SKKN Ứng dụng lượng giác trong bài toán Đại số

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀIKhi giải xong một bài toán chúng ta thường đặt ra câu hỏi là còn có phương pháp giải nào khác không?. Từ đó ta tìm tòa hướng giải và rút ra phương pháp giải cho phù hợp

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Khi giải xong một bài toán chúng ta thường đặt ra câu hỏi là còn có phương pháp giải nào khác không? Từ đó ta tìm tòa hướng giải và rút ra phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng học sinh

Trong quá trình giảng dạy và tìm hiểu qua sách báo Tôi rút ra kinh nghiệm ứng dụng lượng giác để giải những phương trình, bất phương trình, hệphương trình đại số và chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức

Những năm qua tôi thường dùng phương pháp này giảng dạy cho học sinh khối 12 ôn luyện thi đại học và nhận thấy đa số các em tiếp thu kiến thức

rất nhẹ nhàng Bài viết này tôi xin trình bày đề tài: “ Ứng dụng lượng giác để giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất_ giá trị nhỏ nhất của hàm số”.Trong các đề thi

tuyển sinh Đại Học, Cao Đẳng của những năm qua ta thấy có bài toán giải được bằng phương pháp lượng giác

Khi biên soạn đề tài bản thân đã có nhiều cố gắng, song không thể tránh khỏi sự thiếu sót, mong nhận được sự góp ý chân tình của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các tài liệu sau của tôi được tốt hơn

Xin chân thành cám ơn!

Ba Tơ, thang 5 năm 2011.

Người thực hiện đề tài

Nguyễn Đăng Khoa

NỘI DUNGI.Cơ Sở Lí Thuyết:

Từ một bài toán: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức đại số, ta chuyển sang giải phương trình, chứng minh đẳng thức, tìm GTLN_ GTNN của biểu thức lưọnggiác thì đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức lượng giác, kĩ thuật biến đổi lượng giác,tính tuần hoàn của các hàm số y= sinx , y= cosx, y= tanx, y=cotx và các tính chất: − 1 ≤ sinx≤ 1 , − 1 ≤ cosx≤ 1 , sin 2 x+ cos 2 x= 1 , ∀x∈R

DẠNG 1: Nếu bài toán chứa:[f(x)]2 +[g(x)]2=1, thì có thể đặt:

g

t x

f

sin ) (

cos ) (

f

t x

g

sin ) (

cos ) (

DẠNG 2: Nếu bài toán chứa: a2 −x2 thì có thể đặt:

= ∈  − 

2

, 2 ,

, sin

|

t

a x DẠNG 4: Nếu bài toán chứa: a2 +x2 thì có thể đặt:

x a

−

+ hoặc

x a

x a

+

− thì có thể đặt: x=acos2t.

DẠNG 6: Nếu bài toán chứa: (x−a)(b−x) thì có thể đặt: x=a+(b-a)sin2t

) ( 1 sin

b t x

x

a t

x

, thay (a) vào (b) ta được:

1 sin

sin cos

−

=

t

t t

) ( 0 cos sin cos

) ( 2 1 0

1 2 2

thoa u

loai u

u u

vậy: sint +cost =1 − 2

2 1 ) 2 1 ( 2

1 1

x x

π

π π

k t

k t

t t

t

4

2 8 )

2 cos(

sin 3 cos

Vì t∈[0 , π ] nên ta chọn được:

4

3 , 8

5 , 8

π π

3 cos ,

2

2 2 8

5 cos ,

2

2 2 8

3

2 9

π π

π π

k t

k t

Vì t∈[0 , π ] nên ta chọn được:

9

7 , 9

5 , 9

π π

5 cos 2 , 9 cos

x x

t t

2 cos sin

2 1 2

cos

⇔

2

1 2 sin

1 2 sin 0

1 2 sin 2

sin

t

t t

t

• Với sin2t = -1⇔t = −π +kπ

4 , vì t ≤π4

nên ta chọn được nghiệm t=−π4

⇒ nghiệm của phương trình là:

π π

k t

k t

12 5

12 2

π π

π ≤ + ≤

2

2 ) 4 cos(

Đặt x=cost, với t∈[ ]0 , π Phương trình thành: 1 − cos 2t+ 2 3 1 − cos 2t =m

m t

⇔ sin 2 3 sin 2 (a)

1/ * Khi t=0 ⇒ x=cos0 =1 ⇒m=0 (thỏa)

* Khi t=π ⇒ x=cosπ=-1 ⇒m=0 (thỏa)

đặt u=3 sint , 0 < u ≤ 1, phương trình (b) thành: u3+2u2 =m (c)

xét hàm số f(u) = u3+2u2 , với 0 < u ≤ 1.

f’(u)=3u2+4u, f’(u)=0

0 4 3

u u

đặt u=3 sint , 0 < u ≤ 1, phương trình (b) thành: u3+2u2 =m (c)

xét hàm số f(u) = u3+2u2 , với 0 < u ≤ 1.

