SKKN cách thức phương pháp, trong đó tôi thấy phương pháp sử dụng phép tính nhẩm

ý tởng đi nghiên cứu đề tài từ một bài toán thực tế với cách giải độc đáo đợc đúc rút từ sự vận dụng linh hoạt của các nội dung cơ bản của chơng trình.. Đặt vấn đề : Trong thời đại công

I Khái quát nội dung chính

A : Đặt vấn đề

- Vai trò, tác động của toán học với đời sống, với các ngành khoa học kỹ thuật

- Vị trí của môn toán trong trờng THCS

- Khả năng học toán của các em ở trờng THCS hiện nay

- Do yêu cầu của đổi mới phơng pháp : " Thầy chủ đạo , trò chủ động "

B Giải quyết vấn đề

1 ý tởng đi nghiên cứu đề tài từ một bài toán thực tế với cách giải độc đáo đợc

đúc rút từ sự vận dụng linh hoạt của các nội dung cơ bản của chơng trình

2 Phơng pháp dạy học của thầy, cách tìm tòi thực nghiệm để đúc rút ra các dạngvận dụng kiến thức cơ bản vào làm phép tính nhẩm

3 Tám dạng bài tập khác nhau, mỗi dạng đều nêu ví dụ cụ thể, cơ sở của cáchlàm, tại sao làm nh vậy

nghìn , hàng trăm giống nhau Tổng chữ số hàng chục

và hàng đơn vị của hai thừa số là 100

Dạng 8 : Tính nhanh một số biểu thức

Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật

Dạng 10 : Nhận xét , đề suất cách giải một số dạng toán khác.

C Kết quả thực hiện - Bài học kinh nghiệm

- Kết quả qua 1 số năm giảng dạy gần đây

- Bài học rút ra qua đề tài

II Nội dung chi tiết

A Đặt vấn đề :

Trong thời đại công nghiệp hoá , hiện đại hoá ngày nay, một trong những điểm

đáng chú ý của cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật đang diễn ra nhanh nh vũ bãohiện nay là sự thâm nhập ngày càng nhiều của máy tính điện tử , của công nghệthông tin vào các ngành khoa học khác mà chìa khoá của nó là toán học

Toán học không chỉ xâm nhập vào các ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật màcòn vào cả sinh học, ngôn ngữ học, tâm lý học, xã hội học

Trong sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá ở nớc ta hiện nay , toán học giữmột vị trí nổi bật Nó có tác dụng rất lớn đối với các nghành khoa học khác , đốivới kỹ thuật , sản xuất , chiến đấu … Trong tr Trong trờng THCS môn toán có vị trí vôcùng quan trọng Nó có khả năng to lớn để thực hiện mục tiêu giáo dục : "Nângcao dân trí, bồi dỡng nhân lực , đào tạo nhân tài" Môn toán là công cụ thiết yếugiúp các em học tốt môn học khác , giúp các em phát triển năng lực và phẩm chấttrí tuệ Chúng ta đều biết : Một trong những yêu cầu của việc dạy học sinh họctoán là tạo cho các em có phơng pháp t duy , óc sáng tạo , khả năng lập luận , kỹnăng tính toán hợp lý , trình bày bài khoa học , rõ ràng Tuy nhiên trong các trờngTHCS hiện nay , đặc biệt là các vùng nông thôn tình trạng các em học yếu toán , sợtoán không phải là ít , kiến thức toán học hời hợt , thiếu vững chắc Nhiều em nghĩtoán học khô khan , hóc búa , học toán đau đầu Trớc một bài toán nhiều emkhông biết bắt đầu từ đâu ? Làm thế nào ? Nếu giáo viên càng thuyết trình thì họcsinh càng thụ động Do đó các em càng sợ , càng yếu , không nắm đợc các kiếnthức cơ bản

Trớc yêu cầu của đổi mới phơng pháp :" Thầy chủ đạo , trò chủ động", làm thếnào để củng cố đào sâu suy nghĩ và rèn luyện t duy toán học Làm thế nào để giúpcác em độc lập suy nghĩ , xây dựng ý thức tự giác trong học tập ? Câu hỏi này luôn

làm tôi băn khoăn suy nghĩ để rồi qua đó tự tìm hiểu, nghiên cứu cách thức phơng pháp, trong đó tôi thấy phơng pháp sử dụng phép tính nhẩm là tâm đắc Tôi

