A- PHẦN CHUNG CỦA ĐỀ TÀII- Tên đề tài: Sử dụng phương pháp toạ độ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến chung của hai đường tròn II- Tên tác giả: Hoàng Thuý Lan Đơ
Trang 1A- PHẦN CHUNG CỦA ĐỀ TÀI
I- Tên đề tài:
Sử dụng phương pháp toạ độ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến chung của hai đường tròn
II- Tên tác giả: Hoàng Thuý Lan
Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Huệ, TP Yên Bái
III- Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình toán phổ thông( lớp 10) các bài tập về tiếp tuyến của đường tròn
là một vấn đề tương đối khó đối với học sinh, đặc biệt là các bài toán về tiếp tuyến chung của hai đường tròn Do đó, đề tài này nhằm giúp học sinh thuận tiện và không thấy khó khăn trong việc giải quyết các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn bằng phương pháp toạ độ
IV- Nhiệm vụ và yêu cầu của đề tài:
1 Nhiệm vụ:
Đưa ra được cho học sinh phương pháp tối ưu trong việc giải quyết các bài toán về tiếp tuyến chung của hai đường tròn
2 Yêu cầu:
Học sinh biết cách giải quyết các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn
V- Giới hạn của đề tài:
Trong việc giảng dạy toán hình lớp 10
VI- Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu các sách nâng cao và sách phân ban.Bằng kinh nghiệm rút ra trong việc giảng dạy
B- PHẦN NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI
I- Nội dung đề tài:
1 Phương pháp chung:
Trang 2Đối với tât cả các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn có thể giải quyết dựa trên tính chất của tiếp tuyến với đường tròn là: “ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó ” Và được phân làm các bước như sau:
Bước 1: Tìm tâm và bán kính của hai đường tròn.
Do ta phải sử dụng đến tâm và bán kính của đường tròn trong việc giải quyết bài toán nên việc đầu tiên học sinh thể làm là đi tìm tâm và bán kính của hai đường tròn
Bước 2: Xác định điều kiện của bài toán.
Dựa vào tính chất nêu ở trên của tiếp tuyến của đường tròn học sinh có thể xác định được điều kiện của bài toán
Bước 3: Thiết lập các mối quan hệ.
Đây là một bước quan trọng, chủ yếu dựa vào kĩ năng tính toán của học sinh
Do đó, đòi hỏi học sinh phải rèn luyện nhiều về kĩ năng
Bước 4: Kết luận.
2 Nội dung:
CHƯƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1.Đường tròn:
+) Phương trình chính tắc của đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R có dạng
(C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2
+) Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2y + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0.Khi đó đường tròn có tâm I(-a;-b) và bán kính R =
c
b
2.Tiếp tuyến của đường tròn:
Đường thẳng : Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của đường tròn (C)
d(I; ) R
Trang 3CHƯƠNG II
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ
Trong đề tài này ta quan tâm đến các bài toán về tiếp tuyến chung của hai đường tròn Với dạng toán này được chia làm bốn trường hợp:
