nguyên tắc phát huy tính tích cực, tự giác của học sinh giáo viên cần chú trọng đến lựa chọn hệ thống bài tập, dẫn dắt học sinh giải theo từng bước, từng quy trình rõ ràng, có hệ thống, gọn gàng và đầy đủ

THCS

Đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) hay còn gọi là đường thẳng y = ax + b

là dạng đồ thị mà HS lớp 9 rất quen thuộc Khi học Đại số ở lớp 9, toàn bộ chương II “Hàm số bậc nhất” HS được học lí thuyết trong 5 bài, đó là:

1 Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

2 Hàm số bậc nhất

3 Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0)

4 Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

5 Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)

Sau khi học xong chương II, có rất nhiều bài tập liên quan đến việc “Xác định

hệ số a, b của hàm số bậc nhất y = ax + b (a )” hay còn gọi là “Lập phương trình đường thẳng” nhất là những bài tập nâng cao, ôn thi vào lớp 10…, nhưng

lí thuyết trong SGK đề cập đến vấn đề này rất hạn chế, làm cho HS cảm thấy mới mẻ khi có một bài tập liên quan đến việc “Lập phương trình đường thẳng”

Để giúp HS làm tốt phần bài tập dạng này, tôi đã tìm cách phân loại bài tập thành các dạng, tìm các VD minh hoạ để HS ghi nhớ cách làm và vận dụng cho các bài tập tương tự, nâng cao và mở rộng

3 Thực trạng học toán của học sinh Trường THCS Đông Phú.

Trường THCS Đông Phú nằm về phía Nam huyện Đông Sơn, cách xa trung tâm Huyện 10 km Trong những năm học qua trường đã gặt hái được một số thành tích trong dạy và học, chất lượng đại trà ở các môn có sự tiến bộ nhưng đặc biệt ở bộ môn Toán vẫn còn thấp Các em ngại học Toán vì nhiều lí do

khác nhau, chẳng hạn như môn Toán toàn những công thức, những định lí, những phép biến đổi v.v Có những bài toán yêu cầu học sinh sự thông minh, sáng tạo, một tư duy tổng hợp các kiến thức của thầy truyền đạt để vận dụng vào nhưng các em chưa có được các phẩm chất đó Vậy làm thế nào để phát huy được sự sáng tạo trong mỗi học sinh, đó là trăn trở của tôi cũng như của các đồng nghiệp trong trường Bằng các giờ học trên lớp, các giờ luyện tập tôi

đã nêu ra cho học sinh các bài toán từ đơn giản đến phức tạp, phân loại bài tập cho học sinh, giao cho học sinh những bài toán có tính tương tự với bài đã làm

để củng cố kiến thức cho học sinh tăng sự yêu thích môn học nhằm nâng cao hơn nữa chất lượng môn Toán trong nhà trường

4 Kinh nghiệm tích lũy của bản thân trong những năm học qua.

Trong những năm giảng dạy vừa qua bản thân tôi đã nhiều năm được trực tiếp dạy lớp 9, đồng thời cũng trực tiếp dạy bồi dưỡng, ôn thi vào lớp 10 cho học sinh qua đó nhận thức được vai trò của loại toán “Lập phương trình đường thẳng” trong dạy học Khi dạy học giải các bài toán cho học sinh tôi cố gắng phân loại bài tập, sắp xếp các bài tập theo một trình tự thống nhất từ mức

độ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ những bài tập cụ thể tôi bớt đi một

số điều kiện của giả thiết và yêu cầu học sinh thử giải từ đó tổng quát bài toán thành một bài ở mức độ cao hơn Khi giao bài tập về nhà cho học sinh thì tìm ra những bài có dạng tương tự với bài trên lớp hoặc những bài có thể dùng phương pháp đã được học ở một bài trước đó Kinh nghiệm đó được tôi trình bày cụ thể hơn ở những phần sau

III CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ “LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG”.

Bài toán “Lập phương trình đường thẳng” được chia làm hai trường hợp

TRƯỜNG HỢP 1. Biết một hệ số tìm hệ số còn lại:

Biết hệ số a và một dữ kiện thứ 2, yêu cầu tìm hệ số b hoặc biết hệ số b và một

dữ kiện thứ 2, yêu cầu tìm hệ số a

CÁCH GIẢI.

B1 Nêu dạng tổng quát của phương trình đường thẳng là y = ax + b (a  0)

B2 Thay hệ số đã biết vào công thức y = ax + b (a 0).

