Điều khiển hệ pendubot dùng kỹ thuật điều khiển trượt

Spong và Block [1] đã sử dụng phương pháp tuyến tính hóa hồi tiếp từng phần được đưa ra bằng một bộ điều chỉnh tuyến tính bậc hai, và họ đã thành công cho việc điều khiển Pendubot từ điể

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP HCM

-NGUYỄN HỒNG PHÚC

ĐIỀU KHIỂN HỆ PENDUBOT DÙNG KỸ THUẬT

ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành : KỸ THUẬT CƠ ĐIỆN TỬ

Mã số ngành: 60520114

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP HCM

-NGUYỄN HỒNG PHÚC

ĐIỀU KHIỂN HỆ PENDUBOT DÙNG KỸ THUẬT

ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong Luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Học viên thực hiện Luận văn

Nguyễn Hồng Phúc

LỜI CÁM ƠN

Để hoàn thành chương trình cao học và thực hiện được đề tài này, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình từ Quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thanh Phương, người

đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Tác giả chân thành cảm ơn Quý thầy cô khoa Cơ điện tử Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh đã cung cấp kiến thức và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả thực hiện đề tài

Xin cảm ơn Quý thầy cô phòng Quản lý khoa học – Đào tạo sau đại học Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập tại Trường

Chân thành gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Trường Trung Cấp Kinh Tế - Kỹ Thuật Nguyễn Hữu Cảnh và các thầy cô đồng nghiệp nơi công tác, đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học này

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã động viên về vật chất cũng như tinh thần cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng biết ơn!

Người thực hiện NGUYỄN HỒNG PHÚC

Mục tiêu của luận văn là điều khiển pendubot di chuyển từ vị trí ổn định hướng xuống, lên

vị trí không ổn định đảo ngược và cân bằng nó theo phương thẳng đứng Bộ điều khiển trượt đa bậc sẽ được xây dựng để điều khiển hệ thống con lắc quay SIMO.

Mô hình toán của đối tượng và bộ điều khiển trượt đa bậc sẽ được xây dựng và mô phỏng bằng phần mềm Matlab/Simulink Từ kết quả mô phỏng, ta sẽ chứng minh được bộ điều khiển trượt đa bậc có thể điều khiển tốt đối tượng SIMO Pendubot Đây là cơ sở để ta áp dụng bộ điều khiển vào mô hình thật

ABSTRACTPendulum Robot (Pendubot) is a nonlinear object and it is representative of a Single–Input–Multi–Output system (SIMO) Pendubot includes two rotary bars on two joints Two bars are shoulder and elbow respectively, shoulder joint is received the stimulus and elbow joint is a passive joint Compared with the normal system – a Single–Input–Single–Output system (SISO), SIMO system controller is designed with much more complex.The objective of the thesis is control pendubot to move from stable downward position to unstable inverted position and balance it vertically The multi-level sliding controller will

be built to control the pendulum Robot SIMO system

Mathematical model of the object and multi-level sliding controller will be built by simulator software Matlab / Simulink From the simulation results, we will demonstrate that the multi-level sliding mode controller can control SIMO Pendubot subject This is our basis for applying the model in real control

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CÁM ƠN ii

TÓM TẮT iii

ABSTRACT i v MỤC LỤC v

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 TỔNG QUAN 30

1.1 Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu, kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước đã công bố .30

1.2 Mục tiêu, khách thể và đối tượng nghiên cứu 31

1.3 Nhiệm vụ của đề tài và phạm vi nghiên cứu 31

1.4 Phương pháp nghiên cứu 31

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 33

2.1 Điều khiển trượt 33

2.2 Điều khiển trượt đa bậc cho hệ thống SIMO 38

Chương 3 MÔ HÌNH TOÁN HỌC PENDUBOT 46

Chương 4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN CHO PENDUBOT 53

4.1 Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ thống 53

4.2 Phân tích ổn định 57

4.3 Kết luận 60

Chương 5 MÔ PHỎNG 5.1 Mô phỏng luật điều khiển hệ thống 60

5.2 Hiện tượng chattering 67

5.3 Nhiễu trắng 80

5.4 Kết luận 86

Chương 6 KẾT LUẬN 87

6.1 Kết luận chung 87

6.2 Hướng phát triển luận văn 87

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 5.2: Giá trị của các thông số q , 1 q , 2 q , 3 q , 4 q 5 Trang 61

Bảng 5.3: Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống Trang 69 Bảng 5.4: Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống

Bảng 5.5: Biên độ hiện tượng chattering khi thay hàm signum

Bảng 5.6: Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống

khi giảm hệ số η2 và thay hàm signum bằng hàm saturation Trang 79

Bảng 5.7: So sánh biên độ của hiện tượng chattering của các

Bảng 5.8: Biên độ dao động của các tín hiệu trong hệ thống

khi bị ảnh hưởng của nhiễu với cường độ thấp Trang 83

Bảng 5.9: Biên độ dao động của các tín hiệu trong hệ thống

khi bị ảnh hưởng của nhiễu với cường độ cao Trang 85

Bảng 5.10: Biên độ dao động của các tín hiệu hệ thống khi

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 2.1: Quĩ đạo trạng thái ở chế độ trượt Trang 35

Hình 2.5: Cấu trúc đa bậc của các mặt trượt Trang 39

Hình 3.2 : Bốn điểm cân bằng của hệ thống Trang 52

Hình 4.1: Mô tả mục tiêu điều khiển của bộ điều khiển trượt Trang 54

Hình 4.2: Cấu trúc các mặt trượt đa bậc Trang 55

Hình 5.2: Góc θ1 và θ2 được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Trang 63

Hình 5.3: Góc θ1 và θ2 được vẽ riêng lẻ Trang 64

Hình 5.4: Vận tốc của hai thanh được vẽ trên một hệ trục tọa độ Trang 64 Hình 5.5: Vận tốc của hai thanh được vẽ riêng lẻ Trang 65

Hình 5.6: Các mặt trượt S , 1 s và 2 S được vẽ trên 2

Hình 5.7: Các mặt trượt S , 1 s và 2 S được vẽ riêng lẻ2 Trang 66

Hình 5.9: Tín hiệu điều khiển u (t) với hiện tượng chattering Trang 67

Hình 5.10: Góc θ1 và θ2 với hiện tượng chattering Trang 68

Hình 5.11: Các mặt trượt S , 1 s và 2 S với hiện tượng chattering2 Trang 68

Hình 5.12: Tín hiệu điều khiển u (t) khi giảm hệ số η2 =0,1 Trang 69

Hình 5.13: Khảo sát biên độ tín hiệu điều khiển u (t) khi giảm

Hình 5.14: Góc θ1 và θ2 khi giảm hệ số η2 =0,1 Trang 70

Hình 5.15: Khảo sát biên độ tín hiệu của góc θ1 và θ2 khi giảm

Hình 5.16: Các mặt trượt S , 1 s và 2 S khi giảm hệ số 2 η2 =0,1 Trang 71

Hình 5.17: Khảo sát biên độ tín hiệu của các mặt trượt S , 1

2

Hình 5.18: Tín hiệu điều khiển u (t)khi thay hàm signum

Hình 5.19: Khảo sát biên độ của tín hiệu điều khiển u (t)

Hình 5.20: Góc θ1 và θ2 khi thay hàm signum bằng hàm saturation Trang 74

Hình 5.21: Khảo sát biên độ tín hiệu của góc θ1 và θ2 khi thay

Hình 5.22: Các mặt trượt S , 1 s và 2 S khi thay hàm signum 2

Hình 5.23: Khảo sát biên độ tín hiệu của các mặt trượt S ,1

2

Hình 5.24: Tín hiệu điều khiển u (t) khi giảm hệ số η2 =0,1

và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation Trang 76

Hình 5.25: Khảo sát biên độ của tín hiệu điều khiển u (t) khi

Hình 5.26: Góc θ1 và θ2 khi giảm hệ số η2 =0,1 và thay đổi hàm

Hình 5.27: Khảo sát biên độ tín hiệu của góc θ1 và θ2 khi giảm

Hình 5.28: Các mặt trượt S , 1 s và 2 S khi giảm hệ số 2 η2 =0,1

Hình 5.29: Khảo sát biên độ tín hiệu của các mặt trượt S , 1 s và 2 S khi giảm 2

Hình 5.30: Hệ thống pendubot khi thêm tín hiệu nhiễu trắng Trang 80

Hình 5.31: Tín hiệu ngõ vào bị ảnh hưởng nhiễu cường độ thấp Trang 81

Hình 5.32: Góc θ1 và θ2 bị ảnh hưởng của nhiễu cường độ thấp Trang 81

Hình 5.33: Vận tốc góc θ và 1 θ bị ảnh hưởng nhiễu cường độ thấp Trang 822

Hình 5.34: Các mặt trượt S , 1 s và 2 S bị ảnh hưởng của nhiễu2

Hình 5.35: Tín hiệu ngõ vào bị ảnh hưởng nhiễu cường độ cao Trang 83

Hình 5.36: Góc θ1 và θ2 bị ảnh hưởng của nhiễu cường độ cao Trang 84

Hình 5.37: Vận tốc góc θ và 1 θ bị ảnh hưởng nhiễu cường độ cao Trang 842

Hình 5.38: Các mặt trượt S , 1 s và 2 S bị ảnh hưởng của nhiễu 2

Chương 1 TỔNG QUAN

1.1 Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu, kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước đã công bố