đem trao đổi cùng anh chị em đồng nghiệp, cùng họ mang đi thực nghiệm trongthực tế giảng dạy Và chúng tôi đều thấy kết quả thu đợc rất khả quan

B Giải quyết vấn đề

1a) Khi bồi dỡng cho các em giỏi toán , tôi đã cho các em làm bài tập sau :

Tính giá trị của biểu thức :

2211 04 , 20

-959 : 03 , 20

9 , 95 : 003 , 2

Trong khi đại đa số các em khác dùng máy tính để tính giá trị của biểu thức A Tôi quan sát không thấy em Kiên làm bài mà chỉ ngồi suy ngẫm , sau đó em hỏi tôingay : " Tha cô A = 1 " Nhiều em ngỡ ngàng không tin vì em nói ngay đáp số màkhông cần dùng máy tính , không làm nháp Em trình bày nhận xét của mình :

2211 04 20

,

,

= 1

* 2,003 : 95,9 = 20,03 : 959 =>

959 03 20

9 95 003 2

: ,

, : ,

= 1

Do đó A = 1 +1 -1 => A = 1

Qua lời giải trên đã xác định đợc sự linh hoạt của em Kiên dựa vào những kiếnthức cơ bản và vận dụng một cách sáng tạo những nội dung sau đây của toán học : + Quan hệ giữa các thừa số với kết quả của phép nhân ( chia )

+ Quy tắc biểu diễn hỗn số bằng phân số

(a a

= 36

2) Tìm x biết :

15 x

150 + - x

150

= 1 3) Tính tích : +/ ( a2+ a + 1 ) ( a2 - a - 1 )

+/ ( a + 1 )(

1 -

2

3

1 2

y 2 xy - x 3

y + xy + x 2

5) Tính giá trị của biểu thức :

+ ở nhà : Cá nhân tự nghiên cứu , đề xuất cách giải

+ Đến lớp : Tiết 1 : Thảo luận cách giải trong từng nhóm

Tiết 2 : Thảo luận cách giải hay của từng nhóm Tiết 3 : áp dụng cách giải hay đó vào các bài toán khác

Chẳng hạn vào ba ví dụ sau đây

* Ví dụ 1 : Tính nhẩm nghiệm nguyên , dơng của phơng trình có dạng x ( x + 1 )

a) Khi đợc cung cấp bài toán , trò cần tạo thói quen suy nghĩ :

bắt đầu từ đâu ? (với đề bài toán) Phải làm gì ? (Thấy đợc bài

toán càng rõ ràng , càng sáng sủa càng tốt) Làm nh thế tiện lợi

gì ? (quen với bài toán)

b) Khi hiểu rồi , cần đi sâu nghiên cứu xây dựng chơng trình

(Thầy dùng lời nhắc nhở , kiên nhẫn)

= 36 => a( a - 1 ) = 72 => a2 - a - 72 = 0

+ Ta có thể dùng công thức nghiệm để giải phơng trình bậc hai một ẩn này

+ Tôi cho các em nhận xét a và a - 1 là hai số nguyên dơng Đó là hai số tự nhiênliên tiếp nhau và trong bảng nhân 9 ta có 9.8 = 72

=> a = 9

* Từ nhận xét này cá em có thể dễ dàng giải phơng trình dạng

( x - n )( x + m) = q

Với bài 3 ở phần 1 (b) :

Tính ( a2 + a + 1 ) ( a2 - a - 1 ) Vận dụng nhân hai đa thức các em có thể tính

đợc kết quả Nhng nếu quan sát giữa các hạng tử ở hai đa thức đó ta có thể tínhnhanh hơn

3

+

1 + 2a + 2 a

2

) =

1 - a

2

1 5

a

a 

với a  1 Thông qua bài tập ta thấy đợc tác dụng của phép tính nhẩm trong việc giúp các

em đào sâu suy nghĩ , rèn luyện t duy toán học Làm thế nào để các em tự đề suấtcách giải nhanh ? Đây là vấn đề nan giải , nó tuỳ thuộc vào sự linh hoạt , nhanhnhẹn , sáng tạo của trò Tuy vậy để phần nào tạo ra sự linh hoạt , sự hứng thú vớimôn toán tôi đã cung cấp cho các em một số thủ thuật để các em có thể tính nhẩm

đợc Các thủ thuật đó đợc rút ra dới một số dạng sau đây :

+ Các chữ số còn lại là tích của các số đó với số tự nhiên liên

( ab )2 = ( 10a + b)2 = 100a2 + 10 2ab + b2

Nh vậy ta có b2 đơn vị , 2ab chục , a2 trăm các dấu cộng mà ta xoá đi chính

là vì ta đã biết nó thuộc hàng nào rồi

2) Ví dụ 2 :

a) Tính 232

Ta có ( 2 + 3 )2 = 4 + 12 + 9 Nếu cứ máy móc ghi 232 = 4129 là sai ? Tại sao sai?