B3 Dựa vào dữ kiện thứ 2, tìm hệ số còn lại

B4 Thay hệ số a, b vừa tìm được vào công thức y = ax + b rồi kết luận phương trình đường thẳng cần tìm

TRƯỜNG HỢP 2. Chưa biết cả hai hệ số, cho biết 2 dữ kiện, tìm hai hệ số a và b

CÁCH GIẢI.

B1 Nêu dạng tổng quát của phương trình đường thẳng là y = ax + b (a  0) B2 Dựa vào 2 dữ kiện đề bài cho để lập hệ phương trình hai ẩn a, b

B3 Giải hệ phương trình lập được

B4 Thay hệ số a, b vừa tìm được vào công thức y = ax + b rồi kết luận phương trình đường thẳng cần tìm

IV CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ.

TRƯỜNG HỢP 1.

DẠNG 1. Lập phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc a và biết đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) cho trước

PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

B1 Nêu dạng tổng quát của phương trình đường thẳng là y = ax + b (a  0) (1) B2 Thay hệ số a vào (1)

B3 Thay toạ độ (x0; y0) của điểm M vào phương trình có được ở bước 2 rồi giải phương trình ẩn b thu được

B4 Thay hệ số a, b vào công thức y = ax + b rồi kết luận phương trình đường thẳng cần tìm

VÍ DỤ. Lập phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc 3 và qua điểm M (-4; 5)

Giải

Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b (a 0)

Vì a = 3 nên (d) có dạng: y = 3x + b

Vì (d) đi qua M (-4 ; 5) nên thay x = -4, y = 5 vào y = 3x + b ta được:

5 = 3.(-4) + b  b = 17

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = 3x + 17.

DẠNG 2. Lập phương trình đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và đi qua điểm M(x0; y0) cho trước

PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

B1 Nêu dạng tổng quát của phương trình đường thẳng là y = ax + b (a  0) (1) B2 Dựa vào điều kiện song song để suy ra hệ số a (a = a’, b b’)

B3 Thay hệ số a vào (1)

B4 Thay toạ độ (x0; y0) của điểm M vào phương trình có được ở bước 3 rồi giải phương trình ẩn b thu được

B5 Thay hệ số a, b vào công thức y = ax + b rồi kết luận phương trình đường thẳng cần tìm

VÍ DỤ 1 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1; 3) và song song với đường thẳng (d’) có phương trình y = 2x

Giải

Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b (a 0)

Đường thẳng (d’) có phương trình là y = 2x nên suy ra a’ = 2, b’ = 0

Vì (d) // (d’) nên a = a’ = 2, b  b’ nên b 0 suy ra (d) có dạng: y = 2x + b (b  0)

Vì (d) đi qua M (1; 3) nên thay x = 1, y = 3 vào y = 2x + b ta được: 3 = 2.1 + b

 b = 1 Ta thấy b = 1  0 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = 2x + 1

VÍ DỤ 2. Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) có phương trình y = 4x - 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5

Giải

Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b (a 0)

Đường thẳng (d’) có a’ = 4, b’ = -3.Vì (d) // (d’) nên a = 4, b  b’ tức là b  -3 Suy ra (d) có dạng: y = 4x + b ( b -3)

Vì (d) cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 5 nên suy ra b = 5 (TMĐK)

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = 4x + 5

VÍ DỤ 3 Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đương thẳng (d’) có

phương trình y = 2x + 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1

2

Giải

Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b (a 0)

Đường thẳng (d’) có phương trình y = 2x + 3 nên suy ra a’ = 2, b’ = 3 Vì đường thẳng (d) // (d’) nên a = 2 và b  b’ tức là b 3

Khi đó đường thẳng (d) có dạng y = 2x + b (b 3)

Gọi giao điểm của đường thẳng (d) và trục hoành là M, vì hoành độ giao điểm

bằng 1

2

 nên suy ra toạ độ điểm M là ( 1

2

 ; 0)

Thay toạ độ điểm M vào y = 2x + b ta tìm được b = 1 (TMĐK)

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = 2x + 1

TRƯỜNG HỢP 2

DẠNG 1. Lập phương trình đương thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước

PHƯƠNG PHÁP.

B1 Nêu dạng tổng quát của phương trình đường thẳng là y = ax + b (a  0) (1) B2 Lần lượt thay toạ độ của hai điểm mà đường thẳng đi qua vào phương trình

y = ax + b ở bước 1

B3 Giải hệ gồm 2 phương trình tìm được ở bước 2 ta được a và b

B4 Thay hệ số a, b vào công thức y = ax + b rồi kết luận phương trình đường thẳng cần tìm

VÍ DỤ 1. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A(1; 3) và B(2; 1)

Giải

Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b (a 0)

Vì (d) đi qua A(1; 3) nên ta có: 3 = a.1 + b (1)