1.1.1 Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu

Con lắc quay (Pendulum Robot) được gọi tắt là Pendubot là một loại hệ thống cơ khí kích thích dưới (under-actuated), tức là số lượng ngõ vào điều khiển ít hơn so với số lượng ngõ ra Hệ thống cơ khí này bao gồm hai thanh (links) quay trên hai khớp nối Hai thanh lần lượt là vai (thanh 1) và khủy (thanh 2) Khớp vai là một khớp được kích thích và khớp khủy là khớp bị động Pendubot thường được sử dụng để nghiên cứu điều khiển hệ phi tuyến và trong một số lĩnh vực nghiên cứu khác, bởi vì nó đơn giản để phân tích động học và thử nghiệm mặc dù có phi tuyến mạnh mẽ và động lực kép giữa hai tay

Mục tiêu điều khiển pendubot là di chuyển nó từ vị trí ổn định hướng xuống lên vị trí không ổn định đảo ngược và cân bằng nó theo phương thẳng đứng Đây là vấn đề cần nghiên cứu của luận văn Trong những năm gần đây, có nhiều bài báo đã được xuất bản về vấn đề này [1] - [6], [10]

1.1.2 Các kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước đã công bố

Các phương pháp đã sử dụng để điều khiển Pendubot được phân loại như sau: điều khiển tuyến tính hóa hoặc điều khiển tuyến tính hóa từng phần [1], điều khiển thông minh [2], điều khiển lai [3] và điều khiển phi tuyến [4] - [6]

Spong và Block [1] đã sử dụng phương pháp tuyến tính hóa hồi tiếp từng phần được đưa

ra bằng một bộ điều chỉnh tuyến tính bậc hai, và họ đã thành công cho việc điều khiển Pendubot

từ điểm cân bằng ổn định lên điểm cân bằng bất ổn định Ma và Su [2] đã thiết kế một bộ điều khiển mờ để điều khiển Pendubot và các thử nghiệm phần cứng của họ đã chỉ ra tính khả thi của

bộ điều khiển mờ Trong [3], Zhang và Tarn đã trình bày một phương pháp điều khiển lai, họ đã điều khiển Pendubot thành công về việc ổn định hóa Trong [4] và [5], Fantoni, Lozano và Spong tách ứng dụng điều khiển dựa vào năng lượng và điều khiển dựa trên tính thụ động để thực hiện điều khiển Pendubot Wang, Yi, và Zhao [6] suy luận một luật điều khiển trượt thích nghi và ứng dụng nó để điều khiển Pendubot

1.2 Mục tiêu, khách thể và đối tượng nghiên cứu.

Đối với hầu hết các phương pháp điều khiển Pendubot di chuyển từ vị trí ổn định hướng xuống lên vị trí không ổn định đảo ngược và cân bằng nó theo phương thẳng đứng, Pendubot được xem như một hệ thống hoàn toàn là cơ khí trong suốt quá trình thiết kế Điều này đã làm các phương pháp điều khiển thêm phức tạp Thật ra nét đặc trưng về mặt cấu trúc của Pendubot là hệ thống cơ khí này có thể được xem như hai hệ thống con: lần lượt là thanh 1 và thanh 2 Quan điểm này cung cấp một ý tưởng khác để thiết kế một bộ điều khiển cho Pendubot và có thể làm đơn giản quá trình thiết kế Một vấn đề khác là mô men xoắn điều khiển bị giới hạn (có định mức) bởi thiết bị truyền động của nó Vì vậy xét mô men xoắn điều khiển là lý tưởng so với thực tế.

