Về định lí điểm bất động cho ánh xạ giữa các không gian g metric đầy đủ

NGUY™N THI TR×ÍNG... Khæng gian G−.. Tæpæ tr¶n khæng gian G−.. T½nh trong khæng gian G−.. ành lþ iºm b§t ëng trong khæng gian têng qu¡t... Ch¯ng h¤n Dhage, Mustafa, Obiedat, Karapinar,

NGUY™N THI TR×ÍNG

Mð u 1

1.1 Khæng gian G− 3

1.1.1 ành ngh¾a v  v½ dö 3

1.1.2 Mët sè t½nh h§t khæng gian G− 5

1.2 Tæpæ tr¶n khæng gian G− 9

1.2.1. G−H¼nh 9

1.2.2 Sü hëi tö v  t½nh li¶n trong khæng gian G− 11 1.2.3 T½nh y õ khæng gian G− 14

1.2.4 T½nh trong khæng gian G− 16

2 ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n khæng gian G− y õ 17 2.1 Mët sè ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n khæng gian G− y õ 17

2.2 ành lþ iºm b§t ëng trong khæng gian têng qu¡t 30

2.3 ành lþ iºm b§t ëng hung duy nh§t v  ành lþ iºm b§t

ëng ho ¡nh x¤ hñp th nh giúa ba khæng gian G− 36

Mð u

Nhúng ành lþ iºm b§t ëng nêi ti¸ng ¢ xu§t hi»n tø u th¸ k XX,

trong â ph£i kº ¸n Nguy¶n lþ iºm b§t ëng Brouwer (1912) v  Nguy¶n

lþ ¡nh x¤ h (1922), trong â Nguy¶n lþ ¡nh x¤ h ÷ñ

¡nh gi¡ l  ành lþ iºm b§t ëng ìn gi£n nh§t v  ÷ñ sû döng rëng

r¢i nh§t V · sau, k¸t qu£ kinh iºn n y ¢ ÷ñ mð rëng ra nhi·u lîp

¡nh x¤ v  khæng gian nhau, thu ÷ñ nhi·u k¸t qu£ quan trång

v  ÷ñ ùng döng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh nhau to¡n hå

k¸t qu£ nghi¶n v· iºm b§t ëng ¡nh x¤ tªp T rung v o

h÷îng: nghi¶n sü tçn t¤i, duy nh§t iºm b§t ëng,

ph÷ìng ph¡p t¼m iºm b§t ëng v  nghi¶n ùng döng ành lþ iºm

hå ùng döng v  b i to¡n kinh t¸ tr¼nh theo h÷îng nghi¶n

n y ÷ñ tªp hñp l¤i d÷îi mët t¶n hung: "Lþ thuy¸t iºm b§t ëng"

v  ng y ÷ñ ph¡t triºn m¤nh m³.

Thíi gian gn ¥y, ành lþ iºm b§t ëng ÷ñ mð rëng ho

¡nh x¤ giúa khæng gian G− Xu§t ph¡t tø kh¡i ni»m di»n h mët tam trong m°t ph¯ng, n«m 1963, Gahler ([5℄) giîi thi»u kh¡i

ni»m 2− tr¶n mët khæng gian N«m 1992, Dhage ([4℄) mð rëng kh¡i ni»m 2− th nh kh¡i ni»m D− v  n«m 2006, Z Mustafa v 

B Sims ¢ mð rëng th nh kh¡i ni»m G− ¢ nhi·u nh  to¡n

hå nghi¶n nguy¶n lþ gi£i h tr¶n lîp khæng gian n y, mët

trong nhúng t½nh h§t quan trång l  nguy¶n lþ iºm b§t ëng Ch¯ng h¤n

Dhage, Mustafa, Obiedat, Karapinar, Agarwal, v  nhi·u nh  to¡n hå

V îi m h tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ nghi¶n v· ành lþ iºm

b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n khæng gian G− y õ, hóng tæi hån

· t i "V · ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n khæng gian

G− y õ" Luªn v«n gçm hai h÷ìng:

Ch÷ìng 1: Khæng gian G− Trong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh

b y nhúng ki¸n sð v· khæng gian G− v  mët sè t½nh h§t lîp khæng gian â, thi¸t ho hùng minh trong Ch÷ìng 2.