TH 1: Hai đường tròn có một tiếp tuyến chung
TH 2: Hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung
TH 3: Hai đường tròn có ba tiếp tuyến chung
TH 4: Hai đường tròn có bốn tiếp tuyến chung
Và để kiểm tra xem hai đường tròn có bao nhiêu tiếp tuyến chung học sinh có thể đi so sánh khoảng cách giữa hai tâm với tổng độ dài hai bán kính
DẠNG 1: HAI ĐƯỜNG TRÒN CÓ MỘT TIẾP TUYẾN CHUNG
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C) x2 + y2 – 8x – 4y – 29 = 0 và (C’): x2 + y2 – 2x – 12y + 33 = 0
Giải
Bước 1:
(C) có tâm I(4;2) và R = 7
(C’) có tâm I’(1;6) và R’ = 2
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0
(a2 + b2 0)
' )
;' (
)
; (
R I
d
R I
d
Bước 3:
Có ( ; ) |4 22 2 |7
b a
c b a I
b a
c b a I
d
(1)
Từ (1) và (2) suy ra 7|a + 6b + c| = 2|4a + 2b + c|
Trang 4
0 9 46 15
0 5 38
c b a
c b a
Với a – 38b – 5c = 0 c =
5
38b
a
thay vào (2) được
| a + 6b +
5
38b
a
| = 2 a 2 b2 | 3a 4b| 5 a2 b2
16 2 24 9 2 0 ( 3 4 ) 2 0 3 4 0
Chú ý: Khi rút ra được biểu thức giữa a và b ta co thể chọn cặp số a và b thoả mãn
biểu thức Cặp số đó là toạ độ vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến
Chọn a = 4, b = - 3 suy ra c =
5
118
Được phương trình: 4x – 3y +
5
118
= 0
Với 15a + 46b + 9c = 0
9
46
15a b
| a + 6b +
9
46
15a b
| = 2 a 2 b2 | 3a 4b| 9 a2 b2
72a2 24ab 65b2 0 ( vô nghiệm) Bước 4: Vậy hai đường tròn có một tiếp tuyến chung 4x – 3y +
5
118
= 0
DẠNG 2: HAI ĐƯỜNG TRÒN CÓ HAI TIẾP TUYẾN CHUNG
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C): x2 + y2 – 4x – 8y + 11 = 0 và (C’): x2 + y2 – 2x – 2y - 2 = 0
Giải
Bước 1:
(C) có tâm I(2;4) và R = 3
(C’) có tâm I’(1;1) và R’ = 2
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0
(a2 + b2 0)
' )
;' (
)
; (
R I
d
R I
d
Trang 5Bước 3:
Có ( ; ) |2 4 | 3
2
b a
c b a I
b a
c b a I
d
Từ (1) và (2) suy ra 2|2a + 4b + c| = 3|a + b + c|
0 5 11 7
0 3
c b a
c b a
Với a + 3b – c = 0 c = a + 3b thay vào (2) được
| a + b + a + 3b| = 2 a 2 b2 |a 2b| a2 b2
0 3 4
0 0
) 3 4 ( 0 3
4 2
b a
b b
a b b
ab
(2) +) Nếu b = 0 chọn a = 1 suy ra c = 1 Được phương trình: x + 1 = 0
+) Nếu 4a + 3b = 0 chọn a = 3, b = - 4 suy ra c = - 9
Được phương trình: 3x – 4y – 9 = 0
Với 7a + 11b + 5c = 0
5
11
7a b
| a + b +
5
11
7a b
| = 2 a 2 b2 |a 3b| 5 a2 b2
a ab b ( vô nghiệm) Bước 4: Vậy hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung x + 1 = 0 và 3x – 4y – 9 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C): (x – 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C’): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25
Giải Bước 1:
(C) có tâm I(5;-12) và R = 15
(C’) có tâm I’(1;2) và R’ = 5
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0
Trang 6(a2 + b2 0)
' )
;' (
)
; (
R I
d
R I
d
Bước 3:
Có ( ; ) |5 212 2 |15
b a
c b a I
b a
c b a I
Từ (1) và (2) suy ra |5a – 12b + c| = 3|a + 2b + c|
0 4 6 8
0 2 18 2
c b a
c b a
Với 2a – 18b – 2c = 0 c = a – 9b thay vào (2) được
| a + 2b + a – 9c| = 5 a 2 b2 | 2a 7b| 5 a2 b2
