SKKN Những bài toán không mẫu mực non standard problems

Bản thân tôi luôn trăn trở rất nhiều về quá trình học Toán và làm Toán của các em học sinh, trong quá trình học Toán, làm Toán các em học sinh cũng gặp đây đó những bài Toán mà đầu đề có

KINH NGHIỆM:

VẬN DỤNG NHỮNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC “NON STANDARD

PROBLEMS” TRONG RÈN LUYỆN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO

HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ.

Trong thời kỳ phát triển và hội nhập, cùng với việc gia nhập tổ chức WTO đã

mở cho đất nước ta rất nhiều cơ hội lớn nhưng cũng không ít những thách thức lớn Trước một thực tại như vậy , nước ta lại phải cùng một lúc giải quyết ba nhiệm vụ : Thoát khỏi tình trạng nghèo nàn lạc hậu của nền kinh tế nông nghiệp ; đẩy mạnh công nghiệp hóa , hiện đại hóa và đồng thời tiếp cận ngay với nền kinh

tế tri thức Để làm nên sự nghiệp ấy đòi hỏi rất nhiều yếu tố tác động tới, trong đó

có việc thích ứng ngay với nền kinh tế tri thức của thế giới với bộ môn Toán nếu

“Toán học là một môn thể thao của trí tuệ” thì công việc của người dạy Toán là

tổ chức hoạt động trí tuệ ấy Có lẽ không có môn học nào thuận lợi hơn môn Toán trong công việc gây hứng thú song cũng đầy khó khăn này

Là một giáo viên giảng dạy môn Toán nhiều năm qua và nhiều năm tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Bản thân tôi luôn trăn trở rất nhiều về quá trình học Toán và làm Toán của các em học sinh, trong quá trình học Toán, làm Toán các

em học sinh cũng gặp đây đó những bài Toán mà đầu đề có “vẻ lạ”, “không bình thường”, những bài Toán không thể giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc Những bài Toán như vậy thường được gọi là “không

mẫu mực”(non standard problems) có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư

duy Toán học và thường là sự thử thách đối với học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên Toán, thi vào Đại học Đương nhiên quen thuộc hay

“không mẫu mực” chỉ là tương đối, phụ thuộc vào trình độ, kinh nghiệm của người học Toán; giải Toán, có bài Toán là “lạ”, “không mẫu mực” đối với người này nhưng lại quen thuộc đối với người khác

Để đạt được mục tiêu này tôi xin chân thành cảm ơn tập thể đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi có điều kiện trình bày và trao đổi đề tài này

Kính thưa quý đồng nghiệp thân mến !

Năm học 20110 – 2011 với chủ đề “ Năm học tiếp tục đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng dạy học”, Là giáo viên dạy toán tôi nhận thấy:’’Việc nâng cao chất lượng dạy học đại trà và đào tạo bồi dưỡng chất lượng mũi nhọn ’’ Là một trong những nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu, trong đó đầu tư tập trung cho khối 8 và

9 nhằm đào tạo và phát hiện ra những học sinh có tố chất, học sinh giỏi là rất quan trọng Vì vậy tôi mạnh dạn xây dựng và nêu lên kinh nghiệm này Với mong muốn được các đồng nghiệp trong và ngoài trường cùng tham khảo và góp ý cho những suy nghĩ của bản thân ngày càng hoàn thiện đi vào thực tế trong việc dạy học Toán Trung học cơ sở

Thưa các bạn ! Trong quá trình học Toán, làm Toán các em học sinh có thể gặp những bài Toán không thể giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc Những bài Toán như vậy thường được gọi là “không mẫu mực”

(non standard problems).

Những bài Toán đó có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy Toán

học và thường là sự thử thách không nhỏ đối với học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên Toán, thi vào Đại học Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tôi đã tổng hợp, phân loại và hướng dẫn phương pháp giải đối với nhiều phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực” ở các lớp 8 ,

9 và các lớp đầu cấp THPT, tôi mạnh dạn xây dựng và nêu kinh nghiệm này Nhằm giúp các em học sinh luyện tập để nhiều bài Toán giải phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực” dần trở thành “quen thuộc” với mình, qua đó biết cách suy nghĩ trước những phương trình và hệ phương trình “ không mẫu mực” khác

Với vấn đề này tôi muốn đưa ra những kinh nghiệm và những bài học thực tiễn qua quá trình bồi dưỡng nhiều năm học sinh giỏi, giảng dạy cho các em học sinh có tố chất ,có năng lực và yêu thích học và làm Toán học tại trường THCS Nguyễn đình Chiểu