Ch÷ìng 2: ành lþ iºm b §t ëng ¡nh x¤ tr¶n khæng gian

G− y õ ¥y l  nëi dung h½nh luªn v«n Trong h÷ìng

n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ trong nghi¶n v· mët sè iºm

b§t ëng: ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n khæng gian G−

y õ, ành lþ iºm b§t ëng trong khæng gian têng qu¡t,

ành lþ iºm b§t ëng hung duy nh§t v  ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh

x¤ hñp th nh giúa ba khæng gian G−

T rong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp v  l m luªn v«n tæi ¢ ÷ñ  o t¤o, nhªn

÷ñ sü tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï v  ëng vi¶n thy trong

¤i hå Th¡i Nguy¶n, bi»t l  TS H  T rn Ph÷ìng Do vªy, thù nh§t,

tæi xin h¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u tîi TS H  Trn Ph÷ìng,

ng÷íi thy ¢ gióp tæi ho n th nh ÷ñ luªn v«n n y Thù hai, tæi xin h¥n

th nh ìn tr÷íng ¤i hå Khoa Hå - ¤i hå Th¡i Nguy¶n v  Khoa

To¡n - Tin l  nìi tæi ÷ñ  o t¤o v ho n th nh luªn v«n sÿ khoa

hå

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2014

Nguy¹n Th¡i T r÷íng

d : X × X × X →R+

l  mët h m thäa m¢n i·u ki»n sau:

(A1) V îi méi iºm ph¥n bi»t x, y ∈ X, tçn t¤i z ∈ X sao ho

d(x, y, z)6= 0

(A2) d(x, y, z) = 0 n¸u hai trong ba iºm x, y, z ∈ X tròng nhau.

(A3) d(x, y, z) = d(x, z, y) = d(y, z, x) vîi måi x, y, z ∈ X

gåi l  mët D− n¸u nâ thäa m¢n i·u ki»n (A3), (A4) v  thäa m¢n th¶m i·u ki»n sau:

(A0) D(x, y, z) = 0 khi v  h¿ khi x = y = z,

(A5) D(x, y, z) ≤ D(x, z, z) + D(z, y, y), vîi måi x, y, z ∈ X

V½ dö 1.2 Cho X = R2, vîi méi x, y, z ∈ X, °t d(x, y, z) l  hu vi tam

(T½nh èi xùng èi vîi ba bi¸n sè) ,

(G5) G(x, y, z)≤ G(x, a, a) + G(a, y, z), vîi måi x, y, z, a ∈ X

V½ dö 1.5 X²t h m G : R3 −→ R+ ành bði

G(x, y, z) = |x − y| + |y − z| + |z − x|

vîi måix, y, z ∈ R D¹ d ng hùng minh ÷ñ G l  mëtG− èi xùng

7) |G(x, y, z) − G(x, y, a)| ≤ max{G(a, z, z), G(z, a, a)}.

3) G(x, y, y) ≤ 2G(y, x, x) (suy ra tø 2) khi hån z = y).

G(x, y, z)(G5)≤ G(x, a, a) + G(a, y, z) ≤ G(x, a, y) + G(a, y, z),G(y, z, x)≤ G(y, a, a) + G(a, z, x) ≤ G(y, a, z) + G(a, z, x),

G(z, x, y)≤ G(z, a, a) + G(a, x, y) ≤ G(z, a, x) + G(a, x, y)

G(y, x, x)− G(y, x, y) ≤ G(x, y, y).

K¸t hñp hai b§t ¯ng tr¶n ta i·u hùng minh.



M»nh · 1.2 Cho (X, G) l  mët khæng gian G− v  k > 0 Khi

â G1 v  G2 l  G− tr¶n X, trong â

ành ngh¾a 1.2 Cho (X, G) l  mët khæng gian G− khi â vîi måi

suy ra x, y ∈ BG(x0, r).