Ta đã biết trong tập hợp các số tự nhiên , các chữ số thuộc một hàng nào đóphải nguyên dơng , nhỏ hơn hoặc bằng 9 Nếu nó lớn hơn hoặc bằng 10 thì phảichuyển lên hàng đứng trớc nó Với ví dụ ở trên thì 12 là 1 trăm và 2 chục nên 1trăm này phải đợc cộng với 4 trăm => 232 = 529 b) Tính 362 Có ( 3 + 6 )2 = 

Lấy 3 + 8 = 11 chỉ giữ lại 1 chuyển 1 lên hàng trên :

Lấy 1+ 4 + 6 = 11 chỉ giữ lại 1 chuyển 1 lên hàng trên 1+1= 2 Vậy

+ Lấy hiệu của số đó với 25

+ Viết tiếp vào kết quả 2 chữ số cuối cùng của bình phơng của hiệu giữa

Trong trờng hợp này : Nếu bình phơng của hiệu giữa số đó và 50 là số có 3 chữ

số thì phải đem chữ số hàng trăm này cộng lên với chữ số cuối cùng của hiệu trên

Ta lấy 39 + 1 = 40 Rồi viết tiếp 96 vào bên phải số 40

* Với chữ số hàng đơn vị là 0 và 5 thì chỉ có thể là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc

5 bình phơng

* Chữ số hàng đơn vị là 1 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 9 đem bìnhphơng

* Chữ số hàng đơn vị là 4 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 8 đem bìnhphơng

* Chữ số hàng đơn vị là 6 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 đem bìnhphơng

đợc ( 91)

Có 7 2 =14 Vậy 93 98 = 9114

b) Nếu tích của phần bù là một số có một chữ số thì phải viết chữ số 0 đứng trớc nóvào kết quả

Ví dụ : Tính nhẩm 2976 2924

Xét xem hai thừa số có liên quan đến nhau hay không ?

- Cả hai thừa số đều có hai chữ số hàng nghìn , hàng trăm là 29

- Hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của mỗi thừa số có tổng là 100

Vậy nếu đặt a = 29 , b = 76 , c = 24 thì tích trên có dạng nh thế nào? Hãy nêu cáchgiải ?

đây cũng tạo ra hứng thú cho các em tìm hiểu về các con số , về mối liên quangiữa chúng

Ví dụ 2 : Tính 5962 5938

2 Nếu gặp những tổng gồm nhiều số chẵn liên tiếp hoặc lẻ liên tiếp thì lu ý hiệuhai số liên tiếp nhau luôn bằng 2

Ngoài ra muốn tínhxem có bao nhiêu số lẻ ( hay chẵn ) chẳng hạn từ 1 đến 99

có bao nhiêu số lẻ ta làm nh sau :

Ví dụ 1 : Tính nhanh kết quả các biểu thức :

2 2

75 125 150

125

220 780

75 125 150

125

220 780

) 220 780 )(

220 - 780 (

1000 560

) (

g)

21 14 7 + 12 8 4 + 6 4 2 + 3 2 1

42 21 7 + 24 12 4 + 12 6 2 + 6 3 1

.

.

.

.

.

h)

35 21 7 + 20 12 4 + 10 6 2 + 5 3 1

21 14 7 + 12 8 4 + 6 4 2 + 3 2 1

.

.

.

.

.

T×m tßi lêi gi¶i :

a) ¸p dông tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n víi phÐp céng ta cã thÓ viÕt : 36( 143 + 57 ) + 64 ( 143 + 57 ) = ( 143 + 57 ) ( 36 +64 )

= 200 100 = 20 000 b) ¸p dông t¬ng tù a cã 28 101 = 28 ( 100 +1 ) = 2800 + 28

= 2828

c) 491 ( 263 + 57 ) - 491 ( 153 + 67 ) = 491 ( 263 + 57 - 153 - 67 )

= 49 100 d) NhËn xÐt c¸c sè h¹ng trong dÊu ngoÆc :

2004.

