Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán. Tìa liệu được sưu tầm trên mạng. chỉ mang tính chất tham khảo. Giúp ích cho các bạn học sinh và các thầy cô....................................................
Trang 1Phong GD & DT Dong son Dé thi hoc sinh gidi lép 9 (Bang A)
Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút.)
Bài ï: Cho biêu thức: A = |(—+—) + (=+—):
\é yxty+2ly Qx+jp là Dy xy xy
a, Rut gon biéu thirc A
b, Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 +5 ;y =3 - V5
(Tương tự bài 53-"23 chuyên đê giải 1001 bài toản sơ cấp ")
Bai 3: Giai phong trinh : (4x — 1) Vx? + 7= 2(x*+1) + 2x -1
(Bai 16 -trang 11-"Phuong trinh va hệ phương trình không mẫu mực ")
Bai 4: Giai hệ phương trình sau:
x-y+vx = Jy x+yt18/xy = 4Vx +3,/y +13
(Đề sáng tác)
Bai 5: Cho 3 sé x,y,z thoa man x + y +z=3 va xty +z =3xyz Hay tinh gia tri của
bigu thire ~M =x20% + 2006 , 72006
(Đề sảng tác ) Bài 6: Cho Parabol (P) có phương trình y = x” và điểm A(3;0) ; Điểm M thuộc (P) có hoành độ a
a) Xác định a để đoạn thắng AM có độ dài ngắn nhất
b) Chứng minh răng khi AM ngắn nhất thì đường thắng AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại điểm M
(Bài 579-"23 chuyên đê giải 1001 bài toản sơ cấp")
Bài 7 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xÌ+ x”+x +1 = 2003
(Đề sảng tác)
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông ở A I là trung điểm của cạnh BC, D là một điểm bất
kỳ trên cạnh BC Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB, AC theo
thứ tự tại E và F
a) Chứng minh rằng: 5 điểm A,E,LD,F cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rang: AE.AC = AF.AB
c) Cho AC =b; AB =c Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AEF theo b, c
(_ Đề sảng tác) Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A Một điểm P di động trên BC Qua P vẽ PQ//AC (QeAB) và PR//AB (ReAC) Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR
(Bài 1000 -"23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp")
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Mon: Toán
Trang 2xy.lxt ly)? @x+-jy)*2lxajy) ` Ýx~jy
Trang 3© x'y + y2” +x7z” > xyz (x ty +z)
Trang 4
a)Ta có : A (3;0) và M(a; a” ) do đó :
AM = (a— 3” +(a” — 0) =a' ta —6a+9
=(a -2a” +1 )+3 (aˆ— 2a +1 )+5
=(a -I+3(a-L +5 > §5
=> AM > v5
=Mn AM=vs khi và chỉ khi a= I
b) Theo câu a : AM có độ dài ngắn nhất > a= 1 ,Khi đó M(1;1)
Do đó phương trình đường thẳng AM là: y = - * +5
(do A(3;0)) (c) Gọi phương trình đường thắng đi qua điểm M (1;1) và tiếp xúc với ( P) tại
điểm M 1a (d): y=ax +b tacéd :a.l1 +b=1 (12)
(Do M(1;1) € (d))
va phuong trinh ; x? =ax +b có nghiệm kép (13) (do (đ) tiếp xúc với (P) )
Ma:x =axtb © x’-(ax+b)=0 (14)
Phuong trinh (14) c6 = (-a)*—4.1.(-b) =a? + 4b
+)Nhận thây (0:0) là nghiệm nguyên của phương trình :
+) Với y< 0ta có : 2003” ¢ Z ma x° +x*+x+1 €Z
(Với x e Z) = Phương trình (16) không có nghiệm nguyên thỏa mãn y <
Trang 5= phương trình (16) cũng không có nghiệm nguyên thỏa mản y > 0
Vậy : Phương trình có nghiệm nguyên duy nhat ( 0; 0)
a) Taco: E la giao diém
của 2 đường trung trực
của 2 cạnh AD,AB
Nên E là tâm đường tròn
ngoại tiêp 4ABD
= ẤED + ẤFD =2 (B+€) =I80° = AEDFNội tiếp (17)
Lại có : AI= „ BC =BI = A ABC cân tại I X
=> 6ÀT= 8 =ÁÌD =ZB =- Ấïb+ẤFD = 1809 05
Từ (17);(18) = 5 điêm A,E,I,D, F cùng thuộc đường tròn
b)Ta có EF là đường trung trực của AD nên : AE = ED ; EA =EFD
Trang 6Nên diện tích A AEF là S$ = AE.AF = 2S=k’be (19)
Mặt khác S = „ AM.EE œ 28 =AM EF © 482 = AM? EF”
(Của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )
b) Phân đảo
Lẫy điểm D' thuộc cung BÁC ( D #B, C), Goi Q la giao điềm của AB với