2) Chùng minh n¸u y ∈ BG(x0, r) th¼ ∃δ > 0 : BG(y, δ) ⊆ BG(x0, r) Thªt vªy , v¼ y ∈ BG(x0, r) n¶n G(x0, y, y) < r hay

r − G(x0, y, y) > 0

°t δ = r− G(x0, y, y) > 0 Gi£ sû x ∈ BG(y, δ), suy ra G(y, x, x) < δ

hay G(y, x, x) < r− G(x0, y, y), do â G(y, x, x) + G(x0, y, y) < r M°t

M»nh · 1.5 Cho (X, G) l  mët khæng gian G− Khi â vîi måi

1.2.2 Sü hëi tö v  t½nh li¶n trong khæng gian G−

ành ngh¾a 1.3 Cho(X, G) l  mët khæng gian G− D¢y (xn) ⊆ X

l G−hëi tö tîi xn¸u nâ hëi tö tîixtrong tæpæG− τ (G) l , d¢y

(xn) l  G−hëi tö tîi x ∈ X n¸u G(x, xn, xm) → 0 khi m, n → ∞, hay vîi méi sè ε > 0 ho tr÷î tçn t¤i sè N ∈ N sao ho G(x, xn, xm) < ε,∀n, m >

M»nh · 1.6 Cho (X, G) l  mët khæng gian G− Khi â vîi mët d¢y (xn) ⊆ X v  mët iºm x ∈ X, ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng: 1) (xn) l  G−hëi tö tîi x.

2) dG(xn, x) → 0 khi n→ ∞ (ngh¾a l , (xn) hëi tö tîi x the o dG ) 3) G(xn, xn, x)→ 0 khi n → ∞.

ành ngh¾a 1.4 Cho (X, G), (X′, G′) l  hai khæng gian G− nh x¤ f : X → X′

l  G−li¶n t¤i mët iºm x0 ∈ X n¸u

f−1(BG ′(f (x0), r)) ∈ τ(G),

vîi måi r > 0 Ta nâi f l  G−li¶n tr¶n X n¸u nâ l  G−li¶n t¤i måi

iºm X Ngh¾a l , t½nh li¶n mët ¡nh x¤ ð ¥y h½nh l  t½nh li¶n

mët ¡nh x¤ giúa hai khæng gian tæpæ (X, τ (G)) v  (X′, τ (G′)) V¼

M»nh · 1.7 Cho (X, G), (X′, G′) l  hai khæng gian G− Khi â

¡nh x¤ f : X → X′ l  G−li¶n t¤i iºm x ∈ X khi v  khi nâ l 

G−li¶n theo d¢y t¤i x, ngh¾a l , khi (xn) l  G−hëi tö tîi x th¼ (f (xn))

G−hëi tö tîi f (x).

Chùng minh Gi£ sû f : X → X′

li¶n theo tæpæ sinh bði G v 

G′ Gi£ sû xn ⊂ X m  xn l  G−hëi tö theo tîi x0 l G(x0, xn, xn) → 0.

Do xn l  G−hëi tö tîi x0 n¶n ∃n0 : ∀n ≥ n0 : G(x0, xn, xn) < δ, suy ra

xn ∈ BG(x0, δ), k²o theo f (xn) ∈ BG ′(f (x0), ε), do â

G′(f (x0), f (xn), f (xn)) < ε

V¼ th¸, f (xn) l  G′−hëi tö tîi f (x0).

Ng÷ñ l¤i, gi£ sû f hëi tö theo d¢y nh÷ng khæng hëi tö theo tæpæ t¤i x0

l  tçn t¤i mët BG ′(f (x0), ε0) sao ho vîi måi h¼nh BG(x0, r) ta luæn



sao ho

f (xn) /∈ BG ′(f (x0), ε0)

Suy ra tçn t¤i {xn} ⊂ X m  xn l  G−hëi tö tîi x0 nh÷ng f (xn) khæng

G′−hëi tö tîi f (x0), m¥u thu¨n V ªy f li¶n theo tæpæ sinh bði G

M»nh · 1.8 Cho (X, G) l  mët khæng gian G− Khi â h m

G(x, y, z) l  li¶n theo tøng bi¸n.

