Giáo trình hàm số biến số PHỨC

TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY Tích phân loại Cauchy nói lên rằng giá trị tại một điểm zo € D của hàm giải tích phụ thuộc vào giá trị trên biên.. trơn ¿ thì tích phân loại Cauchy là một hàm giải

Chương 4

LI THUYET TICH PHAN

41 TICH PHAN CUA HAM SO BIEN SỐ PHUC

1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Định nghĩa Cho +y là đường cong Jordan, trơn từng khúc với

hai đầu mút a.6 Trên + cho hàm sé f(z) Chia + thành n phần bởi

các điểm chia œ = z.zs Zn+) = b (các điểm chia được cho theo chiều tăng của tham số) trên mỗi cung zzzz+¡ lấy điểm (œ bất kì

(k =L.2, m + 1)

Lập tổng:

k=l

Sn goi la tong tich phan

Nếu giới hạn của tổng tích phân trên ton tat khi d = mar \znqa—

z„| dần về 0, không phụ thuộc vào cách chia đường cong + và cách

chọn C thì giới hạn đó được gợi là tích phân cửa hàm f(z) doc theo

đường cong ^ Kí hiệu:

| Trà = fim f(G) 6i — z0 (2)

Sự tồn tại của tích phân trên tương đương với sự tồn tại của tích phân của bai hàm số biến số thực

That vay, dat:

f(z) = ula y) + to(7, y)) ze = oe + yk:

Aze = 2r41 — 2 = Ary + iAyn:

Ch = Ex + ings un = ulEns Mei ve = v(EK Mk)

71

Khi đó (1) có thể viết dưới dạng:

Sn = Ð (My + #k)(Azk + 2A1)

k=1

+

Sy = So (ur Aze — UygAx) +2 (uyAx + 0uAzk) (3)

vế phải cửa (3) là tổng tích phân của các tích phân đường loại hai

tương ứng Sự tồn tại lim Sn, kéo theo sự tồn tại của các tổng tích

phân ở vế phải và ta có:

[fea = [vas — ody + if udy + ude (4)

Bay giờ nếu ta xem đường cong + cho dưới dạng tham số, thì hàm

f(z) được biểu diễn dưới dạng hàm số phức của biến số thực

trong d6 z(t) = y(t) vai y(a) = a va +(Ø) = b

72

[re [ (ade + 5 sa (2S - Gaz) = 1 xở+ =

2) Tinh tich phan sau f 22 với + là đường tròn tâm a bán kính

3) Giá sử +ị +: là hai đường cong Jordan trơn, sao cho +k(£) xác định trên [œy, đ¿|, (k = 1,2) và đi = ă¿ Khi đó với y = +ị U22, ta có:

[e0 = [ toa: + [ reia:

4) Đối với hàm f bất kì, liên tục trên + trơn, ta luôn luôn có

HH < J 242):

trong đó |dz| = dr? + dy? la vi phan cung

§2 TICH PHAN CAUCHY

2.1 Bổ đề Goursat

Nếu w = f(z) la hàm liên tục trên miền đơn liên D va + là đường

cong Jordan, tron, kin chứa trong D thì với mọi e > 0 cho trước, tồn

tại đa giác P CD có các đỉnh nằm trên + sao cho

J ƒ(z)dz “J ƒ(z)dz| < s

trong đó ØP là biên của đa giác P

Chứng minh Gọi Dị là miền sao cho y+C Đị CD và ¡ là độ

dài cung của + Do ƒ liên tục trên y nên ƒ liên tục đều trên DỊ

nghĩa là: với mọi e > 0, tồn tại ổ > 0 sao cho véi moi 21.22 € Dy ma

|z1 — z2| < 6 kéo theo | f(z1) — f(z2)l < §

Chia đường cong + thành n cung nhỏ +g(k = 1,2, ,n) béi các điểm chia zq, z2, , z„ sao cho đ(+x) < 6, < 6, trong dé đ(+x) là đường kính của + nghĩa là

d(+) = maz |z — z]; z,Z €^k

74

ồi là số được chọn sao cho Ð CD (P là đa giác với các đỉnh là

nĩi chung phụ thuộc vào dạng đường cong + nổi hai diém (zy, yy) va

(Zi.i)- Tuy nhiên khi cho P(z,y) va Q(x, y) thém một số điều kiện

nào đĩ thì (9) chỉ phụ thuộc vào (Zo, ò) và (#i.0ì) mà khơng phụ

thuộc vào đạng của đường cong +

Điều kiện đĩ là: các hàm P.Q phải cĩ các đạo hàm riêng cấp một, liên tục và các đạo hàm đĩ phải thoả mãn hệ thức:

