9 Phương pháp giải phương trình mũ và phương trình logarit - Trần Tuấn Anh

Phương pháp 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ1 Đối với phương trình mũ: biến đổi phương trình về dạng a f x a g x... Phương pháp 3: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Ví dụ 1... Vế trái của * là hàm

-O0O -

Phương pháp 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

( )

( ) log

f x

a

a  b f x  b ; loga f x( ) b f x( )a b

Ví dụ 1 Giải các phương trình:

a) 3x2 5x 4 81 ; b) log (32 x4)3

Giải:

a) 3x2 5x 4 81x2 5x 4 log 813 x2 5x 4 log 33 4

5

x x





  

 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 5

b) log (32 x4)3

ĐK: 3 4 0 4

3

x   x

3 2

log (3x  4) 3 l3x 4 2 3x  4 8 3x12 x 4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4

Phương pháp 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

1) Đối với phương trình mũ: biến đổi phương trình về dạng a f x( ) a g x( )

- Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì a f x( ) a g x( )  f x( )g x( )

- Nếu cơ số a thay đổi thì

( ) ( ) 0

a f x g x





2) Đối với phương trình logarit: biến đổi phương trình về dạng

loga f x( )loga g x( )

a

f x

f x g x

 







Ví dụ 1 Giải các phương trình:

a) 3x2 5x 4 81 ; b) log (32 x4)3

Giải:

a) 3x2 5x 4 813x2 5x 4 34 x2 5x 4 4

2

5

x x





  

 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 5

b) ĐK: 3 4 0 4

3

x   x

log (3x  4) 3 log (3x 4) log 2 3x 4 2 3x 4 8

3x12 x 4

Ví dụ 2 Giải các phương trình:

a) 3x2 x 8 91 3 x ; b) 2x12x12x 28 c) 2.5x23 5.2x23 ; d) 2x213x2 3x212x22

Giải:

a) 3x2 x 8 91 3 x 3x2 x 8 32(1 3 ) x x2   x 8 2(1 3 ) x

2

x x

3

x x

 



  

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = - 2 và x = - 3

b) 2x12x12x 282 22 x12x12.2x1 282x1(22  1 2)28 2x1 4 2x122     x 1 2 x 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3

c)

2 2

2

3

3

2

x x

x







x2   3 1 x2    4 x 2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = - 2 và x = 2

d) 2x213x2 3x212x22 2x213.3x21 3x212 23 x21

2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1

2x  2 2x 3x  3.3x  2x  (1 2 ) 3x (1 3)

x

2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = - 3 và x = 3

Ví dụ 3 Giải các phương trình:

a) lgxlgx2 lg 4x ; b) log2 xlog3xlog4xlog5x

Giải:

b) ĐK: x0

2

lgxlgx lg 4xlgx2lg x lg 4 lg x2lg x lg 4

2lg lg 2 lg lg 2 2

2

x

x





Do x0 nên nghiệm của phương trình là x2

b) ĐK: x0

log xlog xlog xlog xlog xlog 2.log xlog 2.log xlog 2.log x

log x.(1 log 2 log 2 log 2) 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Phương pháp 3: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Ví dụ 1 Giải các phương trình:

a) 12.3x3.15x 5x1 20 ; b) log (32 x4).log2xlog2x

Giải:

a) 12.3x 3.15x5x12012.3x3.3 5x x 5.5x200

3.3 (4 5 ) 5(5x x x 4) 0 (5x 4)(3.3x 5) 0

3

x

x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm log3 5

3

x  

 

 

b) ĐK: 3 4 0 4

x

x x

 



 

 

log (3x4).log xlog xlog x log (3x  4) 1 0

2 2

log 0 log (3 4) 1 0

x x







2 2

log (3 4) 1 3 4 2 2

Do 4

3

x nên nghiệm của phương trình là x2

Phương pháp 4: LÔGARIT HÓA, MŨ HÓA

Ví dụ 1 Giải các phương trình:

a)

2

3 2x x 1 ; b) log 2

3 x x 2

Giải:

a) Lấy lô garit hai vế với cơ số 2, ta được

log 3 2x x log 1log 3xlog 2x  0 x.log 3x log 20

2

.log 3 0 log 3 0

log 3 0 log 3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = log 32

b) ĐK: x0

Đặt log2x  t x 2t ta thu được phương trình mũ theo biến t :

3t  2t 2 (*)

Vế trái của (*) là hàm số đồng biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình (*) nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là một nghiệm Mà t0 là một nghiệm của (*) nên đó là nghiệm duy nhất của (*)

2

log x 0 x 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Phương pháp 5: DÙNG ẨN PHỤ

Ví dụ 1 Giải phương trình: 22x2 1 9.2x2 x 22x 2 0

Giải: Chia cả 2 vế phương trình cho 22x 2 0 ta được:

2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 9 2

2 9.2 1 0 2 2 1 0

2.22x2 2x 9.2x2 x 4 0

Đặt t 2x2 x điều kiện t > 0 Khi đó phương trình tương đương với :

2

2 1

2 2

2 9 4 0 1

2 1

2 2 2

x x

x x

x

t

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 1, x = 2

Ví dụ 2 Giải phương trình: 7 4 3 x 3 2 3 x 2 0

Giải: Nhận xét rằng:

2

7 4 3 2 3 ; 2 3 2 3 1

Do đó nếu đặt t 2 3 xđiều kiện t > 0, thì: 2 3 x 1

t và

2

7 4 3 x t

Khi đó phương trình tương đương với:

2 0 2 3 0 1 3 0

3 0

t

t 1 2 3 x 1 x 0

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Ví dụ 3 Giải phương trình: 32x 2x 9 3x 9.2x 0

Giải: Đặt t 3x, điều kiện t > 0 Khi đó phương trình tương đương với:

2 9 4.9.2 2 9

2

x

t

Khi đó :

+ Với t 9 3x 9 x 2

2 3 2 1 0

2

x

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = 0