SKKN Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính cần tay

Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử”.. − Một trong những dạng bài tậ

− Mở rộng và nâng cao phần tri thức về MTBT của học sinh đã được học ở tiểu học.

− Phát triển tư duy thuật toán ở HS, hợp lí hoá và tối ưu hoá các thao tác, hỗ trợ đoán nhận kết quả bằng các phép thử, để kiểm tra nhanh kết quả tính toán theo hướng hình thành các phẩm chất của người lao động có kĩ năng tính toán

− Tạo ra môi trường và điều kiện cho hoạt động ngoại khoá toán phong phú ở bậc học THCS và THPT

− “…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc

độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử”

− Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng rãi trong học tập, thi cử Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính toán và những bài tập không thể giải bằng tay

− Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các bài toán về số học vả đại số ” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT đều có cấu trúc chiếm tỉ lệ từ 70% trở lên trong đề Đồng thời cũng là hai môn học cơ bản của toán học

− Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, sử dụng MTCT

để dạy về giải “Một số bài toán về số học và đại số” thì phần lớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa

Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải các bài toán nói chung và về số học và đại số nói riêng một cách thành thạo và chính xác là hết sức cần thiết

− Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan Đặc biệt

là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu hết các tỉnh thành trong

Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán số học, đại

số và các bài toán liện quan khác

Đối với giáo viên:

Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ của MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn.Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng MTCT

Đối với học sinh:

Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về số học và đại số.Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo.

− Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường

− Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện

IV)

CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU :

− Năm học 2009-2010 lại một năm nữa tôi được nhà trường phân công bồi dưỡng đội tuyển học sinh giải toán bằng Bản thân cũng như các đồng nghiệp khác việc bồi dưỡng học sinh giải toán bằng MTCT các cấp là một vấn đề có nhiều trăn trở

và khó khăn Qua trao đổi và học hỏi một số đồng nghiệp như: Thầy Nguyễn Chơn

Bộ, Nguyễn Thành Hưng, Võ Ngọc Phương, Nguyễn Kim Dũng, cô Bùi Thị Anh Thư… Đồng thời thông qua các buổi chuyên đề, bồi dưỡng chuyên môn, thao giảng của ngành tổ chức bản thân đã đúc kết một số kinh nghiệm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp Bản thân hình thành và thực hiện áp dụng đề tài này

từ các lớp học tại trường THCS Phước Hòa

− Học sinh trường THCS Phước Hòa.(học sinh ở các khối lớp)

− Học sinh trường THCS Phước Hòa.(học sinh được lựa chọn ở các khối 8,9 từ 10/2009 đến 11/2009)

− Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Phước Hòa( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009)

− Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Phước Hòa( Từ 10/2010 đến 1/2010)

− Tổng hợp và viết đề tài từ năm tháng 09/2010-11/2010

Phần II: KẾT QUẢ.

A-MÔ TẢ TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC HIỆN TẠI:

− Học sinh không biết giải các bài toán bằng MTCT như thế nào

− Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải chung cho dạng bài tập này

− Trong thực tế khi giảng dạy cho HS một số các bài toán đòi hỏi phải có kĩ năng tính toán hoặc suy luận ở mức độ cao và yêu hoàn thành trong khuôn khổ thời gian hạn hẹp thì phần lớn HS thường có tâm lí căng thẳng hoặc không có hứng thú học tập, bởi lí do là các em ngại tính toán Vì vậy để giúp HS tính toán nhanh và đơn giản hơn và đỡ lãng phí tốn thời gian đồng thời kích thích sự tập trung cao độ của

HS vào việc giải toán ta nên hướng dẫn HS cách sử dụng MTBT hỗ trợ các hoạt

động tính toán trong khi học.

Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Phước Hòa trong năm học 2008 –

2009 khi chưa thực hiện đề tài:

BIẾT SỬ DỤNG MTCT CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT

Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Phước Hòa trong năm học 2009 –

2010 khi thực hiện đề tài qua 1 năm:

BIẾT SỬ DỤNG MTCT CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT

Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Phước Hòa trong năm học 2010 –

2011 khi thực hiện đề tài qua 2 năm:

BIẾT SỬ DỤNG MTCT CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT

- Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng

máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dòng máy

500ES;500VN-Plus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất hiển thị giống như phép toán ở sách giáo khoa

- Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất thông dụng

- Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng MTCT

B.HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG MÁY TÍNH :

I/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC

Ở THCS:

DẠNG 1: TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ:

A b

,

; 7

3-Kiểm tra số nguyên tố:

* Với nguyên tắc mọi số nguyên tố đều là số lẻ

Và một số không chia hết cho thừa số nguyên tố nào là số nguyên tố

Cách 1: (-1)  A

A + 2  A:(Số cần xđ) ÷ A bấm = cho đến số cần dừng, nếu kết quả không là

số nguyên thì số đó không phải là nguyên tố.