8P 0Q

—— =_—~, với mọi (z,)€ By > Oa i (a, Y) DC RẺ

Bay giờ đối với hàm số biến số phức, ta xét xem với điều kiện nào của ham f(z) thi f f(z)dz khơng phụ thuộc vào dạng của đường

Định lí Cauchy Giả sử hàm ƒ(z) giải tích trong miền đơn liên,

hữu hạn 2 Khi đó với mọi đường cong đordan, trơn (hoặc trơn từng khúc), kín + chứa trong D, ta có:

ˆ lo =0, Chứng mình Giả sử + là biên của tam giác A, ta chứng minh:

Tre = 0

Hinh 6 Dat

Từ bất đẳng thức trên, suy ra tồn tại một tam giác mà ta kí hiệu

f(z) — f(20) ~ Ÿ (zo)(z — zo) = (z — za)a(2),

Mat khac, voi n dij lon ta luôn luôn có:

Nếu + là biên của một đa giác ,P thì ta chia đa giác đó thành các

hình tam giác và do tính định hướng của các biên cửa các tam giác, ta,

trong đó + là biên của tam giác

Nếu + là đường cong kín bất kì, thì dùng bé dé Goursat, ta được:

2.3 Dinh lí Cauchy mở rộng trên biên

Nếu ƒ{(z) là hàm giải tích trên miền đơn liên hữu hạn Ð và liên tục trên biên của miền D, thì ƒ ƒ(z)đz =0

3D

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta gid sử miền D có

tinh chat: Ton tại điểm zo € D sao cho mọi tia xuất phát từ điểm zụ

78

chỉ cất biên của Ð tại một điểm Và ta có thể giả sử zo = 0 Khi đó

Vi f(z) lién tue trén D = DU OD nên nó liên tục đều trên đó,

nghĩa là: với mọi € > 0, ton tai 6 > 0 sao-cho vai moi z.¢ € Doma

l‡—€j<ổ tacd |ƒ(z) - ƒ(@)| < T Suy ra

2.4 Định lí Cauchy cho miền đa liên

Giả sử ƒ(z) giải tích trên miền D hữu hạn, đa liên với biên là

+ = ToUnU Ưyu và ƒ(2) liên tục trên Ð = yUD Khi đó, ƒ(z)dz = 0

Chứng minh Để đơn giản mà không mất tính tổng quát, ta đưa

về trường hợp miền nhị liên với biên là y = yo Uy,

ZY

Y

0 Hình 8 Nối +q với + bởi đoạn Ì Khi đó trên miền D* = DÀI hàm f(z) thoa mãn điều kiện của định lí Cauchy suy rộng trên biên, nên:

/ f(z)dz =0, trong dé OD" = yo Ult Uy UIT

2.5 Công thức tích phân Cauchy

Định lí Giả sử ƒ(z) giải tích trong miền hữu hạn đơn liên D và

zo € D, con + là đường cong Jordan, trơn, kín bất ki bao quanh zg va

nằm trong D Khi đó ta có công thức tích phân Cauchy

Do ham f giải tích tại zọ, nên:

han

dC = 0

82

§3 TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY

Tích phân loại Cauchy nói lên rằng giá trị tại một điểm zo € D của hàm giải tích phụ thuộc vào giá trị trên biên Tuy nhiên hàm f(z)

không đồi hỏi giải tích trên biên mà chỉ cần liên tục mà thôi Vì vậy

vấn đề tự nhiên được đặt ra là phải nghiên cứu tính chất của hàm xác định bởi hệ thức sau:

— #() ac

trong dé | la dong cong Jordan, trơn (hoặc trơn từng khúc).œ là hàm

liên tục trên / Hàm Ƒ(z) xác định bởi (12) gọi là tích phân loại Cauchy

Tích phân loại Cauchy có tính chất sau:

3.1.Định lí Nếu ¿(€) liên tục trên đường cong Jordan trơn ¿ thì tích phân loại Cauchy là một hàm giải tích trên C\Í và có đạo hàm