=

2003

1928 + 75 1

2003.

=

2003

2003 + 75

21 14 7 + 12 8 4 + 6 4

.

.

.

.

.

.

3 21 14 7 3 12 8 4 3 6 4 2 3 3 2 1

) 21 14 7 12 8 4 6 4 2 3 2 1 ( 3

h) C¸c sè h¹ng ë tö , ë mÉu lµ béi cña nhau :

35 21 7 + 20 12 4 + 10 6 2 + 5 3 1

21 14 7 + 12 8 4 + 6 4 2 + 3 2 1

.

.

.

.

.

= 3

3

7 5 3 1 + 64 5 3 1 + 8 5 3 1 + 5 3 1

7 3 2 1 + 64 3 2 1 + 8 3 2 1 + 3 2 1

.

.

.

.

=

) (

.

.

) (

1

7 + 64 + 8 + 1 3 2

1

=

5 3 1

3 2 1

.

.

=

5

2

Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật

Đây là dạng bài khó với các dãy phân thức có thể rút gọn phân thức , cũng cókhi chứng minh hằng đẳng thức Với dạng này tôi yêu cầu các em nhận xét để tìmmối liên quan giữa các thành phần tham gia phép tính để tìm ra quy luật chunggiữa chúng Qua đó có cách giải cho phù hợp

Ví dụ 1 : Rút gọn các biểu thức sau đây :

1

3 

2 2 4

1

3 

2 2 4

1 3

4

1 4 1

) (

.

.

4 3 2

1 4

) 1 (

5 4

=

n 2

1 + n

1

= 1 -

1 + n

1

=

1 + n

1

1 + n 2

n

Với n  1

b)

3 2 1

1) + 1)n(n - n

1

1) 4n(n 



 1 )( 2 ) (n n

Nhận xét

1 - n 2

2

Đặt A =

3 1

1

(

=> 2A =

3 1

= 1 -

1 + n 2

1

=

1 + n 2

n 2

=> A =

1 + n 2

1

1) + 1)n(n - n

2

Đặt B =

3 2 1

1) + 1)n(n - n

1

(

=> 2B =

3 2 1

2

. + 2 3 4

1) + 1)n(n - n

1

1) + n n

n n

( 2

2 2

=

1) (

) )(

n n

2

2 1

n n

( 4

) 2 )(

1 (

Vế trái bằng vế phải Vậy đẳng thức đợc chứng minh

Dạng 10 : Nhận xét , đề xuất cách giải quyết một số dạng khác ;

Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau :

a)

2004

1 + x

+

2002

3 + x

=

2000

5 + x

+

1998

7 + x

số bằng nhau

+ 1 ) = (

2000

5 + x

+ 1) + (

1998

7 + x

+ 1 )

2004

2005 + x

+

2002

2005 + x

=

2000

2005 + x

+

1998

2005 + x

x

-1) = (

61 1943 -

x

-1 ) + (

62 1942 -

VÝ dô 4 : T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña biÓu thøc :

VËy 2 ch÷ sè tËn cïng cña biÓu thøc A lµ hai ch÷ sè 0

VÝ dô 5 : Chøng tá c¸c sè sau lµ sè nguyªn :

3

2 +

10 94

vµ

9

8 +

10 94

lµ sè nguyªn T¬ng tù ta còng cã 1094 + 8 = 10  08  9

( V× tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 )

93 ch÷ sè 0

Nên

9

8 +

y x





và B = 2 2

2 2

y x

y x



Với x > y > 0 c) A = ( 3 + 1 ) (3 2+ 1 ) (3 4+ 1 ) (3 8 + 1 )( 3 16 + 1) Và B = 3 32- 1