Ví dụ: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số?

Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số

nguyên tố.

Ví dụ: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số?

Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là

hợp số.

Bài tập: Số nào sau đây là số nguyên tố: 403; 569; 1361; 1363 (ĐS: 569 và 1361)

DẠNG 2: TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA CỦA SỐ A CHO SỐ B.

1-Đối với số bị chia tối đa 10 chữ số:

VD : Tìm số dư của phép chia 9124565217 ÷ 123456

Ta có : 9124565217 ÷ 123456 = 73909,………

Tiếp theo ta ấn 9124565217 – 123456 × 73909 = 55713

Vậy R = 55713

2- khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số :

Nếu số bị chia A là số bình thường lớn hơn 10 chữ số Ta ngắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số ( kể từ bân trái ) Ta tìm số dư như phần a) rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai Nếu còn nữa thì liên tiếp như vậy.

VD: Tìm dư trong phép chia 2345678901234 ÷ 4567

3- Tìm số dư của số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn:

ta dùng phép đồng dư theo công thức sau :

* Khi sử dụng máy tính cần chú ý: khi thực hiện phép tính mà máy hiện kết quả là một số

đủ 10 chữ số ( số nguyên ) thì phải lưu ý đó có thể là 10 chữ số của phần nguyên còn phần lẻ thập phân bị làm tròn số

DẠNG 3: TÌM ƯCLN, BCNN CỦA HAI SỐ:

A Phương pháp giải toán

Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của hai số nguyên dương A và B (A < B).

Thuật toán: Xét thương AB Nếu:

1 Thương BA cho ra kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc cho ra kết quả dưới dạng số thập phân mà có thể đưa về dạng phân số tối giản ba (a b là các số nguyên dương) thì:

ƯCLN(A, B) = A:a = B:b; BCNN(A, B) = A.b = B.a

2 Thương A

B cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng phân số tối

giản thì ta làm như sau: Tìm số dư của phép chia A

B Giả sử số dư đó là R (R là số nguyên dương nhỏ hơn A ) thì:

ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, R) ( Chú ý: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, B))

Đến đây ta quay về giải bài toán tìm ƯCLN của hai số A và R

Tiếp tục xét thương R

A và làm theo từng bước như đã nêu trên.

Sau khi tìm được ƯCLN(A, B), ta tìm BCNN(A, B) bằng cách áp dụng đẳng thức: ƯCLN(A.B).BCNN(A, B) = A.B => BCNN(A, B) = UCLN(A, B)A.B

Bài toán 2: Tìm ƯCLN và BCNN của ba số nguyên dương A, B và C.

Ta cũng không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được Ta tiếp tục

tìm số dư của phép chia: 3995649

3872428 Số dư tìm được là 123221 Suy ra:

Vậy số lớn nhất có dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 là 1929354

Tương tự số nhỏ nhất có dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 là 1020334

DẠNG 5: TÌM CẶP NGHIỆM (x;y) NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN PHƯƠNG

1 Tìm cặp số (x;y) nguyên dương sao cho x2= 47y2+1 KQ: x= 48; y= 7

2 Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thỏa mãn phương trình 4x3 + 17(2x-y)2 = 161312

DẠNG 6: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN – SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẨN HOÀN

VD : phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau :

a, 0,123123123123 = 0, (123) đó là số 123

999

b, 4,353535353535 = 4, (35) đó là 4 35

99 +

⇒ chữ số thứ 105 trong phần thập phân của kết quả phép chia 17÷ 13 là số 7

VD : tìm n∈N nhỏ nhất sao cho n có ba chữ số biết n121 có 5 chữ số đầu đều là chữ số 3

Ta không thể dùng máy tính bỏ túi để tính n121

Nhưng ta có 123121 , 12 × 3121 , 1 × 23121 có các chữ số giống nhau ⇒ ta tính :

1× 00121 =1

1 × 01121 = 3,333390164

⇒ n = 101

DẠNG 7: LÀM TRÒN SỐ Máy có hai cách làm tròn số:

Làm tròn số để đọc ( máy vẫn lưu trong bộ nhớ đến 12 chữ số để tính toán cho các bài toán sau ) ở NORM hay FIXn

Làm tròn và giữ luôn kết quả số đã làm tròn cho các bài toán tính sau ở FIX và RnD

II/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Ở THCS:

DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC:

1.1.TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ:

VD : Tính :

a, A =

80808080 91919191 343

1 49

1 7

1 1

27

2 9

2 3

2 2 : 343

4 49

4 7

4

4

27

1 9

1 3

1 1

−

+ + +

−

+ + +

Đối với bài tập dạng này thì trước khi tính chúng ta phải rút gọn biểu thức rồi mới tính biểu thức như bình thường

,

0

5 , 2 : 15 , 0 : 9 , 0 4 , 0 :

+

−

− +

1.2 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA BIẾN

Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp bằng nút Ans

VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x2 -11x – 2006 tại

Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1 997)

Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:

Rồi dùng phím # để tìm lại biểu thức, ấn = để nhận kết quả (Ghi kết quả là -1 904)

Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c) 19951

2

− ; d) -2006,899966).