Để chứng minh định lí trên ta dùng bổ đề sau:

Bổ đề Giả sử ( = £+in GÌ và z=z+i€ DC C\l Giá sử

83

Chứng mình Đặt

W(¢.z) = u(€ 12.1) + LUỆẶc, 1, 1)

F\z) = U(z.) +:V(+,}

Theo định nghĩa tích phân, từ (15) ta có:

Vay F(z) giai tich trén D Hơn nữa F(z) = ge + i

F'(z) = IS +S pag + (2 + 1S yan ,Ô Oz

Hàm W, thoa mãn điều kiện cửa bô đề, nên ta có:

3.2 Nguyên hàm cửa hàm số biến số phức

Từ định lí Cauchy ta có hệ quả sau:

Hệ quả Nếu ƒ(z) giải tích trong miền đơn liên và zo.z € D,

thì tích phân ®{(zo, z) = J ƒ(€)4€, chỉ phụ thude vao z va z ma khong

phụ thuộc vào no của đường cong nối chúng và nằm trong D Khi c6 dinh z thi F(z) = =J ƒ(C)đ€ là hàm của biến số z Hon nita F(z)

Za

cùng là ham giải tích Điều này được chứng minh trong định If sau: Định lí Giả sử f(z) liên tục trên miền đơn liên Ð và với mọi đường cong Jordan, tron kin + chứa trong D, ta đều có J, f(z)dz = 0 Khi đó với zo € D cố định, hàm F(z) = f f(C)d¢ la ham giải tích trên

D va F(z) = ƒ(2) "

Chứng ae Theo gid thiét [| f(z)dz = 0, Vy Cc D

Suy ra F{z) = = fr ƒ(C)dđ€, xác định một hàm trên D Với imei

zeD, ta xét:

OO a / f(G)d¢

85

<a, / I/(Q — F(DMlae| (19)

Do ƒ liên tục trén D nén Ve > 0,46 > 0 sao cho | f(¢) — f(z)| < € voi moi ¢ € D ma |¢ — z| < 6

Chon Az sao cho |Az| < 6 tir (19) ta có:

đi qua điểm z = 0 Nếu đường lấy tích phân không bao quanh điểm

z=0, nghĩa là —z < argz < z, thi ham F(z) là hàm đơn trị giải tích

và ta có: Ìnz =h &, —7 <argz <7 Trong truong hop z= 2 > 0,

ta có: lnr = Sr de Nếu đường lấy tích phan bao quanh ditm z = 0, thi ta nhan dugc F(z) la ham da tri Lnz = ff `Š

86

3.3 Định lí đảo của định lí Cauchy (định lí Morera)

Nếu hàm ƒ(z) liên tục trong miền đơn liên 7 và tích phân [ ƒ(2z)3z

doc theo moi dong cong Jordan, tron kin chứa trong Ø2 đều bằng Ö thi ham f(z) giải tích trong D

Chứng minh Đặt,

t{(z) = / f(G)dC voi z, 2 € D

Theo dinh li trén, ham F(z) giải tích trên D va F’(z) = f(z)

Từ hệ quả của tích phân loai Cauchy, suy ra f(z) lA hàm giải tích

gọi là hàm điều hoà

Phương trình đạo hàm riêng (20) gọi là phương trình Laplace

Toán tit vi phan

gọi là toán tứ Laplace

Trước đây, theo hệ quả cưa tích phân loại Cauchy ta đã chứng

mình được rằng: nếu hàm +? = ƒ(z) giải tích trên Ð thì tại mọi z € D,

hàm số f(z) có đạo hàm mọi cấp Từ đó suy ra các đạo hàm riêng

Ou Ou Ov Ov Ox’ Oy’ Ax’ Oy’

Hơn nữa vì ƒ(z) giải tích trên J, nên ta có:

Vì vậy ta có thể xác định được hàm số phức + = ƒ(z) giải tích

trên miền D, khi biết phần thực (hay phần ảo) cửa nó là hàm điều

hoà Chẳng hạn khi biết hàm phần thực Mã ), ta có thể xác định

ham f(z) nhu sau:

fle) =ulay) +i f (Fede + Say) +0

§4 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG VỀ HÀM GIẢI TÍCH

4.1 Định lí giá trị trung bình

Giả sử ƒ(z) giải tích trong miền Ð và hình tròn Br = {z €

C | lz~— zo| < R} €D Khi đó giá trị ƒ(zo) bang trung bình cộng các giá trị của nó trên đường tròn Ơn = {z € C | |z — zo|}, nghĩa là:

Chứng mình Theo công thức tích phân Cauchy ta có:

1

ƒ(z) = a | (dds ark |

4.2 Nguyên lí mođun cực đại

Giả sử f(z) giải tích trên miền 7D và liên tục trên D Nếu ƒ(z) # const thi |f(z)| dat cực đại trên biên của, Ð

Chứng minh Hàm ø(z) = |ƒ(z)| liên tục trên D nên nó đạt cực đại trên Ö, nghĩa là 3zọ € Ð, sao cho |ƒ(zo)| = rnaz|ƒ(2)|

zcD

Dat M = |ƒ(za)| (xem hình trang 90)

Giá sử zo€ D Khi đó tồn tại hình cầu mở Ö;(zo) có tâm zọ và

bán kinh r, sao cho: B, = B, Uc c D Tir dinh li vé gid tri trung bình ta có:

2z

1 ƒ(zo) = z— | f(zo + re*)dụ a= |

_ 89

0< J(ƒ(o)| — |ƒ(2)|)đ¿@ < 2m|f(zo)|— ƒ [ƒŒ)|de Ị 2n |

0< [fleo)| — 5 f fle + re)Idp

Giả sử z* là điểm bất kì nằm trên D Nối zọ với z* bởi đường

gấp khúc lc D véi d(l,0D) = d > 0 (khoảng cách giữa hai tập hợp)

Lấy hình tròn bán kính rˆ < ở có tâm chạy trên / từ zo đến z* Vì

{la tap compact trong Œ, nên có một họ hữu hạn các hình tròn bán

kính rˆ phủ nó Vì vậy với lập luận như trên ta được:

[f(2")| = M

Do dé: f(z) = const trên D

Mat khac

f(z) =|fllet 4 = M(cos O(z, y) + isin A(z, y))

Do f(z) giải tích trong D, nên:

0

Đẳng thức (6) đúng với mọi Ø, suy ra:

ta bỏ giá thiết ƒ(z) # 0 thì |[ƒ(z)| không đạt cực tiểu trên biên Ví

dụ ƒ(z) = z trên miền 2 = {z€ C | |z| < t} |ƒ(z)| đạt cực tiểu tại

z=0 thuộc D

2) Nếu miền Ð không bị chặn thì định lí trên không còn đúng nữa,

Vi du f(z) = e? tren D = {z € C | Rez > 0} Ham |f(z)| khong dat

cực đại trên biên vì | f(z)| = 1, vot mọi z thuộc biên

Do ¿(z) liên tục trên U nên #2 ) giải tích trên Ù (theo định lí tích

phan loai Cauchy) 'Từ nguyên lí Tmođun cực đại, suy ra: |¿(z)| đạt

cực đại trên biên nghĩa là:

maxie(z)| = max| TE| = max|7(2)| zecU lzi *Š Iz|=

Do |f(z)| <1, véi fz] < 1 va f(z) lién tue trén U nén |ƒ(z)| < 1

Chứng minh Lấy z bất kì trong C khi đó theo hệ qua cua tích

phan loai Cauchy

BAI TAP CHUONG 4

1 Giả sử + là một đường cong Jordan tron, kín giới hạn một miền D,

b lợn 4z, trong đó y cho bởi phương trình y(t) = 2£”, £ €

aps, trong đó + là dong cong Jordan, tron, kin giới hạn

một miền D va phan biệt 3 trường hợp:

a D chứa điểm z = 0 và không chứa điểm z = 1;

b D chứa điểm z = 1 và không chứa điểm z = 0;

c D chứa cả hai điểm z = 0 và z = 1

8 Chứng minh rằng:

e7dš — —21

|z|=]

9 Cho hàm số hai biến số thực (z,) xác định trong miền D, Hàm

số được gọi là hàm điều hoà trong miền đó nếu nó khả vị liên tục

95

đến cấp 2 và thoả mãn điều kiện:

8w ôÔ°u

a Chứng rninh rằng mọi hàm giải tích trong D đều có hàm phần thực và hàm phần ảo là hàm điều hoà

b Chứng minh rằng mọi hàm phần thực điều hoà trong miền

đơn liên D đều là phần thực của một hàm giải tích nào đó trong })

