Lý do chọn đề tài: Môn Toán trong trường trung học phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc
Trang 1A - MỞ ĐẦU
I Lý do chọn đề tài:
Môn Toán trong trường trung học phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết còn rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng tính sáng tạo và thẩm mĩ
Thực tế ở trường THPT Chu Văn An chúng tôi hiện nay, chất lượng vào đầu cấp còn khá thấp so với mặt bằng chung của thành phố, đặc biệt đa số các em xuất thân từ các gia đình kinh tế khó khăn, ít có điều kiện học tập, bị hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn, thêm vào đó, lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với phần lớn học sinh ở đây nên việc truyền tải và phát triển khả năng nhận thức, tư duy cho phù hợp với từng đối tượng học sinh gặp nhiều trở ngại Đặc biệt, học sinh khối 12 khi học
về tích phân rất vất vả để tiếp thu và áp dụng Vì vậy để ít nhiều giúp học sinh học
tốt một phần của chương trình này, tôi đã chọn đề tài “rèn luyện kỹ năng giải bài
tập nguyên hàm, tích phân”
II Mục đích nghiên cứu:
Tạo hứng thú học tập, tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh trường THPT Chu Văn An Làm cho học sinh hiểu, phân biệt rõ các dạng toán thường gặp liên quan đến nguyên hàm và tích phân Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh cũng như chất lượng giảng dạy trong các tiết học
III Cấu trúc của đề tài:
A – MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Cấu trúc của đề tài
B - NỘI DUNG
Trang 2Cơ sở lí luận
Thực trạng của đề tài
Giải quyết vấn đề
Định nghĩa nguyên hàm và tích phân
Một số tính chất của nguyên hàm và tích phân
Các dạng bài tập cơ bản
Một số bài tập tham khảo
C - KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo
B - NỘI DUNG
I Cơ sở lí luận:
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú trọng phát huy động cơ học tập giúp học sinh thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội kiến thức Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn; hay có thể có những em thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt… Dù là khả năng nào đi chăng nữa, học sinh cần thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển thì phải có tri thức, phải luôn học hỏi
Riêng về môn giải tích 12, qua thực tế cho thấy nhiều học sinh khi học về nguyên hàm, tích phân các em thường có tâm lí “sợ” khi giải các bài tập nguyên hàm tích phân đặc biệt những em học trung bình trở xuống, lí do các em không hệ thống được các dạng bài tập, do đó các em ‘sợ’ bài tập chương này Thế nên giáo viên cần chỉ rõ, đưa ra những ví dụ cụ thể và hướng dẫn cho học sinh Ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp cụ thể, trực tiếp vào đúng đối tượng học sinh để các em yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, còn số ít các
em khá không thấy chán nản, vẫn có thể vừa rèn luyện, tiếp nhận kiến thức, vừa giúp đỡ bạn
Trang 3II Thực trạng của đề tài:
- Học sinh cịn lúng túng khi giải bài tập nguyên hàm, tích phân
- Kiến thức hệ thống bài tập cơ bản nắm chưa chắc
- Khả năng tưởng tượng, tư duy lơgíc cịn hạn chế
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt
- Đa số học sinh cĩ tâm lí sợ học tích phân
Đây là mơn học địi hỏi sự tư duy, phân tích Thực sự là khĩ khơng chỉ đối với học sinh mà cịn khĩ đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức Người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để cĩ biện pháp giúp
đỡ, việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích cực, như
Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân
nguyên hàm, tích phân
Phân dạng bài tập, phương pháp và các bước thực hiện chung
Khai thác triệt để bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cho đối tượng trung bình, yếu và một số bài tập địi hỏi tư duy cao dành cho đối tượng khá giỏi
III Giải quyết vấn đề:
TÓM TẮT GIÁO KHOA
1 Định nghĩa:
1 Nguyên hàm:
Định nghĩa: cho hàm số f(x) xác định trên K hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K
Kí hiệu: f x dx F x( ) ( ) C (C là 1 hằng số)
Nhận xét: khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng túng
và hay bị nhầm với đạo hàm Để tránh bị nhầm các em nên nhớ rằng : “ để tính
( )
f x dx
ta cần tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nĩ bằng f(x)”
Trang 4Tính chất nguyên hàm :
1 (f x dx( ) ) ' f x( )
2 kf x dx k f x dx( ) ( )
3 ( ( )f x g x dx( )) f x dx( ) g x dx( )
4 f t dt F t( ) ( ) c f u x u x dx F u x[ ( )] '( ) [ ( )] C
các phương pháp tính nguyên hàm.