Chùng minh Gi£ sû (xk), (ym) v (zn) l  G−hëi tö tîi x, y v  z t÷ìng ùng Khi â theo (G5) ta

G(x, y, z)≤ G(y, ym, ym) + G(ym, x, z),G(z, x, ym) ≤ G(x, xk, xk) + G(xk, ym, z)

m»nh · sau ÷ñ suy ra tø ành ngh¾a

M»nh · 1.9 Trong mët khæng gian G− (X, G), ph¡t biºu sau

H» qu£ 1.2 N¸u mët d¢y G− trong mët khæng gian G−

(X, G) mët d¢y on G−hëi tö th¼ d¢y â l  d¢y G−hëi tö.

ành ngh¾a 1.6 Mët khæng gianG− (X, G) ÷ñ gåi l  G−y õ n¸u méi d¢y G− hy trong (X, G) l  G−hëi tö trong (X, G).

T a d¹ d ng hùng minh ÷ñ m»nh · sau:

M»nh · 1.10 Mët khæng gian G− (X, G) l  G−y õ n¸u v  n¸u (X, dG) l  mët khæng gian y õ.

H» qu£ 1.3 N¸uY l  mët tªp on réng mët khæng gian G−

y õ (X, G) th¼ (Y, G|Y) l  y õ khi v  khi Y l  G−âng tr ong

(X, G), tr ong â G|Y l  tæp æ £m sinh bði tæpæ G tr¶n Y.

H» qu£ 1.4 Cho (X, G) l  mët khæng gian G− v  (Fn) l  mët d¢y gi£m (F1 ⊇ F2 ⊇ F3 ⊇ ) tªp on G−âng r éng X sao

sup{G(x, y, z) : x, y, z ∈ Fn} → 0

khi n → ∞ Khi â (X, G) l  G−y õ khi v  khi

T

n=1

Fn â mët iºm duy nh§t.

ành ngh¾a 1.7 Cho (X, G) l  mët khæng gian G− v ho tr÷î

ε > 0 Khi â mët tªp A ⊆ X ÷ñ gåi l  mët ε−l÷îi (X, G) n¸u vîi méi x ∈ X, tçn t¤i a ∈ A sao ho x ∈ BG(a, ε), n¸u tªp A l  húu h¤n th¼

A ÷ñ gåi l  mët ε−l÷îi húu h¤n (X, G).

D¹ th§y , n¸u A l  mët ε−l÷îi th¼ X = S

a ∈A

BG(a, ε).

ành ngh¾a 1.8 Mët khæng gian G− (X, G) ÷ñ gåi l  G−ho  n

to n bà n¸u vîi méi ε > 0 tçn t¤i mët ε−l÷îi húu h¤n.

ành ngh¾a 1.9 Mët khæng gian G− (X, G)÷ñ gåi l  mët khæng gian G− omp n¸u nâ l  G−y õ v  G−ho n to n bà h°n.

M»nh · 1.11 V îi mët khæng gian G− (X, G), ph¡t biºu sau

G(T (x), T (y), T (z)) ≤ {aG(x, y, z) + bG(x, x, T (x)) + cG(y, y, T (y))

+ dG(z, z, T (z))}, (2.2) vîi måi x, y, z ∈ X, trong â 0≤ a + b + c + d < 1 Khi â T â duy nh§t mët iºm b§t ëng (gåi l  u, l  T (u) = u), v  T l  G−li¶n t¤i u.