≠ thì có hai giá trị của cost ⇒không thỏa mãn bài toán).

Vậy với m=3 thì phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 7:Cho phương trình: 1 +x+ 8 −x+ ( 1 +x)( 8 −x) =m (7)

1/Giải phương trình khi m=3

t (vì hàm số y=sin2t tuần hoàn có chu kì là

π và là hàm số chẵn nên ta chỉ cần xét trên đoạn

)

Phương trình (7) thành: 9 sin 2t + 9 ( 1 − sin 2t) + 9 sin 2t 9 ( 1 − sin 2t) =m

m t t t

⇔ 3 (sin cos ) 9 sin cos (a)

4 sin(

2 cos

) ( 1

loai u

thoa u

với u=1

2

2 ) 4

=

=

⇔

π π

π

2 2

2

k t

k t

9 3

2 6 9 2

• Chú ý:

Nếu bài toán yêu cầu định m để phương trình có nghiệm duy nhất, thì

điều kiện có nghiệm của phương trình cũng là điều kiện có nghiệm duy

nhất bởi vì khi cost nhận một giá trị thuộc đoạn [1-,1] thì sin 2 t chỉ có duy

π π

t phương trình thành: 3tant 9 ( 1 + tan 2t) ≥ 9 tan 2t− 9

3

1 tan

1 sin 2

1 0

1 sin sin

2 cos

sin sin 1 cos

sin cos

2

2 2

t

3 tan

⇔ t Vậy nghiệm của bất phương trình là: x≥ − 3

Bài 9: Tìm m để bất phương trình: 1 −x2 ≥m−x (9) có nghiệm

Giải:

ĐK: − 1 ≤x≤ 1

Đặt x=cost, với t∈[ ]0 , π Phương trình thành: sint + cost ≥m

m

t+ ≥

4 sin(

Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m

2 ) 4 sin(

=

− +

) 2 ( 4

3

) 1 ( 3 2 3 2

2 2

2 2

y x

y xy x

(Trích đề thi cao đẳng khối A_ năm 2007)

Giải:

3

2 2

2 2

t x

sin 3 2

cos 2

, thay vào phương

3

8 cos sin 3

12 cos

0 sin 3 17 cos sin 36 cos

51 tan

3 17

15 tan

0 3 15 tan 36 tan

3

t

t t

t

* với tant=

3 17

15

−

91 2

17

⇒ t và

91 2

3 5 sint =  , suy ra nghiệm của hệ

y x

* với tant =

3 17

Bài 11: Giải hệ phương trình: (II)

=

−

−

) 2 ( 25

) 1 ( 1

1 log ) ( log 2 2

4 4

1

y x

y x

Với điều kiện trên hệ (II) ⇔

= +

−

25

1

1 log ) ( log 2 2

4

1 4

1

y x

y x

1 1

cos 5

t y

t x

(sint>0 và sint >cost), thay vào phương trình (3) ta được:

( − ) = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = ⇒

25

16 sin

4

3 cot 4

1 cot 1 4

1 sin

1 cos

t t t

4 sin

= + +

) 2 ( 10

) 1 ( 7 2

x

xy y x

(Trích đề thi Cao đẳng _Giao thông vận tải_ năm 2007)

cos 10

t y

t x

thay vào phương trình (1) ta được:

7 cos sin 10 ) sin (cos

10 3

) ( 5

10 2

loai u

thoa u

5

10 2

10

3 cos sin

5

10 2 cos sin

t t

t t

10

3 sin

10

3 cos

10

1 sin

t t t t

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:

Bài 13: CMR:

1/ Nếu x2+y2=1 thì x+ y ≤ 2 (bài tập 20, trang 112 _SGK

Đại số 10 Nâng cao_ NXB Giáo dục).

2/ Nếu x2+y2=1 thì x+ 2y ≤ 5 (bài tập 4.23a, trang 105 _SBT

Đại số 10 Nâng cao_NXB Giáo dục).

t x

2 sin

a

b a

t

(cos sin ) 0 )

9 sin

cos ) sin (cos

8 4t+ 4t − t+ t 4 = + x− x≥ , (hiểnnhiên) vì cos 4t≥ − 1 và − 2 sin 2t≥ − 2

Bài 15: Cho các số thực dương x,y,z

Chứng minh rằng: z(x−z) + z(y−z) ≤ xy

Giải:

Vì x,y>0 suy ra: xy>0, do đó:

xy z

y z z

x

z( − ) + ( − ) ≤ ⇔ ( − ) + ( − ) ≤ 1

xy

z y z xy

z x

1

≤

− +

−

y

z y x

z x

z x

z x y

z

2 2

z

2 2

cos

π

u y

z y

u

y

z u

cos

π

v x

z x v x

z v

khi đó:

y

z y x

z x

z x y

= cosu.sinv + cosv.sinu =sin(u+v)≤1, hiển

nhiên Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 16: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN của biểu