Qua nhiều năm bồi dưỡng tôi nhận thấy phương trình và hệ phương trình không mẫu mực được quan tâm và ra đề thi nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp Chính vì vậy , cho đến năm học 2010– 2011đã thôi thúc tôi viết lên những kinh nghiệm nhỏ trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đến nay tôi nhận thấy đề tài phần nào đó đem lại hiệu quả cao, chất lượng học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện

và học sinh giỏi toàn diện đi lên, các thầy cô cũng đó quan tâm nhiều hơn đến phương trình và hệ phương trình không mẫu mực vì vậy không gặp khó khăn trong quá trình giảng dạy học tập và bồi dưỡng học sinh giỏi.

Trong quá trình giảng dạy Toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất và năng lực trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết trong việc học Toán Chính vì vậy bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số vốn kiến thức thông qua việc làm bài tập càng nhiều, càng tốt, càng khó, càng hay Mà phải cần thiết rèn luyện khả năng phát triển tư duy, sáng tạo trong việc học Toán và làm Toán cho học sinh, đặc biệt đối với những bài Toán được các em coi là “lạ”

Qua nhiều năm công tác giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy việc học Toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi Toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải Toán thì bản thân mỗi người thầy (cô) cần phải có nhiều phương pháp và nhiều cách hướng dẫn học sinh tiếp thu và tiếp cận bài giải Đặc biệt qua những năm giảng dạy thực tế ở trường trung học cơ sở Nguyễn đình Chiểu việc có được học sinh giỏi của môn Toán là một điều rất khó

mà không phải giáo viên Toán nào cũng có thể làm được nếu không biết đầu tư, không thực sự nhiệt tình và không nghiên cứu kỹ các chuyên đề về Phương trình và

hệ phương trình không mẫu mực,hoặc các chuyên đề khác thì chắc chắn không tránh khỏi sự bi quan chán nản của học sinh , tuy nhiên có nhiều nguyên nhân có cả khách quan và chủ quan Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp và cách giải qua một bài Toán để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động tư duy sáng tạo, phát triển bài Toán và có thể đề xuất hoặc tự làm những bài Toán tương tự đó được nghiên cứu bồi dưỡng và rèn luyện thêm

Là một giáo viên giảng dạy Toán nhiều năm làm và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nhiều năm Năm học 2010 – 2011 được sự chỉ đạo, quan tâm của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động đặc biệt trong họat động chuyên môn của phòng giáo dục đào tạo huyện CƯ-KUIN về “Chuẩn kiến thức ,kỹ năng”, luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp dạy học truyền thống không ngừng cải tiến đổi mới sáng tạo nhất về phương

pháp dạy học Bên cạnh đó các môn học khác cũng có học sinh đạt giỏi huyện Là động lực luôn khuyến khích các giáo viên dạy Toán và học sinh học Toán phải năng động tìm tòi, tư duy sáng tạo trong việc dạy và học Toán Mặt khác trong sự nghiệp giáo dục của huyện nhà nói chung , và trường THCS Nguyễn đình Chiểu nói riêng

đó có nhiều thay đổi đáng kể, đó có rất nhiều học sinh giỏi cấp tỉnh, giỏi cấp huyện.Bên cạnh đó các cấp uỷ Đảng chính quyền, các bậc phụ huynh, đặc biệt Hội khuyến học xã đó có phần quan tâm động viên hơn đối với sự nghiệp giáo dục của

xã và nhà trường

Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như: Điều kiện

cơ sở vật chất của nhà trường thiếu thốn, không có phòng học để mở việc bồi dưỡng cho học sinh khỏ giỏi theo một trình tự có hệ thống từ các lớp nhỏ đến lớp lớn, cụ thể từ lớp 6 đến lớp 9 Phòng thư viện của nhà trường còn ít đầu sách tham khảo dành cho học sinh có năng lực tư duy tốt Do đó việc tìm tòi sách đọc là vấn đề hạn chế Nhưng khó khăn nhất vẫn là các em học sinh do điều kiện của địa phương với đặc thù của huyện mới được tách ra từ huyện Krông-aNa.Điều kiện kinh tế khó khăn, điều kiện xã hội có nhiều biến động gây xáo trộn tâm lý học sinh.Vì vậy việc quan tâm đến học hành còn hạn chế nhiều về tinh thần và vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành của các em nói chung , môn Toán nói riêng

Dựa trên thực tiển của đơn vị và của huyện nhà tôi xin trao đổi với các đồng

chí đồng nghiệp các ván đề sau:”Những bài toỏn không mẫu mực “non standard problems”

Xin được nêu các ví dụ minh họa như sau

Nghiệm là các giá trị x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a.

+ Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m ( m là hằng số) mà ta luôn có :

h(x) ≥m hoặc h(x) ≤m thì nghiệm của PT là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra

+ Áp dụng BĐT : Cô si,Bunhia kốpxki,

Đáp số : x = 1; 4

3/ Chứng minh nghiệm duy nhất :

a/ Các bước :

Ta có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm sau đó chứng minh rằng ngoài nghiệm này

ra không còn nghiệm nào khác nữa :

- Tìm ĐK tồn tại của phương trình

- Biến đổi PT để xuất hiện nhân tử chung

- Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc GPT về việc giải HPT quen thuộc

b/ Ví dụ

3 3 (3x+ 1) 2 +3 (3x− 1) 2 + 9x2 − = 1 1

II/ Phương trình nhiều ẩn :

1/ Đưa về phương trình tích :

a/Các bước :

Đưa phương trình về dạng f1(x,y, ) fn(x,y ) = a1.a2 an

Với a1; a2; ;an ∈ Z rồi sử dụng tính chất của tập hợp số tự nhiên , tập hợp

số nguyên , f1(x,y, ); f2(x,y ); fn(x,y ) ∈ Z

Xét mọi trường hợp có thể xảy ra để tìm được nghiệm thích hợp của phương trình

b/ Ví dụ1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x y x y

Ví dụ 2: Tìm nhiệm tự nhiên của phương trình sau :

2 m – 2 n = 1984 (2) ( Đề thi HSG toán tỉnh Nghĩa Bình năm 1984)

+ Với m ≤n thỡ 2 m – 2 n ≤ 0 thì (2) không xẩy ra

n m

Tìm nhiệm tự nhiên của phương trình sau :

1 x2 (x2 + 2y) – y2 (y + 2x) = 1991 ( Đề thi hsg toán 9 Hà Nội 1990 – 1991)

f1(x,y, ); f2(x,y ); fn(x,y ) ∈ Z

Xét mọi trường hợp có thể xẩy ra để tìm được nghiệm thích hợp

Dạng 2 : g x y f x y( , , )( , , ) = m n

Với m, n∈ Z có thể ; b>0

*Vận dụng điều đó được chứng minh sau :

“ Mọi số hữu tỉ đều được biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng một liên phân số bậc n”

0 1 2

1 1

= +

+ + + +

Trong đó q0 là số nguyên ; q1 nguyên dương và qn > 1

Đôi khi dùng bất đẳng thức để tìm nghiệm nguyờn của phương trình

b/ Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

Thử lại ta có nghiệm nguyên dương (x;y) của phương trình là :

Có thể giải được bằng phương pháp trên

Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x y z

x y x

x y z

Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

1 10

1 7

x y z

3

= + +

x y z

3 Nếu ẩn có cấu trúc giống nhau, như lũy thừa cùng bậc của các

số nguyên liên tiếp hoặc tích các số nguyên liên tiếp thì ta “khử ẩn” để đưa phương trình về dạng quen thuộc hơn hoặc ít ẩn hơn

4 Thường vận dụng hai nhận xét sau :

a) xn < yn < (x + a)n ; (a ∈ Z+)

suy ra : y = (x + a+ i)n với i = 1;2; ; a-1

b) x(x+ 1) (x + n) < y (y+1) (y+ n) < (x + a)( x+ a + 1) (x + a+ n)

a ∈ Z+Suy ra : y(y +1) (y + n) = (x+ i)(x + i +1) (x + i + n) với i = 1; ;a-1

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : ( 1; 2 ; 2 ) và các hoán vị

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : x + y + 1 = xyz

Giải : vai trò của x, y bình đẳng nên giả sử x ≥y

b/ Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :4xy – x – y = z2Giải : ⇔ (4x – 1) (4y – 1) = ( 2z)2 + 1

Giả sử : (xo ; yo ; zo ) là nghiệm của phương trình:

Ta có : (4xo – 1) (4yo – 1) = ( 2zo)2 + 1

Vì :4xo – 1 là số nguyên dương lớn hơn 3 và có dạng 4m + 3 , m ∈ Z+, nên nó

có ít nhất một ước nguyên tố dạng 4k + 3, k thuộc Z+

Nhưng theo mệnh đề 1 thì ( 2zo)2 + 1 không có ước nguyên tố dạng 4k + 3

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:

Suy ra Vế trái của phương trình chia cho 9 có dư là 0 hoặc 1 hoặc 8

Vế phải của phương trình chia cho 9 cú dư là 6

Vậy phương trình đó cho không có nghiệm nguyên.