Việc tính nguyên hàm của một hàm số là khơng hề đơn giản chút nào Do vậy
mà ở đây tơi sẽ đưa ra 3 phương pháp cĩ tính đườn lối Nĩ được dẫn dắt từ đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hai hàm
Đĩ là phương pháp sử dụng các nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến
số, phương pháp tính Tích phân từng phần
I TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT
Bảng cơng thức tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm thường gặp
C 1
x dx x
1
( 1 )
2 x , x cos
1
x cos
dx
2
x sin
1
x sin
dx
2
x
1
x dx
(x 0 )
Trang 58 Y = logax y' = xln1 a ,
1 a 0 , R
dx log x C a
ln x
1
a
(0 a 1)
C a ln
a dx a
x
(0 a 1)
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I = f[u(x)].u (x)dx ' bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1: f u x u x dx ( ) '( ) f t dt( )
2) DẠNG 2: Tính I = f(x)dx bằng cách đặt x = (t)
Công thức đổi biến số dạng 2: I f x dx( ) f ( ) '( )t t dt
III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: u x v x dx u x v x( ) '( ) ( ) ( ) v x u x dx( ) '( )
Hay: udv u v vdu
Chú y: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau :
1 Lựa chọn phép đặt v’ sao cho v được xác định một cách dễ dàng
2 Tích phân vu dx' được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
nguyên hàm và tích phân hàm hửu tỉ
Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ cĩ dạng: A dx
ax b
Hướng dẫn:
Cần lưu ý hai điểm sau:
ax b a
Trang 6Ví dụ minh họa
1 5dx 5ln | |x C
2 5 5ln | 2 |
2x dx2 x C
3 7 7ln | 2 5 |
2x 5dx2 x C
4 6 6ln | 2 5 |
2x 5dx2 x C
Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có dạng: I= 2 dx
ax bx c
Hướng dẫn:
Tính hay ’của mẩu rồi tùy theo dấu của hay ’ để áp dụng công thức sau: 1) >0 hay ’>0 (có 2 nghiệm x1,x2) I= 1
1 ln
x x
C
a x x x x
2) =0 hay ’=0: I= 2
2 (ax bx c) ' C
3) <0 hay ’<0: I= 2 arctan(ax2bx c ) 'C
ax bx c
C
Ví dụ minh họa
7 10
dx
x x
Ta thấy x2-7x+10 có =9>0 suy ra x2-7x+10 có 2 nghiệm phân biệt x1=5,x2=2
1
ln
x x
C
a x x x x
1(5 2) 2
x
C x
x
C x
Chú ý nếu lấy x1=2,x2=5 sẽ có
1
ln
x x
C
a x x x x
1(2 5) 5
x
C x
x
C x
dx
x x
Ta thấy 2x2-5x-3 có =49>0 suy ra 2x2-5x-3 có 2 nghiệm phân biệt x1=3,x2=-1
2
1
ln
x x
C
a x x x x
2(3 )
x
C x
=1ln 2( 3)
x
C x
4 24 36
dx
x x
Ta thấy 4x2-24x+36 có ’=0
2 (4x 24x 36) ' C
8x 24 C
4x 12 C
dx
Trang 7Ta thấy 5x2-2x+2 có ’=-9<0
C
= 1arctan10 2
x C
=1arctan5 1
x C
Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có dạng: I= 2Ax B dx
ax bx c
Hướng dẫn:
Biến đổi sao cho có dạng sau:
ax bx c
'
dx
'
u
dx
u
2
dx
ax bx c
Ví dụ minh họa:
x
dx
=
2
x
dx
=
2
(8 5)
x
dx
8 4 5 2
x
dx
7
8 4 5 2
dx
x x
=3 | 4 2 5 2 | 7 2 arctan8 5
x
| 4 5 2 | arctan
x
x x dx C
x
dx
Bước 1:
Lấy đạo hàm 8x-5 của phía dưới mẫu đem lên trên và giữ nguyên phía dưới mẫu: 2
8 5
x
dx
Bước 2:
Đem hệ số của x mới có ở trên tử là 8 ra ngoài thành mẫu của một phân số mới: 2
?