>

1

0 ,

y x

y x

sin 2

2

π

t t y

t x

Ta có:

t

t t

t t

t

2 2 2

2

sin

4 2 sin 4

1 cos sin

1 cos

2 2

2

+ +

+

=

x xy

y xy

≠

1 2

x

y x

cos

π π

t t y

t x

, khi đó, ta

có:

P t

P t P

t t

t t

t t

t

t t

t

4 2 cos 2 2 sin 2

1 2 cos 2 sin 2 1 sin 2 cos

sin

2

cos cos sin

−

−

⇔ +

−

+ +

= + +

x t

t P

Min

y t

x t

t P

Max

2

1 sin

2

1 cos

1 2 sin 2

1

1 sin

0 cos 1

2 cos 1

cos 2

2

π

t t y

t x

t t

t t t

t t

t

t t

t

t t

t

Q

cos sin

) cos sin 1 )(

cos (sin cos

sin

sin cos

cos

sin sin

4 sin(

2

) ( 1

3

2

3

u f u

) 3 ( )

1 ) 4 sin(

2 2

) 2

t x

sin 2

cos 2

t t t

t t

t

P= 4 2 (cos + sin )( 1 − sin cos ) − 6 sin cos

4 sin(

2 6 6 2 6

1 0

) ( '

u

u u

2

13 2

1 , 1 ) 2 ( , 7 )

Vậy: Max P=13/2 và Min P=-7

Bài 20: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=2 CMR: x3y3 (x3 + y3 ) ≤ 2

>

2

0 ,

y x

y x

cos 2 2

2

π

t t y

t x

=

3 3

4

3 1 2 sin 8 sin cos

cos sin 512 ) (

Đặt u=sin22t, ĐK: 0 <u ≤ 1,do đó: K=8u3-6u4 =f(u)

f’(u)=24u2-24u3

f’(u)=0 ⇒u= 1

BBT:

, sin 3 4

cos 3 1

π

t t x

t x

=

4 sin 6 sin

cos

t t

sin 2

Vậy: Max A= 6, Min A= 3

= +

= +

) 3 ( 12

) 2 ( 9

) 1 ( 16 2 2

2 2

yv xu

v u

y x

Tìm nghiệm của hệ để biểu thức P = x+u và F = x.u đạt GTLN

Giải:

Đặt:  = ∈[ ]

=

π

2 , 0 , sin 4

cos 4

a a y

a x

và  = ∈[ ]

=

π

2 , 0 ,

sin 3

cos 3

b b v

b u

thay vào (3) ta được:

12 ) sin sin cos (cos 12

nên suy ra: cos(a-b)=1 khi a=b Do đó:

• P=x+u=4 cosa+ 3 cosa= 7 cosa≤ 7 Vậy

0 2

= a b k a b P

nghiệm của hệ là: x=4,y=0,u=3,v=0

• F=x.u=4 cosa 3 cosa= 12 cos 2a≤ 12

Vậy Max F = 12 ⇔ cosa= ± 1 ⇔a=kπ ⇒a=b= 0, a=b=π và a=b=2 π , suy

ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x=4,y=0,u=3,v=0 và 3,v=0

x=-4,y=0,u=-BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1: Giải các phương trình sau:

4 2 ( ) 2 4 )(

4

2

x x

x x

x

2 1

2 1 2 1

2 1 2

1 2

1

−

+ + +

−

= + +

Bài 2: Định m để phương trình sau có nghiệm:

1/ 2 −x+ 2 +x − (2 −x)(2 +x) =m

2/ x+ 9 −x = −x2 + 9x+m (ĐH Y_ Dược TP.HCM_1997)

3/ 3 +x+ 6 −x+ (6 −x)(3 +x) =m (ĐH Kinh tế TP.HCM_1996)

4/ x+ 4 −x =m

1/Giải phương trình khi m=

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: ( 3 +x)( 7 −x) ≤ x2 − 4x+m có nghiệm đúng với ∀x∈[− 3 , 7]

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:

+

−

=

− +

2 1

log 1

3 1

log

2 1

log 1

3 1

log

2 3

2 2

2 3

2 2

x y

y x

+

= +

2 4 1 3

3 2

2

xy y

=

− +

2 1

2

2 1

2

2

2

x y

y x

y x y

x

y

x

1 3

1 3 3

= +

1 3 6

1 2

2

2

xy y x

P= 2 + + 2 +

Bài 9: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức:

xy y

y

y x x

Bài 12: Cho x2+y2=1 và u2+v2=1

Chứng minh: − 2 ≤ (x− y)(u+v) + (x+ y)(u−v) ≤ 2

Khi dùng phương pháp ứng dụng lượng giác để giải những bài toán trên,

ta nên nhấn mạnh cho học sinh là khi gặp bài toán dạng nào thì dùng được phương pháp lượng giác

Trên đây là một số suy nghĩ của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp đểgiúp học sinh giải tốt các bài toán: Giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nhận xét, đánh giá HĐCM trường THPT Ba Tơ

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Nhận xét, đánh giá HĐCM Sở GD&ĐT Quảng Ngãi ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU