SKKN phát hiện, chứng minh và khai thác sử dụng một công thức tính diện tích tam giác mới, hiệu quả trong mặt phẳng toạ độ

Đó là hoạt động tìm tòi sáng tạo để “phát hiện, chứng minh và khai thác sử dụng một công thức tính diện tích tam giác mới, hiệu quả trong mặt phẳng toạ độ”.. Ở đây tôi xin phép được dùng

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI MỞ ĐẦU

Trong quá trình dạy học, mục tiêu phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là

rất quan trọng Vì vậy, trong dạy học nói chung và dạy học môn toán nói riêng,người thầy phải luôn tìm cách để đạt được mục tiêu này Trong đó có một cách

quan trọng là: chính bản thân người thầy phải là người đi đầu trong các hoạt động sáng tạo, qua đó cho các em thấy thế nào là một hoạt động sáng tạo và hướng

nhận thấy chính bản thân mình cũng có thể có những hoạt động sáng tạo đó chỉ

cần các em chịu khó suy nghĩ tìm tòi sáng tạo.

Sáng kiến kinh nghiệm này xin trình bày một ví dụ như thế về hoạt động

sáng tạo mà tôi đã tìm ra Đó là hoạt động tìm tòi sáng tạo để “phát hiện, chứng minh và khai thác sử dụng một công thức tính diện tích tam giác mới, hiệu quả trong mặt phẳng toạ độ” Ở đây tôi xin phép được dùng cụm từ “một công thức

tính diện tích tam giác mới” bởi hai lý do: thứ nhất, ít ra nó mới đối với tôi (bởi

trước khi tôi tìm ra công thức này thì tôi chưa hề biết đến sự tồn tại của nó); thứhai, công thức này chưa có trong Sách giáo khoa phổ thông hiện thời nên nó mớiđối với học sinh

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng

Bài toán tính diện tích tam giác là một bài toán cơ bản, gắn liền với thực tế

và quen thuộc đối với học sinh Ngay từ khi học tiểu học cho đến hết THCS học

sinh đã quen thuộc với qui tắc “Diện tích tam giác bằng nửa tích độ dài một cạnh

và chiều cao tương ứng với cạnh đó của tam giác”.

Đến khi học sinh học lớp 10, các em được biết đến một số lượng phong phúcác công thức tính diện tích tam giác Các em nắm được một loạt các công thứctính diện tích tam giác dưới nhiều hình thức khác nhau, đó là:

4) Sp r. ;5) S p p a p b p c(  )(  )(  ).Ngoài ra, đến năm học lớp 12, học sinh được trang bị thêm một công thức nữa đểtính diện tích tam giác dựa vào tích có hướng của hai vectơ trong không gian:

Vậy phải chăng với số lượng “đồ sộ” các công thức tính diện tích tam giác như thế, học sinh có thể giải quyết các bài toán cơ bản về diện tích tam giác trong chương trình học một cách thuận lợi, tối ưu?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta xem xét một thực tế sau đây

qua lời giải hai bài toán sau:

Thông thường, hai bài toán trên được giải như sau:

Lời giải bài toán 1:

Gọi S là diện tích tam giác ABC

Lời giải bài toán 2:

Gọi S là diện tích tam giác ABC, A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5; 3)

Tại sao lại có “nghịch lý” này? Có thể giải thích, bởi trong không gianchúng ta có công thức tính diện tích tam giác thông qua tích có hướng của hai vectơ

Từ đó tôi đã tìm ra một công thức mới rất hiệu quả để tính điện tích tam giác

trong mặt phẳng toạ độ khi biết toạ độ ba đỉnh của nó và khắc phục được “nghịch

lý” nói trên

Với công thức này học sinh dễ dàng giải quyết bài toán 1 hay các bài toántương tự hoặc liên quan Ngoài ra còn cho người dạy một công cụ để xây dựng cácbài toán về diện tích tam giác một cách thuận lợi

Sau đây là nội dung cụ thể

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I XÂY DỰNG CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC MỚI

1 Phát hiện công thức

Bài toán mở đầu:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A x y( ;A A),

( ;B B)

B x y , C x y( ;C C) Hãy tính diện tích S của tam giác ABC

Phân tích và lời giải:

Bài toán tương tự như thế này, trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz đãđược Sách giáo khoa Hình Học 12 giải quyết và đưa ra công thức