đường trung trực của DB; ; qua Q kẻ QP // AC quaP kéPR // AB ta co
QR là đường trung trực của D P
Vay qũy tích các điểm D là cung BAC của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Trang 7PHONG GIAO DUC VA DAO TAO THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS HUYỆN DIỄN KHÁNH NĂM HỌC 2011-2012
Cho tứ giác lồi ABCD có độ dài các đường chéo là AC=8, BD =6 Chimg minh rằng
tồn tại một cạnh của tứ giác có độ dài không nhỏ hơn 5
Đề thi này có 01 trang;
Giám thị không giải thích gì thêm
SBD: / Phòng : Giám thị l : Giảm thị 2 :
Trang 8HUONG DAN CHAM THI CHON HOC SINH GIOLTOAN - NAM HOC 2011-2012
Á Hướng dẫn chung
1 Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang:
2 Mọi cách giải đúng đều cho điểm tôi đa phần tương ứng:
3 Hình vẽ các bài 5, 6 không chấm điểm
Kết hợp điêu kiện ta được 0< x < 4 0.5
Tìm niá trị nguyên của x dé M có giá trị nguyên, \ 1,ãđiểm
M las6 nguyén <> yx +3 1a ude sé duong ctia 5 (Vx +3 > 0) „
©xx+3=l;5 =x=4 (thỏa mãn điều kiện) aq
Trang 9HƯỚNG DẪN CHÁM THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN - NAM HOC 2011-2012
Tìm tât cả các cặp sô nguyên (x; y) thỏa mãn (x +1)(x +y )= 4xy 3điểm
Ta có (x? +1)(x? +?) =4x'y ©x!+x'y°+x” ty’ —4x’y =0 0.5
Vậy các cặp số nguyên nghiệm đúng phương trình là (0;0), (1;1), (—1;1) 0.5
Định vị trí của điểm M để MA.BC+ MBCA +MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất
Gọi I là giao đêm của AM và BC; D, E lần lượt là hình chiêu vuông góc của B, C
trên AM, Ta có BD < BI, CE <IC um
Ta có MA.BC > MA(BD +CE) = MABD+MACE = 2(Syaz +Sxac) 0.5
Tương tự ta có MB.CA >2(S„e + +8u„;} và MC.AB> 2(Srsc + Sane ) 0.5)
Suy ra MA.BC+MB.CA +MC.ÁB > Á(Suag +Š„c +Šac)= 4S,„c (không đổi) | 05 Ding thức xảy ra œ MA L BC, MB.L AC,MC L AB © M là trực tâm AABC nã
Vậy khi M là trực tâm AABC thì MA.BC+ MB.CA +MC.AB nhỏ nhất
uname AY
Trang 10HƯỚNG DẪN CHÁM THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN - NĂM HỌC 2011-2012
Gọi M là trung điểm của BD Ta có MA +MC < AC =8, do đó tôn tại một trong
hai đoạn MA hoặc MC không nhỏ hơn 4 Chẳng hạn MC > 4
Mặt khác, CMB+CMD =180° nên tổn tại một trong hai góc có số đo không nhỏ L0
Goi H là hình chiếu vuông góc của C trén BD Do GMD > 90° nén M nim trong
Trang 11a/ Chứng minh răng >ab`+a`b— da b”
b/ Cho hai số dương a,b và a=5-b
b)Chứng minh tam giác ABE cân
c)Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G Chứng minh rằng: GB HD
Trang 12© (a' —2a°b +-.a’b’) + (b* —2ab’ + a’b’) 0,25 d
Trang 13Đề y nguyên thì x-3 phải là ước của 5 0,25 đ
Câu 6 (3 diém)
a) (1đ điểm)
Tam giác ADC và tam giác
CD cá vì hai tam giác
CE CB
CAB dong dang)
Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) 0,25 đ
b)(1 điểm) Theo cau ta suy ra: ZBEC = ZADC
có: ZADC = ZEDC + ZADE = 135°
Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vuông có một góc bằng 45°) 0,25 d
c)(1 điểm)
Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC
BEC: CDE va
Trang 14
2 Tim gia tri nguyén cua x dé biéu thức M nhận giả trị là sô nguyên
b) Tính giá trị của biêu thức P
a/ Cho hai sô dương x, y thoả mãn x + y = l
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = G + 7 ( y? ra]
P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thắng AE và AE
1 Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thang OA
2 Goi a la s6 do cua goc BFE Hai duong kinh AB va CD thoa man diéu kién gi thi biểu thức P = sin” ø + cos” # Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó
, BE’ _ CE BF*> DF’
3 Chứng minh các hệ thức sau: CE.DE.EE = CD” và
Trang 15Câu 5: (1 điểm)
Tim neN sao cho: n*+n*+1 1a s6 chinh phuong
- Hét -
Luu y: Can b6 coi thi không giải thích gì thêm!