Chùng minh Gi£ sû T thäa m¢n i·u ki»n (2.1), khi â vîi måi x, y ∈ X

ta

G(T (x), T (y), T (y))≤ aG(x, y, y) + bG(x, T (x), T (x))

+ (c + d)G(y, T (y), T (y)),G(T (y), T (x), T (x))≤ aG(y, x, x) + bG(y, T (y), T (y))

+ (c + d)G(x, T (x), T (x)) (2.3)

Gi£ sû (X, G) l  èi xùng, suy ra dG(x, y) = 2G(x, y, y) vîi måi x, y ∈ X Khi â, theo ành ngh¾a (X, dG) ta

3 dG(y, T (y)), (2.5) vîi måi x, y ∈ X Khi â i·u ki»n khæng ÷a ra thæng tin v· ¡nh

x¤ n y v¼ 0 < a + 2(c + d + b)

3 +

2(c + d + b)

3 khæng nhä hìn 1 Nh÷ng

i·u n y thº ÷ñ hùng minh b¬ng G−

Cho x0 ∈ X l  mët iºm b§t ký v ành d¢y (xn) bði xn = Tn(x0) Theo (2.1) ta

G(xn, xn+1, xn+1) ≤ qnG(x0, x1, x1)

Hìn núa, vîi måi n, m ∈ N, n < m, theo b§t ¯ng h¼nh hú nhªt ta

Gi£ sû T (u) 6= u, khi â

G(xn, T (u), T (u))≤ aG(xn −1, u, u)+bG(xn −1, xn, xn)+(c+d)G(u, T (u), T (u)),

(2.11)

l§y giîi h¤n khi n → ∞, v  sû döng gi£ thi¸t h m G l  li¶n khi â

G(u, T (u), T (u))≤ (c + d)G(u, T (u), T (u)) M¥u thu¨n, suy ra u = T (u).

º hùng minh t½nh duy nh§t, gi£ sû u 6= v m  T (v) = v, khi â

G(u, v, v) ≤ aG(u, v, v) + bG(u, T (u), T (u)) + (c + d)G(v, T (v), T (v))

= aG(u, v, v) (2.12) Suy ra u = v.

º hùng minh T l  G−li¶n t¤i u, ho (yn) ⊆ X l  mët d¢y sao ho

lim(yn) = u khi n→ ∞ Ta thº suy ra

G(u, T (yn), T (yn)) ≤ aG(u, yn, yn) + bG(u, T (u), T (u))

L§y giîi h¤n khin → ∞, tø nhúng k¸t qu£ tr¶n th¼ G(u, T (yn), T (yn)) → 0,

v  do â theo M»nh · 1.7, T (yn) → u = T (u) i·u n y ¢ hùng tä T l 

G−hëi tö t¤i u.

N¸u T thäa m¢n i·u ki»n (2.2), khi â, lªp luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n Tuy nhi¶n, º h¿ ra r¬ng d¢y (xn) l  G− hy , ta b­t u vîi

Chùng minh Theo ành lþ 2.1, ta th§y r¬ng Tm

duy nh§t mët iºm

b§t ëng (gi£ sû l  u), l  Tm(u) = u Nh÷ng T (u) = T (Tm(u)) =

Tm+1(u) = Tm(T (u)), do â T (u) l  iºm b§t ëng Tm v  theo t½nh h§t duy nh§t th¼ T (u) = u. 

ành lþ 2.2 ([6℄) Cho (X, G) l  mët khæng gian G− y õ v 

G(T (x), T (y), T (y))≤ k max{G(x, T (x), T (x)), G(y, T (y), T (y))},

G(T (y), T (x), T (x))≤ k max{G(y, T (y), T (y)), G(x, T (x), T (x))} (2.21)

Gi£ sû (X, G) l  èi xùng, khi â theo ành ngh¾a (X, dG) v 

Chox0 ∈ X l  mët iºm tòy þ, ành d¢y(xn) bðixn = T (x0) Theo (2.19) ta thº thû r¬ng

G(xn, xn+1, xn+1) ≤ k max{G(xn −1, xn, xn), G(xn, xn+1, xn+1)}

= kG(xn −1, xn, xn), ( v¼ 0≤ k < 1) (2.24) Ti¸p lªp luªn t÷ìng tü ta s³ t¼m ÷ñ

G(xn+1, T (u), T (u))≤ k max{G(xn+1, xn+2, xn+2), G(u, T (u), T (u))},

l§y giîi h¤n khi n → ∞, v  sû döng gi£ thi¸t h m G l  li¶n ta

G(u, T (u), T (u))≤ kG(u, T (u), T (u)) M¥u thu¨n, suy ra u = T (u).