HH ~ | Sa(z)4 < fire ~ Sa(z)||dz| < «l

trong đó ¡ là độ dài cửa + |

Chuyển qua giới hạn, ta có:

‘av f f(s\dz =

Theo Dinh If Morera ham ƒ{z) giải tích trên miền Ð

Bây giờ ta chứng mình đẳng thức (1) Với zụ bất kì thuộc Ð lấy

đường cong Jordan trơn, kín bao quanh điểm z¿ sao cho zo € D~ C

D(D, là miền giới hạn bởi đường cong + ) ‘

Gọi d = mìn|€ — zo| > 0 Đặt y(¢) = Team: C ey

Ta 6 jy()| < gar 6 € y Theo gid thiét s /a(#) hội tụ đều

Chú y Trong dinh li trén ta chimg minh diroc tinh chat lay dao

hàm từng số hạng của chuỗi tại các điểm z € D chứ không phải tại các điểm z € Ð và ta đã sử dụng d = đ(y.z) >0 Ví dụ sau chứng tỏ

đối với z € DÐ định lí này không còn đúng nữa

1.2 Định lí Taylor

x

Bây giờ ta xét chuối luý thừa Š`e¿(z— zo)“ i (2)

có bán kinh hoi tu la R&R "

Gọi ƒ(z) là tổng của chuỗi Theo Dink li Weierstrass hiun f(z giải tích trong mọi hình tròn {|z — zol < Ry < R} va c6 thé lay dao hàm từng số hạng nghĩa là:

Cn = fro) mÌ Go) wn EN (3)

Như vậy (2) cho ta:

Đặc biệt khi zo = Ö ta có chuỗi Maelayrin

Ngược lại, nến ƒ(z) là giải tích trên D thi van dé dat ra la có thể khai triển hàm này thành chuỗi hàm luỹ thừa bội tụ về ƒ(z) trên miền

D hay khong? Dinh li san day sẽ tra lời cản hỏi đó,

Định lí Taylor Nếu ƒ(z) giải tích trong hình tròn {|z — soi < ??} thì ƒ(z) khai triển được thành chuỗi TayÌor trong hình tròn đó

Chứng mỉnh Gia sử với bất kì - € {|2 — zo| < }*} Lấy nổ thực

R, sao cho 0 < iị < R và z € {|z — zo| < gR¡} trong đó Ð < ø@< 1 Gọi + là đường tròn {ÍC — zoi = Rr}

Theo cong thire tich phan Cauchy

“ăn, =

99

Nếu cố định z trong hình tròn {|z — zạ| < R} thì chuỗi hàm

x 6m HT eee hội tụ đều trên +y, nên ta có thể lấy tích phân từng số

hạng của (4), suy ra:

or J a = 55 T6 /() Sa, yer AC

:

n=0

bởi đạo hàm cửa hàm f(z)

1.3 Chuỗi Taylor cửa các hàm số sơ cấp cơ bản

100

1.4 Không-điểm và định lí duy nhất của hàm giải tích

a) Không-điểm Điểm zọo được gọi là không-điểm của hàm f(z) nếu ƒ{zo) = 0

Giả sử zọ là không-điểm của hàm giải tích ƒ(z) Khi đó khai triển Taylor của hàm f(z) trong lan can của điểm zạ có dạng:

/0{zo)

n!

f(z) = f' (zaylz — 29) + + ———(z — 29)" +

Nếu hàm ƒ(z) không đồng nhất bang 0 trong lân cận của điểm zo

thì tồn tại ít nhất một hệ số c„ trong khai triển Taylor khác 0 Chỉ số

bé nhất trong các hệ số khác Ö này được gọi là cấp của không-điểm zạ Như vậy trong lân cận của điểm zo (không-điểm cấp n) có khai

trién Taylor

f(z) = Cn {Zz — z0)” + Cy„+1(Z — zy)" 4

voi hé s6 ch #0, n> 1

101

Rõ ràng cấp của không điểm zọo cũng là cấp bé nhất làm cho

n + ~ ` ame +, ` aA ` “a =

Ƒ?9(su) # 0 Đo đó nếu hàm ƒ(z) giải tích và nhận zọo làm không-điểm

cấp + thì hàm ƒ{z) được viết đưới đạng:

Dinh li Cho ham ƒ(2z) giải tích trong lân cận của điểm zụ và nhận

zo làm không-điểm Nếu ƒ(z) không đồng nhất bằng khong trong lân cạn nào đó của điểm zo, thì tồn tại một lân cận V{zg) sao cho trong

lần cận đó haan ƒ(z) chỉ nhận zo là không-điểm duy nhất

b) Định lí về sự duy nhất cửa hàm giải tích

Định lí Nếu hài hàm ƒ¡(z) và ƒa(z) giải tích trong miền DĐ và giá trị của chúng trùng nhau tại một dãy điểm {2z„},za € D, hội tụ về

zsụu&€ Ð th

fi(z) = folz), Vee D

Chứng mình Đặt f(z) = fi(z) — fe(z) Khi dé f(z,) = 0 véi

moi n € N Do ham f(z) lién tục, suy ra Jim f(2n) = f(z) = 0 Theo Dinh lf 4.a ham f(z) = 0 trong lân cận nào đó của điểm zọ

Gọi # là tập hợp tất cả các điểm trong của tập hợp các không-

điểm của hàm f(z) Khi dé 29 € , nghĩa là E # 0 Ta có E là tập hợp mởỡ (nheo định nghĩa của tập hợp E) va EC D

Gia sử # D Khi đó 366 ØEn D Do be ðE nên tồn tại day {b,} C E bạ —¬ b Suy ra lim flbn) = f(b) =0

Theo định lí trên b là điểm trong của #, mầu thuẫn với b là điểm

bien

Vay E = D, nghia la ham f(z) = 0 Vz € D hay f;(z) =

Jo(z) Vz € Dz

102

Chú ý:

1 Dav {z,} trong giá thiết của định lí phải hội tụ về điểm z¿ là

điểm trong của miền Ð

Ví dụ Xét hàm ƒ¡(z) = sim giải tích trên C \ {0} và hàm

folz) = U Ta thấy f(za) = àš¿)- 3a = + € C\ {0} ubwng day

3„ —— 0 không thuộc CÀ {0} RG rang sin + 40 tréu C\ {0}

2 Dish lí về sự duy nhất khẳng định tính duy nhất về sự t]uíc triển của hàu! giải tích lên các miền

Ví dụ Xét hàm ƒi(z) = sin? z + cos? z giải tích trên C, Vì hàm

†›(z) = 1 trùng với i(z) trên toàn trục số thực nên ta có ƒ(z) = 1 trên C hay sin? 2 + cos? z = 1 trén Cc

d Định lí về sự duy nhất nói lên sự khác nhau cơ bản giữa hààn giai tích phức và hàm: bién so thire

Trrong tur ta cé fl%(0) = 0 véi moi ne N

Tuy nhiên hàm f(z) không đồng nhất bằng không trong một lần

cận nào của điểm không

42 CHUOL LAURENT

Chuối Taylor là một công cụ giúp ta nghiên cứu hàm số trong lân cạn của một điển nào đó, mà tại điểm đó hàm số là giải tích Tuy nhiên ta có những hàm không giải tích Khi đó chuối Taylor không thể sứ dụng được do vậy ta phải dùng một công cụ khác Đó là chuỗi Lanrent mà ta sẽ nghiên cứu sau day

2.1 Dinh li Laurent Cho ham f(z) giải tích trong vành l = {r<|z— 2! < R} trong đó U <r < R< +œ

103

Chọn rị và # sao cho r < r¡ < Rị < R và q thoả mãn điều kiện , 0<g<1 Xét vành Ki = {+ < |z— zo| < gì} Ta có thể biểu diễn ham f(z) theo công thức tích phân Cauchy như sau: lấy z € K, ta có

Theo định lí Cauchy cho miền đa liên ta có thể thay đường tròn

*n, và +;, bởi đường tròn y = {|¢ — zo| = 7’} trong đó r¡ < r/ < Rị Khi đó các hệ số ca được xác định như sau:

Chuỗi )) 9ï — zo)*" được gọi là phần đều,

và chuỗi yo (z — zo)” goi là phần chính của chuỗi Laurent

Theo định 1 Abel phần đều của chuỗi Laurent hội tụ trong hình tròn {|z — zo| < R} hơn nữa chuỗi này hội tụ đều trong mọi hình tròn {|z — zo| < qR} (0 < qạ < 1) Phần chính hội tụ ngoài hình tròn {|z — zo| > r}, hơn nữa nó hội tụ đều ngoài hình tròn {|z — zo| > r} Như vậy ta có kết quả sau:

Định lí Laurent Nếu hàm ƒ(z) giải tích trong vành

K={r< |z- zo|< R} (0<r< R<cœ)

thì có thể khai triển hàm ƒ(z) thành chuỗi Laurent và chuỗi này hội

tụ đều trong mọi miền đóng chứa trong X

Chứng minh Theo trên

ox

f2)= 3 enl(z-20)"

Tt—=—oc

105

V6i Cn = x5 f iS de, n = 0,41 42 ` (C—zuìm+1

X

Chuỗi này hội tụ đều trong miền đóng K” C K

^ ` id ` ` „A3 ^~ ` +

Bây giờ giả sử hàm ƒ(z) biếu diễn thành chuỗi như sau:

Ta hãy xác định các hệ số của chuỗi này Theo định lí AbeL chuỗi

hàm hội tụ đều vồ hàm ƒ(z) trong niền đóng ?(K? là miền bất kì

Vi du Cho ham f(z) = oa: Ta khai trién f(z) thanh

chuối Laurent trong vanh A’ = {1 < |z| < 2}

t3 ĐIỂM BAT THUONG CO LAP

Chuỗi Lanrent cho phép chúng ta nghiên cứu dé dang hon cdc ham

giải tích trong lân cận của điểm nào đó mà tại điểm đó hàm mất tính

giải tích Điểm như vậy gọi là điểm bất thường cô lập

3.1 Định nghĩa Điểm zg € C được gọi là điểm bất thường cô

lập cua ham f(z) nếu tồn tại một lân cận thiing {z € Cl 0 < |z — zu| <

R} của điểm 2 sao cho tại lân cận này hàm ƒ giải tích

bất thường cô lập Tuy nhiên điểm z = 0 la diém bat thudng khong

cỏ lập vì trong bất kì lân cận nào của điểm z = 0 đều có chứa điểm bất thường khác không

3.2 Phân loại Có ba loại điểm bất thường cô lập:

Điểm zo là bất thường bỏ được nếu lim ƒ(z) # %

2 —* 2) Z—Zq

Điểm zọ là bất thường cốt yếu nếu hàm ƒ{z) không có giới hạn

Điều này chứng tỏ lìm e* không tồn tại z—

3.3 Sự liên hệ giữa chuỗi Laurent và điểm bất thường cô

lập

Dinh lí: Cho zo € C là điểm bất thường cô lập của hàm số ƒ(z})

và khai triển Laurent cla ham f(z) trong lan can thing cia zp là:

len| => on zit d¢| < Rr

lé—zo|=#tì Khi n < 0 và li — 0 thì cạ — 0

Vay f(z)= Cn(z — 2)"

n=0

Ngược lại, giả sử ƒ(z) = x Cn{z — zo)" Vì chuỗi đã cho hội tụ

đều trong bình tròn bán kính "Ry (voi Ry < R-bán kính hội tụ của chuỗi) Chuyển qua giới hạn ta được:

OO

lim f(z) =~ Jim en(z ~ zo)" = co # 00

n=0

zZ— Zo

Vay z la diém bat thudng bd dwac

2) Giả sử zo là cực điểm cấp n của hàm f(z) (nghĩa là hàm 775

Vì hàn: ƒ(z) giải tích trong lân cận thủng của điểm zọ nên ø(z) giải tích trong lân cận thứúng của điểm zo Suy ra hàm ø(z) có thể biển điễn dưới dang:

g(z) = (z— zo)”ø(z) trong đó hàm y(z) là hàm giải tích và (zo) # Ú Do ¿(z) liên tục nên

w(z) # ( trong lân cận của điểm zp

f(z) = glz) ~ (z—za)"g2(z)`

Hàm (z) giải tích và p(z) £ 0, nén ham tay giải tích trong lân

cận của điểm zọ Khi đó khai triển Taylor của hàm cm sẽ là:

lim f(z) = tim 22 = 56

Zz zz) (Z — 2)”

3) Mệnh đề 3 được suy ra từ hai mệnh đề trên

110