(8 5)
8
x
dx
Bước 3:
Đem hệ số của x đã có sẵn ở phần trên trong I là 3 làm tử để được phân số 3
8:
2
3
(8 5)
8
x
dx
Trang 8Bước 4:
Nhân 3
8với hằng số ở trên tử là -5 để được -15
8 :
2
(8 5)
x
dx
Bước 5: thêm hằng số đã có sẵn ở phần trên trong I là -1 thành:
2
x
dx
Bước 6:
Rút gọn thành :
I=
2
(8 5)
x
dx
dx
Và kết quả là:
ln | 4 5 2 | arctan
x
x
dx
=
2
8
(4 4) 8 3
4
x
dx
= 2(42 4) 11
x
dx
x
dx
+11 2
dx
x x
2ln | 2 4 2 | 11
4 4
x
2ln | 2 4 2 |
2 2
x
8 15
x
dx
=
2
3
(2 8) 12 1
2
8 15
x
dx
=
2
3
(2 8) 13
2
8 15
x
dx
=3
2 2
2 8
8 15
x
dx
+13 2 8 15
dx
x x
ln | 8 15 | ln
x
x
Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có mẩu lớn hơn bậc hai:
Trường hợp 1: mẫu có thể biến đổi thành tích của nhiều thừa số bậc nhất hoặc bậc hai
Hướng dẫn:
Trang 9Ta đã biết cách tính tích phân của hàm số hữu tỷ có mẩu thuộc bậc nhất hoặc bậc hai Nếu mẫu có bậc cao hơn bậc hai thì ta giải quyết cách khác trong đó có một cách thường dùng là áp dụng đồng nhất thức và làm như sau:
- Đổi mẫu số thành nhiều thừa số bậc nhất và bậc hai ( không được quá bậc hai)
- Đổi hàm số ra tổng của nhiều phân thức mà mỗi phân thức có mẫu là một thừa số
đã có ở trên và tử là một biểu thức bậc thấp hơn mẫu một bậc thí dụ mẫu bậc nhất thì mẩu là hằng số, mẫu bậc hai ax2 bx c thì tử là Ax+B
- Sau khi đã tách ra như trên lại quy đồng mẫu số thì sẽ thấy mẫu số giống mẫu số trong hàm đã ra và có tử số mới
- Cho tử số mới đồng nhất với tử số cũ( tức là luôn luôn bằng nhau với mọi x) ta sẽ tìm ra cụ thể các tử số mới, từ đó biến đổi tích phân thành hợp của 3 dạng:
A
dx
ax b
; 2
dx
ax bx c
Ax B
dx
ax bx c
Ví dụ minh họa:
x x
dx
Đặt
Sẽ có đồng nhất thức:
A x x Bx C x x x
cho x=1 ta có A=1
2
cho x=0 ta có C=9
2
cho x=-1 ta có B=5
2
do đó:
I=
2
1 3 2 5
x
dx
=
2
(6 2)
ln | 1|
x
ln | 1| ln | 3 2 5 | arctan
Trường hợp 2: mẫu không thể biến đổi thành tích của nhiều thừa số bậc nhất hoặc bậc hai
Hướng dẩn:
- Trường hợp trong tử có chứa đạo hàm của mẫu u: hãy dùng cách đổi biến số
- Trường hợp các bậc cao ở mẫu so le nhau một hoặc hai bậc: hãy đặt x=1
t
Ví dụ minh họa:
Trang 101 I= 105 4 36 2 4 2 55 4 33 2 2
Đặt u= x5 x3 2x 1 có du= (5x4 3x2 2)dx
u
=2ln|u|+C=2ln|x5 x3 2x 1|+C
2 I= 27 46
2
x
dx
x x
Đặt x=1
t có dx=- 12 dt
t
1
4 1
2t 1 t dt
t t
= 5 4 7 ( 12 )
2
t t
dt
t t
(2 )
t t
dt
2
t t
dt
t
(4 8 15 30 60 )
2
t
2 5 15 60 120ln | 2 |
5
t
Do x=1
t
1
t
x
nên
I= 45 24 53 13 602 120ln |1 2 |
5x x x x x x C
3 I= 61 8 dx
x x
Đặt x=1
t có dx=- 12 dt
t
1
1 1
dt t
t t
1
t
dt
t
2
1
1
t
t
Do x=1
t
1
t
x
nên
Trang 11I= 5 3
1 1
ln | | 1
x
ln | |
x C
C - KẾT LUẬN:
Do điều kiện có hạn, nên đề tài này chỉ nhằm mục đích hệ thống hoá một số cách tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ cơ bản Qua mỗi phần một số ít bài toán giúp học sinh hệ thống kiến thức, hình thành phương pháp giải, rèn luyện việc tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách chuẩn kiến thức kỹ năng toán 12
- Sách giáo khoa giải tích lớp 12
- Sách giáo viên giải tích lớp 12
- Phương pháp dạy học môn toán