º hùng minh t½nh duy nh§t, gi£ sû u 6= v sao ho T (v) = v, khi â

G(u, v, v) ≤ k max{G(v, v, v), G(u, u, u)} = 0, suy ra u = v.

º h¿ ra T l  G−li¶n t¤i u, ho (yn) ⊆ X l  mët d¢y sao ho

lim(yn) = u khi n→ ∞, khi â

G(u, T (yn), T (yn)) ≤ k max{G(u, T (u), T (u)), G(yn, T (yn), T (yn))}

= kG(yn, T (yn), T (yn)) (2.27) Nh÷ng G(yn, T (yn), T (yn)) ≤ G(yn, u, u) + G(u, T (yn), T (yn)), khi â

G(u, T (yn), T (yn)) ≤ k

1− kG(yn, u, u).

L§y giîi h¤n khi n → ∞, tø â ta th§y r¬ng G(u, T (yn), T (yn)) → 0, v 

T (yn) → u = T (u) T G− u 

H» qu£ 2.2 Cho (X, G) l  mët khæng gian G− y õ v 

T : X → X l  ¡nh x¤ thäa m¢n: vîi méi m ∈ N, ta â

Chùng minh T a sû döng lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong H» qu£ 2.1. 

ành lþ 2.3 ([6℄) Cho (X, G) l  mët khæng gian G− y õ, v 







vîi måi x, y ∈ X, trong â k ∈ [0, 1) Khi â T â duy nh§t mët iºm b§t

ëng (gi£ sû l  u) v  T l  G−li¶n t¤i u.

Chùng minh Gi£ sû T thäa m¢n i·u ki»n (2.30), khi â vîi måi x, y ∈

Gi£ sû (X, G) l  èi xùng, khi â theo ành ngh¾a (X, dG) v 

V îi n, m∈ N, n < m, ho Γ = max{Γi; vîi måi i = n, , m− 1} Khi â, vîi måi n, m ∈ N, n < m, theo b§t ¯ng h¼nh hú nhªt ta

Gi£ sû T (u) 6= u, khi â

G(xn, T (u), T (u))≤ k max{G(xn −1, T (u), T (u)), G(u, xn+1, xn+1),

G(u, T (u), T (u))} (2.41)

L§y giîi h¤n khi n → ∞ v  sû döng gi£ thi¸t h m G l  li¶n ta ÷ñ

G(u, T (u), T (u)) ≤ kG(u, T (u), T (u)), i·u n y m¥u thu¨n, suy ra u =

T (u).

º hùng minh t½nh duy nh§t, gi£ sû u 6= v sao ho T (v) = v Do â, theo (2.30) ta G(u, v, v) ≤ k max{G(u, v, v), G(v, u, u)}, suy ra

G(u, v, v)≤ kG(v, u, u) (2.42) Mët ln núa ta s³ t¼m ÷ñ G(v, u, u) ≤ kG(u, v, v), do â

G(u, v, v) ≤ k2G(u, v, v), (2.43)

k < 1 u = v

º hùng tä T l  G−li¶n t¤i u, ho (yn) ⊆ X l  mët d¢y sao ho

lim(yn) = u, khi â

G(u, T (yn), T (yn)) ≤ k max{G(u, T (yn), T (yn)), G(yn, T (u), T (u)),

G(yn, T (yn), T (yn))} (2.44) Nh÷ng G(yn, T (yn), T (yn)) ≤ G(yn, u, u) + G(u, T (yn), T (yn)), khi â







, (2.46)

vîi måi x, y, z ∈ X, trong â k ∈ [0, 1), khi â T â duy nh§t mët iºm b§t

ëng (gi£ sû l  u) v  T l  G−li¶n t¤i u.