21 2 28 24 2 0
a ab b (3)
Chú ý: Khi gặp một biểu thức giữa a và b mà ta không thể phân tích ra được ta có thể
sử dụng cách giải phương trình bậc hai để phân tích
Có ' ( 14b) 2 21 24b2 700b2
Suy ra (3) có hai nghiệm
21
7 10
14b b
+) Nếu
21
7 10
14b b
a chọn b 21 ,a 14 10 7 suy ra c 203 10 7
Được phương trình: ( 14 10 7 )x 21y 203 10 7 0
+) Nếu
21
7 10
14b b
a chọn b 21 ,a 14 10 7 suy ra c 203 10 7
(4) Được phương trình: ( 14 10 7 )x 21y 203 10 7 0
Với 8a – 6b + 4c = 0
2
3
4a b
| a + 2b +
2
3
4a b
| = 5 a 2 b2 | 2a 7b| 10 a2 b2
Bước 4 : Vậy hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung
Trang 70 7 10 203 21
) 7 10 14 ( x y
DẠNG 3: HAI ĐƯỜNG TRÒN CÓ BA TIẾP TUYẾN CHUNG
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1 và (C’): (x – 5)2 + (y – 5)2 = 16
Giải Bước 1:
(C) có tâm I(2;1) và R = 1
(C’) có tâm I’(5;5) và R’ = 4
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0
(a2 + b2 0)
' )
;' (
)
; (
R I
d
R I
d
Bước 3:
Có ( ; ) |2 2 2 |1
b a
c b a I
d (1) , ( ;' ) |5 25 2 |4
b a
c b a I
Từ (1) và (2) suy ra |5a + 5b + c| = 4|2a + b + c|
0 5 9 13
0 3 3
c b a
c b a
Với 3a – b + 3c = 0 cb a
3 thay vào (1) được
2 2
| 3 2
| abb a a b | 3a 4b| 3 a2 b2
0 7 24
0 0
) 7 24 ( 0 7
24 2
b a
b b
a b b
ab
+) Nếu b = 0 chọn a = 1 suy ra c = -1 Được phương trình: x - 1 = 0
+) Nếu 24a + 7b = 0 chọn a = 7, b = - 24 suy ra c = - 15
Được phương trình: 7x – 24y – 15 = 0
Trang 8Với 13a + 9b + 5c = 0
5
9
13a b
2 2
| 5
9 13 2
| ab a b a b | 3a 4b| 5 a2 b2
a ab b ( 4 3 ) 2 0 4 3 0
(5) Chọn a = 3, b = 4 suy ra c = 15 Được phương trình: 3x + 4y + 15 = 0
Bước 4: Vậy hai đường tròn có ba tiếp tuyến chung x - 1 = 0
7x – 24y – 15 = 0 3x + 4y + 15 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau
(C1) : x2 + y2 - 4x + 2y – 4 = 0 và (C2): x2 + y2 – 10x – 6y + 30 = 0
Giải Bước 1:
(C) có tâm I(2;-1) và R = 3
(C’) có tâm I’(5;3) và R’ = 2
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0
(a2 + b2 0)
' )
;' (
)
; (
R I
d
R I
d
Bước 3:
Có ( ; ) |2 2 2 |3
b a
c b a I
d (1) , ( ;' ) |5 23 2 |2
b a
c b a I
Từ (1) và (2) suy ra 2|2a - b + c| = 3|5a + 3b + c|
0 5 7 19
0 11
11
c b a
c b a
Với 11a + 11b + c = 0 c 11 a 11b thay vào (1) được
2 2
3
| 11 11 2
| a b a b a b | 3a 4b| a2 b2
8a2 24ab 15b2 0 (3)
Có ' ( 12b) 2 8 15b2 24b2
Trang 9Suy ra (3) có hai nghiệm
8
6 2
12b b
+) Nếu
8
6 2
12b b
a chọn b 8 ,a 12 2 6 suy ra c 44 22 6
Được phương trình: ( 12 2 6 )x 8y 44 22 6 0
+) Nếu
8
6 2
12b b
a chọn b 8 ,a 12 2 6 suy ra c 44 22 6
Được phương trình: ( 12 2 6 )x 8y 44 22 6 0
Với 19a + 7b + 5c = 0
5
7
19a b
c
2 2
3
| 5
7 19 2
| a b a b a b | 3a 4b| 5 a2 b2
a ab b ( 4a 3b) 2 0 4a 3b 0
Chọn a = 3, b = 4 suy ra c = - 17 Được phương trình: 3x + 4y - 17 = 0 Bước 4: Vậy hai đường tròn có ba tiếp tuyến chung ( 12 2 6 )x 8y 44 22 6 0
3x + 4y - 17 = 0
(6) DẠNG 4: HAI ĐƯỜNG TRÒN CÓ BỐN TIẾP TUYẾN CHUNG
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1 và (C’): (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9