Xem bài toán đang xét là bài toán trên mặt phẳng toạ độ Oxy của hệ trục toạ

độ Oxyz trong không gian Vậy ta có toạ độ các đỉnh của tam giác ABC là

C

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A x y( ;A A),

- Để dễ nhớ và áp dụng thuận lợi, ta nên sử dụng công thức (1b) với lưu ý:

không nhất thiết phải lấy cặp vectơ  AB AC, mà có thể lấy hai vectơ không

cùng phương tuỳ ý miễn sao chúng có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của

tam giác ABC

2 Chứng minh công thức

Trong phần trên chúng ta đã có một cách (xem là cách 1) chứng minh côngthức (1) nhưng nó chỉ phù hợp với học sinh lớp 12 ở học kì 2 (sau khi học sinh đãhọc tích có hướng của hai vectơ), như thế thì quá muộn Bởi thực tế các bài toáncần sử dụng công thức (1) đã có từ lớp 10 Vậy chúng ta cần tìm ra cách chứngminh công thức (1) mà chỉ với kiến thức toán lớp 10 (tức là không thông qua tích

có hướng của hai vectơ và hình giải tích trong không gian)

Từ suy nghĩ đó, tôi tìm ra hai cách chứng minh khác (cách 2, cách 3 sau đây)hoàn toàn phù hợp với kiến thức của học sinh lớp 10 và các em dễ dàng tiếp thu

Cách 2 sử dụng sau khi học sinh đã học biểu thức toạ độ tích vô hướng củahai vectơ Sau đó, khi học sinh đã học công thức tính khoảng cách từ một điểm đếnmột đường thẳng các em có thể sử dụng thêm cách 3 Sau đây là hai cách chứngminh đó

A

B

H

ch

x y S

Độ dài đường cao h c là khoảng cách từ C đến đường thẳng AB

II KHAI THÁC SỬ DỤNG CÔNG THỨC

Trong phần này, tôi trình một số ví dụ về khai thác sử dụng công thức (1)vào giải toán Trước hết đó là áp dụng giải những bài toán cơ bản, sau đó mở rộng

áp dụng cho các bài toán mang tính tổng quát, phức tạp hơn

Qua phần này, chúng ta sẽ thấy rõ và bất ngờ về tính hiệu quả của công thức(1), nhờ vào nó một số bài toán tương đối khó đã được giải quyết một cách gọn gẽ,

mà trước đây phần lớn các bài toán này chỉ được xét trong những trường hợp đặcbiệt (như liên quan đến tam giác vuông, cân, đều, ) Trong số đó có các bài toán rấtđáng chú ý (như ví dụ 6, 7, 8)

Ngoài ra, công thức (1) còn được tôi khai thác sử dụng theo hướng: dựa vào

nó để đặt ra các bài toán và tìm cách giải quyết chúng, từ đó làm phong phú thêmcác dạng toán và hơn nữa nhiều khi thu được những kết quả thú vị, bất ngờ Vớihướng khai thác này, công thức (1) cũng tỏ ra rất hiệu quả

Sau đây là nội dung cụ thể của những hướng khai thác và sử dụng công thức(1) nói trên

1 Giải toán về diện tích trong mặt phẳng toạ độ

Gọi SABC, SACD, S lần lượt là diện tích của

tam giác ABC, ACD và tứ giác ABCD

Cho parabol (P): y2 = x và các điểm A(1; -1), B(9; 3) thuộc (P).

Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho MAB có diện tích lớn nhất

Lập phương đường thẳng d cắt  và ’ lần lượt tại các điểm A, B có hoành

độ dương sao cho 1 1 2

OA  OB  và tam giác OAB có diện tích bé nhất

Giải

xO

y

3

1

9B

A-1M

1

A, B lần lượt thuộc  và ’ nên A(4a; 3a), B(3b; 4b) (với a, b > 0).

a) Tìm độ dài đường cao h a hạ từ đỉnh A và bán kính đường tròn nội tiếp r, đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC.

b) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B Tìm toạ độ điểm M thuộc cạnh BCsao cho đường thẳng A’M chia tam giác ABC thành hai phần có diện tíchbằng nhau

a

S h BC

3

2 5 2

S r p

S

b) Theo giả thiết suy ra A’(2; 5)

M thuộc cạnh BC nên M(a; 4 – a) với 1  a 2

Đường thẳng A’M có phương trình

A’