Chùng minh N¸u ta l§y z = y trong i·u ki»n (2.45) v  (2.46) th¼ hóng trð th nh i·u ki»n (2.30) v  (2.31) t÷ìng ùng trong ành lþ 2.3,

H» qu£ 2.4 Cho (X, G) l  mët khæng gian G− y õ v 

(x), Tm

(x)), G(y, Tm

(z), Tm

(z)),G(z, Tm

(x)), G(y, y, Tm

(z)),G(z, z, Tm

(x), Tm

(x)),G(y, Tm

Chùng minh hùng minh suy ra tø ành lþ 2.3, H» qu£ 2.3 v  theo

h lªp luªn t÷ìng tü nh÷ ¢ sû döng trong H» qu£ 2.1. 

ành lþ 2.4 ([6℄) Cho (X, G) l  mët khæng gian G− y õ v 

ëng (gi£ sû l  u) v  T l  G−li¶n t¤i u.

Chùng minh V¼ méi khi ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n (2.49) (2.50)

th¼ nâ thäa m¢n i·u ki»n (2.45) (2.46) t÷ìng ùng trong ành lþ 2.3.

ành lþ 2.5 ([6℄) Cho (X, G) l  mët khæng gian G− y õ v 

T : X → X l  ¡nh x¤ thäa m¢n mët tr ong i·u ki»n sau:

G(T (x), T (y), T (y))≤ a{G(x, T (y), T (y)) + G(y, T (x), T (x))}, (2.51) ho

G(T (x), T (y), T (y))≤ a{G(x, x, T (y)) + G(y, y, T (x))}, (2.52) vîi måi x, y ∈ X, tr ong â a ∈



0, 12



Khi â T â duy nh§t mët iºm

b§t ëng (gi£ sû l  u) v  T l  G−li¶n t¤i u.

Chùng minh Gi£ sû T thäa m¢n i·u ki»n (2.51), khi â ta

G(T (x), T (y), T (y))≤ a{G(y, T (x), T (x)) + G(x, T (y), T (y))},

G(T (y), T (x), T (x))≤ a{G(x, T (y), T (y)) + G(y, T (x), T (x))}, (2.53)

tø mët ành lþ trong khæng gian (X, dG) (xem [2℄).

T uy nhi¶n, n¸u (X, G) khæng l  èi xùng th¼ theo ành ngh¾a

khæng ph£i nhä hìn 1, nh÷ng i·u n y thº ÷ñ hùng minh bði

V îi måi n, m∈ N, n < m, theo b§t ¯ng h¼nh hú nhªt ta

Do t½nh y õ (X, G), tçn t¤i u ∈ X sao ho (xn) l  G−hëi tö v· u Gi£ sû T (u) 6= u, khi â

G(xn, T (u), T (u))≤ a{G(xn −1, T (u), T (u)) + G(u, xn, xn)} (2.60) L§y giîi h¤n khi n → ∞ v  sû döng gi£ thi¸t h m G l  li¶n khi

â G(u, T (u), T (u)) ≤ a G(u, T (u), T (u)) i·u m¥u thu¨n n y suy ra

u = T (u).

º hùng minh t½nh duy nh§t, gi£ sû u 6= v sao ho T (v) = v Khi â

G(u, v, v) ≤ a{G(u, v, v) + G(v, u, u)}, v¼ vªy

º hùng tä T l  G−li¶n t¤i u, ho (yn) ⊆ X l  mët d¢y sao ho

lim(yn) = u, khi â

G(u, T (yn), T (yn)) ≤ a{G(u, T (yn), T (yn)) + G(yn, T (u), T (u))}, (2.62)

v  do â

G(u, T (yn), T (yn)) ≤ a

1− a G(yn, T (u), T (u)).

L§y giîi h¤n khi n→ ∞, tø â ta th§yG(u, T (yn), T (yn)) → 0 Theo M»nh

· 1.7, ta T (yn) → u = T (u), suy ra T l  G−li¶n t¤i u.