Ta có thể sử dụng phím Ans: 1 = 20Ans 2 – 11Ans – 2006 =

VD2: Tính giá trị của biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y -

Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:

Dùng phím # # để tìm lại biểu thức, ấn = để nhận kết quả (Ghi kết quả là

1.3 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ

Phương pháp: Tính từ dưới lên hoặc tính từ trên xuống.

Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số

0 1

n 1 n

a − + 1 a a = a − + 1 a Ans = a + 1 a Ans =

Ví dụ: Viết A ra phân số thường và số thập phân

5 3

4 2

5 2

4 2

5 2 3

A= +

+

+

+ +

Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học

sử dụng để giải nhiều bài toán khó

Bài toán: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b,

phân số ab có thể viết dưới dạng:

a

−

+

+ Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới

dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn [a ,a , ,a 0 1 n] Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số

1

A

a b

+ + +

= =

+ +

Ghi vào màn hình: 329 1051 và ấn =

ấn tiếp x−1 = (máy hiện 3 64 329)

ấn tiếp − =3 (máy hiện 64 329)

ấn tiếp x−1 = (máy hiện 5 9 64)

ấn tiếp − =5 (máy hiện 9 64)

ấn tiếp x−1 = (máy hiện 7 1 9) KQ: a=7; b=9

1

a b

4/ Tính C =

1 5

1 1

1 3

1 1 4

− +

+ + +

1 3

1 8

1 a b

= +

+ + + + +

(a = 2 ; b =

7)

DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ghi nhớ: Trước khi thực hiện giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dưới dạng

chính tắc để khi đưa các hệ số vào máy không bị nhầm lẫn

Dạng 3.1 Giải phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a≠0) 2

3.1.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy

Ấn MODE MODE 1 > 2 nhập các hệ số a, b, c vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím

= giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính

Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0 Giải

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

MODE MODE 1 > 2

1 85432 = − 3 321458 = − 2 45971 = x1 = 2.308233881 = x2 = -0.574671173

Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện

R ⇔ I thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải Nếu có một nghiệm thực thì phương trình có nghiệm kép, cả hai nghiệm đều là nghiệm phức coi như phương trình

2a

−

=

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0

Chú ý:  Nếu đề bài không yêu cầu nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải.

 Hạn chế không nên tính ∆trước khi tính các nghiệm x1, x2 vì nếu vậy sẽ dẫn đến sai số xuất hiện trong biến nhớ ∆ sau 10 chữ số làm cho sai số các nghiệm sẽ lớn hơn

 Dạng toán này thường rất ít xuất hiện trực tiếp trong các kỳ thi gần đây mà chủ yếu dưới dạng các bài toán lập phương trình, tìm nghiệm nguyên, chứng minh nghiệm đa thức, xác định khoản chứa nghiệm thực của đa thức, … Cần nắm vững công thức nghiệm

và Định lí Viét để kết hợp với máy tính giải các bài toán biến thể của dạng này

Dạng 3.2 Giải phương trình bậc ba ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a≠0)

3.2.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy

Ấn MODE MODE 1 > 3 nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính

Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân

Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện

R ⇔ I thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải

3.2.2: Giải theo công thức nghiệm

Ta có thể sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, hoặc sử dụng sơ

đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc 3 thành tích phương trình bậc 2 và bậc nhất, khi đó

ta giải phương trình tích theo các công thức nghiệm đã biết

Chú ý:  Nếu đề bài không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải.

Dạng 3.3 Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Ấn MODE MODE 1 2 nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính

Ví dụ: (Thi vô địch toán Flanders, 1998)

Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình 16751x 83249y 4171583249x 16751y 108249++ ==

Giải theo chương trình cài sẵn trên máy

Ấn MODE MODE 1 3 nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính

Ví dụ: Giải hệ phương trình

3x y 2z 30 2x 3y z 30

số là những số lẻ

Bài tập tổng hợp

Bài 1: Giải các phương trình:

1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0