M

NB

a y

M1(4; 2), M2(10;-4), M3(4; 2

3), M4(-2; 4)

2 Chứng minh tính chất đặc trưng của hypebol

Sau đây là một ví dụ điển hình, thể hiện rõ nét tính hiệu quả của công thức

(1) Chỉ có thể sử dụng công thức (1), bài toán tương đối phức tạp trong ví dụdưới đây mới có thể giải quyết một cách thuận lợi đến như vậy

A

MBd

Gọi toạ độ của điểm M là (xo; yo), ta có x o22 y o22 1

1 2

Vậy trung điểm của AB chính là điểm M

Mặt khác, diện tích tam giác OAB là

Vậy diện tích của tam giác OAB luôn bằng ab, không phụ thuộc vào vị trí

của điểm M trên (H)

3 Chứng minh công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong trường hợp chúng ta chứng minh công thức (1) bằng cách 2 (tức làthông qua tích vô hướng của hai vectơ), khi đó chúng ta có thể dụng công thức (1)

để chứng minh công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trongmặt phẳng toạ độ Cách chứng minh này ngắn gọn, đơn giản hơn so với cách chứngminh trình bày trong SGK 10 và 12 Đây là một điều rất đáng chú ý, phải chăngnên xây dựng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trongmặt phẳng toạ độ theo hướng này?

- Nếu Mo thuộc , hiển nhiên công thức (*) đúng

- Nếu Mo không thuộc , ta lấy hai điểm M1, M2

thuộc  sao cho M M1 2 u

 

.Khi đó ta có tam giác MoM1M2 và gọi S là diện

Vậy trong mọi trường hợp, công thức (*) được chứng minh.

4 Giải toán về diện tích liên quan đến đồ thị hàm số

Ví dụ 9:

Xác định m để đồ thị hàm số y x 4  2mx2  2m m 4 có các điểm cực đại vàcực tiểu lập thành một tam giác có diện tích bằng 32

Tâm đối xứng I là giao điểm hai tiệm cận y = 3x + 2 và x + 3 = 0  I(-3; -7).

Suy ra tam giác IMO có diện tích 1 7 3 3 2 2 3 3

5 Giải toán về diện tích trong hình học phẳng

Công thức (1) tỏ ra hiệu quả trong mặt phẳng độ Vậy chúng ta có thể nghĩđến việc khai thác công thức (1) vào giải toán trong hình học phẳng bằngcách kết hợp với phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Ví dụ 11:

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2 Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB

và BC; AF và DE cắt nhau tại I, BD và AF cắt nhau tại H

Tính diện tích tứ giác BEIH

Giải

Chọn hệ toạ độ Oxy sao cho AO,

B , D lần lượt thuộc tia Ox, Oy (hình bên)

x y

x y

5 15 15  (đvdt).

III BÀI TẬP THAM KHẢO

Qua một số ví dụ trên ta thấy, công thức (1) được áp dụng giải quyết các bàitoán từ dễ đến khó một cách linh hoạt và nó tỏ ra rất hiệu quả Điều đó cho thấycông thức (1) có ý nghĩa thực hành và mang tính thực tiễn

Sau đây là một số bài tập tham khảo, qua đó một lần nữa khẳng định thêmnhững nhận định trên (Các bài tập từ 1 đến 12 đều xét trong mặt phẳng toạ độOxy)

Bài 1 Cho tam giác OAB với A(36; 15), B có toạ độ nguyên

Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB

Bài 2 Cho tam giác ABC với A(7; 2), B(- 4; 2), C (5; -3).

Tìm diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ABC

Bài 3 Tính diện tích tứ giác ABCD với A(7; 2), B(-3; 1), C (-5; 4), D(7; -3).

Bài 4 Cho OAB với A(4; 0), B(2; 3) M là một điểm trong (OAB)

Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên OA, OB, AB Tìm toạ độ điểm M sao cho tích MM1.MM2.MM3 đạt giá trị lớn nhất

Bài 5 Cho parabol (P): y = x2 – 3x + 2 và các điểm A(1; 0), B(3; 5) thuộc (P)

Tìm toạ độ điểm M thuộc cung AB của (P) để MAB có diện tích lớn nhất

Bài 6 Cho tam giác ABC với A(1; 0), B(4; 2), C(2; 6); I là trung điểm của BC, M

đối xứng với I qua C Viết phương trình đường thẳng qua M và chia tam giácABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

Bài 7 Cho tam giác OAB với A(1; 1), B(9; 2) Tìm phương trình đường thẳng song

song với trục tung chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng nhau

nguyên sao cho IMO có giá trị diện tích là một số tự nhiên với I là tâm đốixứng của đồ thị (C).