PHONG GD&DT THANH HUONG DAN CHAM THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn: Toán Câu 1: (6 điểm)
.Ax+1=3<>xx=2«>x=4 (không TMĐK (*) loai ) (0,254)
Vay x = 0 thi M nhận giá trỊ nguyên
b
= 64223 —yv0-+2V3 + 18-82 - V3
Trang 16Có 18-82 = (4-2)? =|4-V2|=4-v2
(1) @& (y+ 1)(y-1)-24=0
©®y ˆ-25=0
& (x°+9x+24)(x?+9x+14)=0
© (x+2)\(x+7)(œ?+9x+24) =0
Chứng tỏ x” +9x+ 24 > 0 Vậy nghiệm của phương trình : x =-2;x =—7
b Ta có 2x-x” -1=-(x°-2x+1)=-(x-1)” <0
pt tro thanh : 2x-x? -l=x?-2x+1
oO x=1 Câu 3: (4 điểm)
a Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1
(0,754)
0,25 d 0,25 d 0,5 d 0,5 d 0,25 d 0,5 d 0,5 d
0,25 d 0,25 d 0,5 d 0,25 d
2ä
0,5
Trang 17
3x+3y+2z 3x+2y+3z 2x+3y+3z 16\ x+y x4+zZ y+z
Trang 18BA là đường cao của tam giác BPQ suy ra H thuộc BA
Nối OE, A BEE vuông tại B; BA L EF nên AB? = AE AF 0,75
AB AF 1,5 1,, OA AQ
VayAAEOU AABQ(c.g.c) Suy ra 4BQO=4EO ma 4BO =P (géc c6 cdc
cạnh tương ứng vuông góc) nên EO = P , mà hai góc déng vi => PH // OE 0.254 Trong A AEO có PE =PA (giả thiết); PH// OE suy ra H là trung điểm của OA
2 Ta cã:
P=sin® a+cos’ a = (sin? ar) + (co s” a)
P= (sin? a+cos’ z)| sin" a—sin’ acos’ a+cos* a| 0,75đ P= (sin? œ +cos” a) —3sin” acos’ a=1-3sin’ acos’ a
Trang 19=l<>/gø =1 <> ø =45"
gãc nhãn) ==
COS #
Khi đó CD vuông góc với AB
3 Ta có A ACB và A ADB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên
b) Tinh giá trị của P tại a=(2+3)(V3 -1)V2-3
Câu 2 (1.5 diém).Giai phuong trinh: 4x —2Vx—1—Jx—1=1
Câu 3 (2.5 điển) Cho x, y là các số dương
a) Chứng minh: “+ >2,
y x
Trang 20b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = “+ ”+-„ =>
y x x 4+ y?
Câu 4 (3.0 điển) Cho điểm M năm trên nửa đường tròn tâm Ó đường kính 4B = 2Ñ
(Ä⁄ không trùng với 4 và 8) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thắng 4B, kẻ tiếp tuyến 4x Đường thẳng B1 cất Ax tai J; tia phan gidc cha FAM cat nửa đường tròn O tai E, cắt JB tại F; đường thắng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K
a) Chứng minh 4 điểm Ƒ, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh HF L BI
c) Xác định vị trí của Ä⁄ trên nửa đường tròn Ó để chu vi A4A4B đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R2
Câu 5 (1.0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y biết rang:
*Ghi chú: 7í sinh không được sử dụng tài liệu
Môn: TOÁN ĐÁP ÁN,
a| _ (Va+1) -(Va-1) +4Va(a-1) g-]
Trang 22
Vay 4 diém F, E, K, Mcung nam trén duong tron duong kinh FK 0.25
Ta có AHJAK cân tại 4 nên 4H = 4K (1) 0.25
Ẩ là trực tâm của A4#ð nên ta có #K L 4 suy raFK /AH (2) 0.25
b | Do đó FAH =4FK ma FAH = F4K (g0 cho nên AFK = FAK 0.25
Suy ra AK = KF, két hop voi (1) ta được 4H = KF (3) 0.25
Từ (2) và (3) ta có AKFA 1a hình bình hành nên HF’ // AK Mà
Chu vi cla AAMB = C4, = MA+ MB + AB 16n nhat khi chỉ khi
Ap dung bat dang thirc (a+b) < 2(a’ +? ) dẫu "=" xảy ra
©>a=ö, ta có (MA + MB)” <2(MA? + MB?) =2 AB? 0.25
© | Nén M4 + A⁄B đạt giá trị lớn nhất bằng 4B^/2 khi và chỉ khi
Vay khi Mnam chính giữa cung 4ð thì C, „„ đạt giá trị lớn nhất
Khi đó
Cu = MA+ MB + AB = ABV2 + AB =(1+V2)4B =2R(1+V2) | 923 Đặt 4=(2* +1)(2' +2)(2' +3)(2” +4), ta có 2*.4 là tích của 5 số
tự nhiên liên tiếp nên 2” 4 chia hết cho 5 Nhưng 2" không chia hết 025
cho 5, do đó A chia hết cho 5
Nếu y>1, ta có (2*+1)(2'+2)(2'+3)(2'+4)—5” chia hết cho 5
mà 11879 không chia hết cho 5 nên y >1 không thỏa mãn, suy ra
a) Rut gon A b) Tim x để A nhận giá trị nhỏ nhất
Bài 2:(2điểm): Giải hệ phương trình:
Trang 23„+
200
*x+.ly+2007 =^/2007
Bài 3 : (3điểm): Giải phương trình: 4/2x—3+^j5—2x =3x? —12x+14
Bai 4: (3diém): Cho x>0,y>0 và x+y=4
Bài 6: (3 điểm) Cho A48C ( AB = AC) Đường cao AH, kẻ HE vuông góc với AC, gọi
O là trung điểm của EH Chứng minh: AO L BE
Bài7:(3điểm) Cho A4øC Có AB=c, AC =b, BC=a
Chimg minh rang: Sin - Sin 5, Sin c < 1
Thời gian làm bài : 150 phut
Trang 24I + Ta có NI là đường trung bình của ABMA
(P = NI// AB va NI= ~ AB
diém
Trang 25— [1a truc tam cla ABCN => CI BN (1) 0.5 diém
Trang 26> BE+CF < BD+CD=a 0.5 diém
AABE (#= 1v) = BE = AB SinA¡ =c sinS 0.5 điểm
AACF (#= 1V) = CF = AC SinA¿ =b sin 0.5 diém
2fe fe fe fe fe fe fe fe fe fe fe 2fe aft ft ft 2s fe fe fe afc okt afc afc oft fe fe fe fe afc afc afc oft oft okt okt ok
CAP HUYEN
TRUONG THCS HANH MINH Mén: Todn — Nam hoc: 2013- 2014
ĐẺ:
Bài 1: (6,0 điểm)
a) Với n là sô nguyên dương Hãy tìm ƯCLN(21n+4, 14n+3)
b) Cho a, b, c là các sô nguyên sao cho 2a + b; 2b + c; 2c + a là các số chính phương, biết rằng trong ba số chính phương nói trên có một số chia hết cho 3
Chứng minh rằng: (a - b)(b - e)(c - a) chia hết cho 27
c) Tim nghiệm nguyên của phương trình: x” + yˆ = xy + x +y
Bài 2: (3,0 điểm)
a)Tính giá trị của biểu thức P=, |+20z "- 8
2014 2014 b) Giải phương trình: /x—7 +49—-x =x”—-16x+66
AB va AC sao cho BOE =60°
a) Chứng minh MI + MP + MQ không đổi
b) Chứng minh rằng đường thắng DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cỗ định
Trang 27c) Xác định vị trí của các điểm D va E dé dién tich tam gidc DOE đạt giá trị nhỏ nhất
và tính giá trị nhỏ nhât đó theo a
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết rang AB = CH
5-1
Ching minh rang: cosB = =
NAUP AUN NEA THI HOIC SINH GIOUI CAAP HUYEN
Bai 1: | a) Dat d = UCLN(21n+4 , 14n+3), voine N’) Taco:
Vì trong các số mĩ n’; p có một số chia hết cho 3 nên không
mất tính tổng quát có thê giả sử m” chia hết cho 3 (1)
Ta lại có m” + n + p =3a+ 3b +3c chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra nˆ +pˆ chia hết cho 3 Dễ thấy n và p đều chia hết cho 3
Do đó 2a + b; 2b + c; 2c + a đều chia hết cho 3
Từ đó suy ra a, b, c đều chia hết cho 3
Vậy (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27
Trang 28
Khi 41=x-7 ox=8 (thod man diéu kién)
1=9-x vay x = 8 là nghiệm của phương trình 0.54