Mục tiêu nghiên cứu:

• Tìm hiểu về hệ thống Pendubot và phương pháp cân bằng nó

• Tìm hiểu về điều khiển trượt

Đối tượng nghiên cứu:

• Hệ thống Pendubot

• Bộ điều khiển trượt đa bậc

1.3 Nhiệm vụ của đề tài và phạm vi nghiên cứu.

• Xây dựng mô hình toán học cho hệ thống Pendubot

• Thiết kế bộ điều khiển trượt đa bậc điều khiển cân bằng cho Pendubot

• Mô phỏng hệ thống Pendubot trên phần mềm Matlab - Simulink

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Sử dụng các kiến thức về hình học, lượng giác kết hợp với định lý ổn định Lyapunov để tìm ra phương trình toán học thể hiện mối quan hệ giữa các yếu tố sai số (sai số về khoảng cách

và sai số về góc lệch) với mô men xoắn tác dụng vào Pendubot nhằm điều khiển góc di chuyển sao cho các sai số trên luôn hội tụ về 0

Sử dụng kết quả mô phỏng trên phần mềm Matlab – Simulink cho Pendubot để kiểm chứng độ tin cậy của bộ điều khiển được thiết kế

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong những năm gần đây, điều khiển trượt đã được áp dụng phổ biến trong công nghiệp, bao gồm cả lĩnh vực điều khiển phi tuyến Sự quan tâm đối với kỹ thuật điều khiển này là do bản chất phi tuyến, tính ổn định và bền vững vốn có của nó đối với các tác

động nhiễu từ bên ngoài cũng như những biến đổi trong thông số của hệ thống Ngày nay, với sự phổ biến của bộ chuyển mạch tần số cao cùng với vi xử lý mạnh, kỹ thuật điều khiển trượt ngày càng được áp dụng rộng rãi hơn.

Điều khiển trượt được xem như một trong những phương pháp đơn giản nhất cho việc điều khiển các hệ thống phi tuyến kể cả những hệ thống có mô hình không

chắc chắn dễ bị tác động bởi nhiễu từ bên ngoài hoặc do sự biến đổi tham số

Quá trình thiết kế một bộ điều khiển trượt được tiến hành theo hai bước:

+ Bước thứ nhất: thiết kế một mặt trượt (Sliding surface), còn được gọi là mặt cân

bằng, để đưa quĩ đạo trạng thái của đối tượng điều khiển về mặt trượt theo các đặc tính mong muốn

+ Bước thứ hai: thiết kế luật điều khiển để đưa hệ thống về và di chuyển trên mặt

trượt trong một khoảng thời gian hữu hạn

2.1 Điều khiển trượt

2.1.1 Điều khiển bám (Tracking)

Điều khiển bám là điều khiển tín hiệu ra bám theo tín hiệu đặt cho trước

2.1.1.1 Luật điều khiển trượt

Đối tượng điều khiển: Xét hệ phi tuyến được biểu diễn bởi phương trình vi phân:

(),

()(),()(),

(

)

3 2

(

)()(

)()

(

)()

(

1

3 2

2 1

t u x g x f t

x

t x t x

t x t

x

t x t

x

n

n n

(t x1 t

Mục tiêu điều khiển: xác định luật điều khiển u (t) sao cho tín hiệu ra y (t) bám theo tín hiệu đặt r (t).

Định nghĩa mặt trượt (Sliding surface):

n

n n

0 1

) 3 ( 3 ) 2 ( 2 )

(2.6)

Khi đó, nếu S(t)=0 thì sai lệch e(t)→0 khi t→∞

Phương trình S(t)=0 xác định một mặt cong trong không gian n chiều được gọi là mặt trượt (xem Hình 2.1)

Thay (2.2) và (2.5) vào (2.4), ta được:

)

(

3 ) 2 ( 2 )

1 ( 1 0 1

n n

Lấy đạo hàm (2.7) và sử dụng (2.2), ta có:

)(

)(

)(

)()

a u x g x f

Hình 2.1 Quĩ đạo trạng thái ở chế độ trượt (n = 2 )

Luật điều khiển: Có thể chọn luật điều khiển u (t), sao cho:

)

(S

ksign

S =− (2.9)

Trong đó, k là hằng số dương được chọn trước và hàm Signum được định nghĩa:

0,

0

0,

)(

S khi k

S khi

S khi k S

1 )

1 (

a x f

−

2.1.1.2 Tính bền vững của luật điều khiển

Trong điều kiện có sai số mô hình, luật điều khiển (2.11) luôn đưa được quĩ đạo pha của hệ thống về mặt trượt S(t)=0, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn.