Giải : a) Đặt x = , => B = 2

x

A = ( x - 1) ( x + 1 ) = 2

x -1 Vậy A < B

b) A =

y x

y x





) (

) )(

(

y x

y x y x

2xy y x

y x

y x

y x



= B Vì x > y > 0

C Kết quả thực hiện và bài học kinh nghiệm

Để giúp các em có hứng thú học bộ môn Toán, xây dựng ý thức tự giác trong họctập, củng cố đào sâu suy nghĩ, rèn luyện t duy toán học tôi đã sử dụng và kết hợpnhiều phơng pháp khác nhau trong giảng dạy Với việc sử dụng phép tính nhẩm,phân dạng bài tập, tôi đã giúp các em thấy đợc các bài toán tởng chừng phức tạpnhng nếu biết quan sát, nhận xét sử dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản thì sẽ trởnên dễ dàng hơn Nội dung trong bài viết tôi đã sử dụng trong nhiều năm với nhiềulớp đợc phân công giảng dạy: Qua thực nghiệm đều thấy rằng chất lợng học tậpcủa các em đợc nâng lên rõ rệt Không những các em vận dụng tính nhẩm trongToán mà còn ở cả các môn : Lý, Hoá,… Trong tr Do vậy thi học sinh giỏi của các khối, lớptrờng Kim Nỗ trong nhiều năm gần đây đạt đợc kết quả tơng đối khả quan tỷ lệ họcsinh giỏi Toán đợc nâng lên, ý thức học tập đợc nâng cao, không khí lớp học sôinổi, các em không còn thụ động nghe giảng mà đã chủ động học tập nghiên cứu d-

ới sự dẫn dắt của thầy Sau đây là kết quả cụ thể bộ môn Toán trong một số năm

gần đây :

Nội dung bài viết chỉ là một số thủ pháp áp dụng cho một số dạng bài tập Để

áp dụng nội dung bài viết vào bài học, các em cần nắm vững nội dung kiến thứctoán học cơ bản, có ý thức tự giác học tập, linh hoạt, t duy tốt Đôi khi có nhữngbài toán không theo quy luật nào cả nên không thể áp dụng nội dung bài viết Songvới nội dung đề tài tôi đã nghiên cứu và thực nghiệm đặc biệt là sử dụng phép tínhnhẩm tôi thấy có tác dụng rất nhiều đến việc phát huy trí lực cho các em, là nềntảng giúp các em trở thành nhân tài cho đất nớc

Mỗi phép tính nhẩm đều tạo cho các em một điều mới lạ, giúp các em có hứngthứ đi sâu tìm hiểu môn toán và dần dần thấy toán học là thú vị không khô khan.Toán học là sáng tạo, mới lạ và hấp dẫn Mỗi dạng nhẩm khác nhau đều kích thíchcác em đi sâu tìm hiểu xem còn dạng nào nữa không, rồi các em đố nhau, cùngnhau su tầm, tự tìm ra các giải độc đáo khác Nh vậy chỉ với phép tính nhẩm giáoviên đã thúc đẩy ý thức tự giác học tập trong các em, giúp các em đào sâu suy nghĩsau mỗi bài học, mỗi môn học

Trên đây là một số nội dung đợc tích luỹ và kiểm nghiệm thông qua giảng dạycủa bản thân tôi và anh, chị em trong trờng THCS Kim Nỗ

Những điều nêu trong bài viết cha thể gọi là tổng quát, là duy nhất khi rèn luyện

t duy toán học cho các em cấp II Và trong nội dung bài viết không thể tránh khỏinhững điểm khiếm khuyết Mong đợc sự chỉ giáo của các anh, chị em đồngnghiệp

bộ giáo dục và đào tạotrờng đại học s phạm hà nội 2

-đề tài

rèn luyện kỹ năng tính nhẩm

bài tập nghiên cứu khoa học

thực hiện tại trờng THCS Tiên DơngHuyện Đông Anh thành phố Hà Nội

năm

Trờng ĐHSP Hà nội 2

Phòng đào tạo

Giáo án ( áp dụng cho sinh viên TTSP)

Tên bài:

Tiết Chơng

Tên giáo sinh: Lớp

Tên giáo viên hớng dẫn

Ngày tháng năm

l/ Mục đích yêu cầu: ( Học sinh phải nắm đợc) - Kiến thức: ( Những kiến thức cơ bản học sinh phải nắm )

- Kỹ năng, kỹ xảo cơ bản: ( Phát triển các thao tác t duy, thực hành, thí nghiệm)

- T tởng: ( Bồi dỡng phẩm chất về thế giới quan, nhân sinh quan )

ll/ Phơng pháp , phơng tiện: - Phơng pháp chủ yếu:

- Phơng tiện công cụ: ( Kiến thức liên quan, đồ dùng dạy học, sách tham khảo )

lll/ Tiến trình: 1 ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số: Sơ đồ học sinh

(ghi rõ sĩ số lên góc trái bảng, tên bài dạy giữa bảng ) 2 Kiểm tra bài cũ: (Ghi câu hỏi cụ thể, thời gian thực hiện, dự kiến đối tợng cần kiểm tra, các tình huống cần sử lý )