a/Các bước : Ta có thể dùng phương pháp phản chứng sau đây : Giả sử phương

trình có nghiệm nguyên ( x0; y0; ) rồi xây dựng đi đến vô số nghiệm từ đó đi đến mâu thuẫn hoặc giả sử phương trình có nghiệm nguyên ( x0; y0; ) với x0 có giá trị nhỏ nhất trong những giá trị có thể của nó rồi chứng minh phương trình có nghiệm ( x1; y1, ) mà x0 > x1

b/ Ví dụ :

Ví dụ 1 Tìm tất cả các nghiệm tự nhiên của phương trình :

x2 + (x+1 )2 = y2 + 1Gợi ý : ⇔ x2 + (x+1 )2 - y2 = 1

Ta thấy : x1 = 1; y1 = 2 là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

Mà x1 = 0

0

7

x x

< , x1 là nghiệm, vô lý Suy ra điều phải chứng minh.

x y

x y

x y

x y

x y

xyzt x xyzt y xyzt z xyzt t

Ví dụ 3 : Tm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau :

3 3

Nghiệm nguyên ( x;y;z) cần tìm là : ( -5;4 ; 4); ( 1;1;1) và các hoán vị

Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau :

 − =

 =

2 2

u uv

u v

Ví dụ 5 : Giải hệ sau :

1 1 1

Ta có : (x+y+z)3 –(x3 + y3 + z3) = 3(x+y)(x+z) (z+y)

Nên (x+y)(x+z) (z+y) = 0

Suy ra : x + y = 0 hoặc x + z = 0 hoặc y+z = 0

x + y = 0 thì z= 1 và x= y = o

x + z = 0 thì y =1 và x = z = 0

y + z = 0 thì x = 1 và y = z = 0

B/

Bài toán áp dụng và tự luyện :

Giải các hệ phương trình sau trong Z :

Bài : 1 :

1995 1975 1945 1997

Luôn có nghiệm nguyên

Giải các HPT sau trong R :

pBài 5 :

3 7

Kết quả đạt được :Việc rèn luyện cho các em năng lực tư duy độc lập sáng tạo

, đặc biệt đối với dạng Toán phương trình và hệ phương trình không mẫu mực đó thôi thúc tôi, nghiên cứu để viết nên tài liệu này, càng khiến tôi tâm huyết tìm hiểu nghiên cứu kinh nghiệm này

Qua các năm giảng dạy và trực tiếp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi Toán, củng như qua trắc nghiệm hứng thú học Toán của học sinh tôi thấy chỉ có 20% các

em thực sự có hứng thú học Toán, 40% học sinh thich học Toán và 40% còn lại nửa thích nửa không trên tổng số 420 em học sinh khối 8,9 của trường Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết cũng rất muốn học cho xong; nhiều khi học một cách thụ động, chưa biết cách tư duy để tạo cho mình một sáng tạo trong cách giải một bài Toán nào đó đặc biệt dạng Toán mà tôi đang dặt vần đề ở trên Bởi vì do điều kiện khách quan của địa phương và của trường, học sinh chỉ được bồi dưỡng một thời gian nhất định trước khi đi thi, do vậy chỉ được học một vài phương pháp, vì vậy học sinh chưa có hứng thú thực sự học Toán giải Toán Trong thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh khỏ giỏi môn Toán còn nặng về hình thức thiếu tính liên tục Với cách làm trên, đây đó mang lại hiệu quả chưa thật cao trong việc rèn luyện giải Toán , nhưng phần nào tạo cho học sinh không còn bâng quỏ bỡ ngỡ khi gặp những bài Toán được coi là “lạ” nữa Cụ thể 80% các em học sinh thích học Toán

đó thực sự có hứng thú học Toán muốn được bồi dưỡng thành những học sinh khá giỏi với chuyên đề tôi vừa trình bày, 20% các em cần cần gợi ý các trường hợp.Song nhìn chung các em rất mong muốn được tham dự lớp bồi dưỡng học sinh giỏi với chuyên đề này

Qua thời gian áp dụng kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán tôi rút ra được những kinh nghiệm sau :

Đây là một kinh nghiệm nhỏ nhắm góp phần vào các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tôi không có tham vọng qua kinh nghiệm sẽ đào tạo được nhiều học sinh giỏi Toán mà chỉ mong được các thầy cô , đồng nghiệp tham khảo coi như

là một tư liệu trong bộ sưu tập các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, đối với học sinh cũng mong các em quan tâm và tìm đọc các tài liệu nói về phương trình và hệ