Nếu S(t)>0 thì S(t)<0Nếu S(t)<0 thì S(t)>0 (2.12)

Nếu S(t)=0 thì S(t)=0Muốn xây dựng luật điều khiển thì đòi hỏi phải có mô hình Trong thực tế, mô hình

có sai số, ta phải chọn k để đảm bảo S (t) và S (t) luôn luôn trái dấu Chọn k đủ lớn để

át sai số mô hình, tuy nhiên không nên chọn quá lớn

2.1.1.3 Phương pháp chọn mặt trượt

Hàm S (t) ở (2.4) phải được chọn thỏa mãn hai điều kiện:

•S (t) không phụ thuộc tường minh vào u (t) nhưng S (t) phụ thuộc tường minh vào )

(t

u (bậc tương đối bằng 1)

• Phương trình vi phân (2.6) Hurwitz để nghiệm e(t)→0 khi t →∞.

2.1.1.4 Hiện tượng chattering (dao động tần số cao)

Trong thực tế, các khâu chấp hành trong hệ thống điều khiển luôn có thời gian trễ

Hệ quả là tín hiệu điều khiển u (t) không thể thay đổi giá trị một cách tức thời khi quĩ đạo pha vừa chạm mặt trượt để đảm bảo điều kiện (2.12), nếu S(t)=0 thì S(t)=0 Kết quả là quĩ đạo pha sẽ vượt qua mặt trượt một đoạn và sẽ quay về mặt trượt sau đó khi u (t) thay đổi giá trị theo (2.11) Quá trình được lặp lại và kết quả là quĩ đạo pha dao động quanh mặt trượt Hiện tượng này được gọi là hiện tượng chattering (xem Hình 2.3) gây ra các hiệu ứng không mong muốn như:

• Phát sinh sai số điều khiển

• Làm phát nóng mạch điện tử

• Mài mòn các bộ phận cơ khí

• Kích hoạt các mode tần số cao không mô hình hóa trước đó, làm giảm chất lượng điều khiển hoặc mất ổn định

Hình 2.3 Hiện tượng chattering

Để khắc phục hiện tượng chattering ta có thể thực hiện các cách sau:

• Giảm biên độ của tín hiệu điều khiển u (t) bằng cách giảm hệ số k trong (4.10) Tuy nhiên, điều này làm giảm tính bền vững của hệ thống điều khiển đối với sai số của

1

11

,

0,

1)(

γ

γγ

γγ

khi khi

khi sat

(2.13)

Việc thay hàm signum bởi hàm saturation nhằm mục đích giảm sự thay đổi tức thời

Hình 2.4 Hàm Saturation

2.1.2 Điều khiển ổn định hóa (regulation)

Điều khiển ổn định hóa là đưa véctơ trạng thái về véctơ hằng như mong muốn

Đối tượng điều khiển: Xét hệ thống phi tuyến

x x f x

),(),(

),(

2 1 2

1 2 2

2 1 1 1

1 2

1 2 2 1 1 1

x u x x g x x f x x f x x

S

∂

∂

−+

Trong đó, k là hằng số dương chọn trước.

Luật điều khiển được xác định bởi:

[ ( ) ( ) sign( )]

)(

1

1

f x g

(2.18)

2.2 Điều khiển trượt đa bậc cho hệ thống SIMO ( Single-Input-Multi-Output )

Một phương pháp điều khiển trượt đa bậc cho hệ thống SIMO đã được Dianwei Qian, Jianqiang Yi và Dongbin Zhao giới thiệu [11] Hệ thống này được cấu tạo từ nhiều hệ thống con Dựa trên cấu trúc vật lý đó của

hệ thống, các mặt trượt đa bậc được thiết kế như sau: đầu tiên, mặt trượt của mọi hệ thống con được định nghĩa, sau đó mặt trượt của hệ thống con sẽ được định nghĩa như mặt trượt lớp thứ nhất Mặt trượt lớp thứ nhất được dùng để xây dựng mặt trượt lớp thứ

hai với mặt trượt hệ thống con khác Quá trình này tiếp tục cho đến khi mặt trượt toàn bộ các hệ thống con được gọp thành một như hình 2.5

Hình 2.5: Cấu trúc đa bậc của các mặt trượt

Theo cấu trúc đa bậc, luật điều khiển tổng quát được suy ra bằng định lý Lyapunov Theo định lý, sự ổn định tiệm cận của toàn bộ mặt trượt hệ thống được chứng minh và thông số các đường biên của các mặt trượt hệ thống con được đưa ra Kết quả mô phỏng chỉ ra tính khả thi phương pháp điều khiển hệ thống SIMO

2.2 1 Điều khiển trượt đa bậc:

Xét các không gian trạng thái của hệ thống SIMO với n các hệ thống con có dạng

x x

u b f

x

x

x

u b f

x

x

x

n n n

n n

2

2 1

2

2 2 4

4 3

1 1 2

2 1

X = 1, 2, , 2 là vector biến trạng thái; và f và i b i (i =1,2, ,n) là các

hàm phi tuyến của vector trạng thái; và u là ngõ vào điều khiển đơn.