Bài 9 Cho đồ thị (C) của hàm số 2 2 5

3

y x

Chứng minh M là trung điểm của AB và IAB có diện tích không đổi

Bài 10 Tìm diện tích hình thang ABCD biết A(-1; 1), B(4; 2), C(-2; -3).

Bài 11 Cho tứ giác ABCD với A(10; 1), B nằm trên trục hoành, C(1; 5); A và C

đối

xứng với nhau qua BD; M là giao điểm của AC và BD, BD = 4BM

Tính diện tích tứ giác ABCD và độ dài đường cao đi qua đỉnh D của ABD

Bài 12 Cho hình thang vuông ABCD có hai đáy AD và BC cùng vuông góc với

cạnh bên CD, A(0; 1), B(2; 7), C(8; 9); E là giao điểm của AB và DC

Tìm tỉ số diện tích của tam giác BEC và hình thang ABCD

Bài 13 Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông ABCD.

Từ D và C hạ lần lượt các đường vuông góc xuống các đường thẳng MA,

MB, các đường vuông góc này cắt nhau tại N

Chứng minh rằng diện tích AND và BMC bằng nhau

C KẾT LUẬN

1 Kết quả nghiên cứu

1.1 Đối với học sinh

- Học sinh nắm được một công thức tính diện tích tam giác rất hiệu quả trongmặt phẳng toạ độ và vận dụng giải quyết một số các bài toán có trong chương trình

- Hơn nữa, như phần đặt vấn đề đã nói, điều quan trọng sáng kiến kinh nghiệmnày cho các em học sinh một ví dụ sống động về một hoạt động nghiên cứu tìm tòisáng tạo Cho các em thấy, từ những vấn đề quen thuộc nhất cũng có thể tìm ra

những điều mới mẻ nếu luôn có tinh thần tìm tòi nghiên cứu, nhìn nhận vấn đề theonhiều góc độ khác nhau Và tạo cho các em niềm tin rằng bản thân các em hoàntoàn có thể là chủ thể của những hoạt động sáng tạo đó Qua đó khích lệ, tạo hứngthú và lôi cuốn các em say mê học tập và học tập một cách sáng tạo.

1.2 Đối với giáo viên

- Giáo viên có thể sử dụng sáng kinh nghiệm này như một ví dụ về hoạt độngtìm tòi sáng tạo, qua đó khích lệ các em tham gia vào hoạt động này nhằm phát huytinh thần học tập sáng tạo của học sinh

- Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có thể xem là một bài tập mở để giáoviên hướng dẫn học sinh phát hiện ra những nội dung đó Đây sẽ là một bài tập thú

vị, bổ ích cho đối tượng học sinh khá giỏi, tạo ra hứng thú học tập và rèn luyện tưduy sáng tạo cho các em

- Dựa trên kinh nghiệm này, giáo viên có thêm một cách xem xét vấn đề nhằmphát hiện ra những nội dung tương tự, qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho họcsinh và ngày một nâng cao hơn nữa hiệu quả của hoạt động dạy học

- Bên cạnh đó, giáo viên có thể sử dụng công thức tính diện tích đưa ra trongsáng kiến này như một công cụ để đặt ra các bài toán làm phong phú thêm các dạngtoán về diện tích trong chương trình THPT

2 Kiến nghị, đề xuất

2.1 Đối với nhà trường

- Các tổ chuyên môn có kế hoạch để mỗi thành viên trong tổ có buổi báo cáokết quả sáng kiến kinh nghiệm của mình trước tổ theo định kì

- Nhà trường tổ chức các buổi báo cáo, trao đổi, học tập kinh nghiệm nhữngsáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt

2.2 Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo

- Nên xem xét, có ý kiến để đưa công thức (1) chính thức vào chương trình họcnhằm khắc phục một số khó khăn trong học tập của học sinh và sử dụng nó để xâydựng một số vấn đề mang tính lí thuyết

- Những sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng cần được giới thiệu, phổ biến đếncác trường THPT để cùng nhau trao đổi và áp dụng thực tế