Luyện thi ĐH môn Toán Hình học không gian Bài toán về thể tích - Thầy Phan Huy Khải

Loại 2: Phương pháp phân tích hình đã cho thành tổng hiệu các hình cơ bản hình chóp, lăng trụ, hộp… Phương pháp giải: - Phân tích hình đã cho thành tổng hiệu các hình cơ bản - Sử dụng

Loại 1: Sử dụng trực tiếp các công thức tính thể tích

Phương pháp giải: sử dụng các công thức tính thể tích

+ Hình chóp: 1

3

+ Hình hộp, lăng trụ: V = Sh

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và D Biết AB = AD = 2a; CD = a Góc

tạo bởi (SBC) và (ABCD) bằng 0

60 (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy ABCD, I là trung điểm của

AD Tính thể tích hình chóp S ABCD

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ACB A’B’C’ Biết rằng đáy là tam giác vuông ABC vuông tại B Giả sử

AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a Goi M là trung điểm của A’C’, và AM cắt A’C’ tại I Tìm thể tích tứ diện IABC

Loại 2: Phương pháp phân tích hình đã cho thành tổng (hiệu) các hình cơ bản (hình chóp, lăng trụ, hộp…)

Phương pháp giải:

- Phân tích hình đã cho thành tổng (hiệu) các hình cơ bản

- Sử dụng công thức: cho hình chóp tam giác S.ABC và 1 hình chóp khác có chung một góc tam diện S

S.A’B’C’ ( 'A SA B, 'SB C, 'SC)

' ' '

.

S A B C

S ABC

V  SA SB SC Áp dụng trong cả trường hợp A'A B, 'B C, 'C

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi có cạnh 5cm, đường chéo AC = 4cm Gọi O là giao

điểm 2 đường chéo, SO đáy, SO2 2 Gọi M là trung điểm của SC; giả sử (ABM) cắt SD tại N Tìm thể tích hình chóp S ABMN

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy là tam giác đều cạnh a Giả sử SA = 2a ABC Gọi M và

N lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC Tìm thể tích khối chóp A.BMNC

BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn

Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức Bài 01 Phương pháp bất đẳng

thức Côsi, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

Tham gia ôn luy n thi đ i h c online & thi th đ i h c t i Hocmai.vn đ đ đ i h c!

Cho tứ diện ABCD, giả sử cần tính khoảng cách h từ A tới BCD, biết V ABCD, S BCDthì : 3

BCD

V h S



Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ACB A’B’C’ Biết rằng đáy là tam giác vuông ABC vuông tại B Giả sử

AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a Goi M là trung điểm của A’C’, và AM cắt A’C’ tại I Tìm khoảng cách từ A tới (IBC)

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

AB và CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN

Giáo viên: Phan Huy Khải Nguồn : Hocmai.vn

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,ABa 2 Gọi I là trung điểm của

BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IA 2IH Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH)

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ

O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3

4

a

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài 3 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,

3

ACa và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’)

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp Cho

AB = a, SA = a 2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD

Chứng minh SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK

Giáo viên: Phan Huy Khải Nguồn : Hocmai.vn

BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài Bài toán về thể tích Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

I A

C

B S

H

K'

K

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,ABa 2 Gọi I là trung điểm của

BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IA 2IH Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH)

Giải:

a) SH(ABC)HC là hình chiếu của SC trên (ABC) SC tạo với đáy góc SCH600

Tam giác ABC vuông cân tại A nên BC = AB 22aI là trung điểm BC

3 2

a

     

Trong tam giác vuông ICH có

2

Trong tam giác vuông SHC: SH = HC tan 600 15

2

a



SABC ABC

b) K K, ' là trung điểm SB, SI K K, 'là đường trung bình của tam giác SBI

'

2

,

2

a

a



Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ

O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3

4

a

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Giải:

Từ giả thiết, ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a , do đó 0

60

ABD

ABD

 đều Do SAC ; SBD  ABCDnên giao tuyến của chúng SO (ABCD)

BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài Bài toán về thể tích Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

A

C

B'

A'

C'

H K

Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB và DH = a 3; OK // DH và

a

OK  DH   OK  AB  AB  (SOK)

Gọi I là hình chiếu của O lên SK  OI  (SAB), hay OI 3

4

a

OI 

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao

 12 1 2 12

2

a SO

Diện tích đáy S ABCD 4SABO 2.OAOB 2 3a2;

đường cao của hình chóp

2

a

Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

a

Bài 3 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,

3

ACa và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’)

Giải:

Theo giả thiết ta có: A H' (ABC)

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên

1

2

AH  BCa

Xét tam giác A’AH vuông tại H nên ta có:

Do đó:

3 '

3

A ABC

Mặt khác: '

' ' '

1 3

A ABC

ABC A B C

V

Suy ra:

3 3 ' ' ' ' ' '

.3

A BCC B ABC A B C

a

' '

3 ', ( ' ') A BCC B

BCC B

V

S



Vì ABA H' A B' 'A H'  A B H' ' vuông tại A’

B H a  a  aBB  BB H cân tại B’

Gọi K là trung điểm của BH ta có: B K' BH Do đó: ' '2 2 14

2

a

Suy ra: S BCC B' ' B C BK' ' 2 a a 14 a2 14

S

A

B K

H

C

O

I

D

3a

a

O D

C

A

B

S

K

H M

E

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp Cho

AB = a, SA = a 2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD

Chứng minh SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK

Giải:

+ BC vuông góc với (SAB)

 BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB

AH vuông góc với (SBC) AH vuông góc SC (1)

+ Tương tự AK vuông góc SC (2)

Từ (1) và (2) SC vuông góc với (AHK )

3

6

3

a a

(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

3

HK

Kẻ OE// SC OE(AHK doSC)( (AHK)) suy ra OE là đường cao của hình chóp OAHK và

OE   (Vì SAC cân tại A , AI là đường cao, là đường trung tuyến)

Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có

2

9

a

3

a

3

Giáo viên: Phan Huy Khải Nguồn : Hocmai.vn