Giải Bước 1:
(C) có tâm I(2;1) và R = 1
(C’) có tâm I’(-2;-1) và R’ = 3
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0
(a2 + b2 0)
' )
;' (
)
; (
R I
d
R I
d
Trang 10Bước 3:
Có ( ; ) |2 | 1
2
b a
c b a I
2
b a
c b a I
Từ (1) và (2) suy ra |-2a - b + c| = 3|2a + b + c|
0 4 2 4
0 2 4 8
c b a
c b a
Với 8a + 4b + 2c = 0 c 4 a 2b thay vào (1) được
2 2
| 2 4 2
| ab a b a b | 2ab| a2 b2
0 4 3
0 0
) 4 3 ( 0 3
4 2
b a
a b
a a a
ab
+) Nếu a = 0 chọn b = 1 suy ra c = -2 Được phương trình: y - 2 = 0 +) Nếu 3a + 4b = 0 chọn a = 4, b = - 3 suy ra c = - 10
Được phương trình: 4x – 3y – 10 = 0 Với 4a + 2b + 4c = 0
2
b a
thay vào (2) được
2 2
| 2 2
| ab a b a b | 2ab| 2 a2 b2
0 3 4
0 0
) 3 4 (
b a
b b
a b
+) Nếu b = 0 chọn a = 1 suy ra c = -1 Được phương trình: x - 1 = 0 +) Nếu 4a - 3b = 0 chọn a = 3, b = 4 suy ra c = - 5
Được phương trình: 3x + 4y – 5 = 0 Bước 4: Vậy hai đường tròn có bốn tiếp tuyến chung y - 2 = 0
4x – 3y – 10 = 0
x - 1 = 0 3x + 4y – 5 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau
(C): x2 + y2 – 6x + 6y + 17 = 0 và (C’): x2 + y2 =1
Giải
(7)
Trang 11Bước 1:
(C) có tâm I(3;-3) và R = 1
(C’) có tâm I’(0;0) và R’ = 1
Bước 2:
Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0
(a2 + b2 0)
' )
;' (
)
; (
R I
d
R I
d
Bước 3:
Có ( ; ) |3 23 2 | 1
b a
c b a I
b a
c I
Từ (1) và (2) suy ra |3a - 3b + c| = | c |
0 2 3 3
0 4 3
c b a
b a
Với 3a - 4b = 0 Chọn a = 4, b = 3 thay vào (2) suy ra c = 2
Được phương trình: 4x + 3y 2 = 0 Với 3a - 3b + 2c = 0
2
3
3b a
thay vào (2) được
2 2
2
| 3 3
| b a a b 5 2 18 5 2 0
a ab b (3)
Có ' ( 9b) 2 5 5b2 56b2
Suy ra (3) có hai nghiệm
5
14 2
9b b
+) Nếu
5
14 2
9b b
a chọn b 5 ,a 9 2 14 suy ra c 12 2 14
Được phương trình: ( 9 2 14 )x 5y 12 2 14 0
+) Nếu
5
14 2
9b b
a chọn b 5 ,a 9 2 14 suy ra c 12 2 14
Được phương trình: ( 9 2 14 )x 5y 12 2 14 0
Bước 4: Vậy hai đường tròn có bốn tiếp tuyến chung 4x + 3y 2 = 0
( 9 2 14 )x 5y 12 2 14 0
Trang 12C- TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Toán nâng cao hình học THPH 10
Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận
NXB: Nhà xuất bản đại học sư phạm
2 Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm hình học
Tác giả: TS Nguyễn Văn Lộc
NXB: Nhà xuất bản đại học sư phạm
3 Tuyển chọn 400 bài toán hình học(ban KHTN) 10
Tác giả: Hà Văn Chương
NXB: Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội
4.Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán THPT 10
Tác giả: Nguyễn Văn Nho – Nguyễn Sinh Nguyên NXB: Nhà xuất bản đại học sư phạm
5 Bài tập trắc nghiệm và các chuyên đề toán THPT 10
Tác giả: TS Nguyễn Văn Lộc
NXB: Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội
6 Để học tốt toán THPT 10
Trang 13Tác giả: Nguyễn Quang Hanh – Thái Bình – Lê Thống Nhất NXB: Nhà xuất bản Hải Phòng
7 Để học tốt toán THPT 12
Tác giả: Nguyễn Quang Hanh – Thái Bình – Lê Thống Nhất NXB: Nhà xuất bản Hải Phòng
8 Toán nâng cao hình học 12
Tác giả: Văn Như Cương
NXB: Nhà xuất bản giáo dục