Phương trình (2.19) có thể biểu diễn các hệ thống khác với n , f và i b i

Nếu n=2, (2.19) sẽ là Pendubot, hệ thống con lắc ngược quay… Nếu n=3, nó có thể biểu thị một hệ thống con lắc ngược kép song song hoặc nối tiếp Nếu n=4, nó có thể được coi như là hệ thống con lắc ngược gồm ba thanh;…

Dựa trên cấu trúc vật lý, lớp hệ thống kích thích dưới có thể được chia thành nhiều

hệ thống con Ví dụ, hệ thống con lắc ngược gồm ba thanh có thể được chia thành bốn hệ thống con: thanh một, thanh hai, thanh ba và xe, như một hệ thống trong (2.19) được cấu

tạo n các hệ thống con Hệ thống con thứ i bao gồm các biến trạng thái x2i− 1 và x2i Biểu

diễn không gian trạng thái của nó được trình bày như sau:

x x

i i i

i i

2

2 1 2

c

Cho s i =0 ở (2.22), điều khiển tương đương của hệ thống con thứ i sẽ là:

( i i i) i eqi c x f b

Cấu trúc đa bậc của các mặt trượt được thiết kế theo sự miêu tả như sau Mặt trượt của một hệ thống con được chọn như mặt trượt lớp thứ nhất S Sau đó 1 S được dùng để 1xây dựng mặt trượt lớp thứ hai S với mặt trượt của hệ thống con khác Quá trình này vẫn 2tiếp tục cho đến khi tất cả các mặt trượt hệ thống con được nối lại s được định nghĩa như 1 1

S Cấu trúc đa bậc của các mặt trượt được chỉ ra ở hình 2.5

Trong hình 2.5, mặt trượt lớp thứ i bao gồm toàn bộ thông tin của các mặt trượt các lớp i−1 khác và mặt trượt hệ thống con thứ i Kết quả, mặt trượt lớp thứ i được định nghĩa như sau:

i i i

i S s

S =λ−1 −1 +

(2.24)

Với λi− 1 (i =1,2, ,n) là hằng số và λ0 = S0 =0

Do đó, luật điều khiển trượt lớp thứ i sẽ bao gồm thông tin của các luật điều khiển trượt các lớp thấp hơn thứ i −1 và luật điều khiển của hệ thống con thứ i Vì vậy, luật điều khiển trượt lớp thứ i được định nghĩa như sau:

swi eqi i

i S S S S s

Hơn nữa, (2.28) có thể được suy ra từ (2.24):

r i

r

i r j j

i a s

=  = 

=1(2.28)

i r j j i

i i

l

i r

r i

r j j eql

i l i

l r r

r i

r j j i

i r

i l swl r

l l eql r

i r j j i

i r

i r r r r i

r j j i

i

u b a u

b a S

u u

b a S

u b f x c a S

i i i i

r i

r j j

i i i i i

r

r i

r j j

eql i

l i

l r r

r i

r j

j i

l swl swi

b a

S S

k b

a

u b a u

u

1 1

1 1 1

=

n r

r n

r j j

n n n n

r n

r

n r j j

eqr r n

r

n r j j

n l eql n

l

swn swl

n

b a

S S

k b

a

u b a

u u

u u

1 1

1

1

1 1

sgn

Trong (2.33), chỉ bộ điều khiển chuyển mạch của bộ điều khiển trượt lớp cuối cùng làm việc Các điều khiển chuyển mạch của các lớp thấp hơn n−1 được gộp vào quá trình suy diễn Trong quá trình làm việc, khi bất kỳ trạng thái của một hệ thống con lệch từ mặt trượt hệ thống con của nó, điều khiển chuyển mạch của lớp cuối cùng sẽ đưa nó trở lại Do đó, ở chế độ trượt, hệ thống tiếp tục trượt trên mặt trượt lớp cuối cùng Hơn nữa, các trạng thái của mỗi hệ thống con tiếp tục trượt trên mặt trượt hệ thống con của chính nó

Định lý 1: xét lớp hệ thống kích thích dưới (2.19) Nếu luật điều khiển đưa ra là

(2.33) và mặt trượt lớp thứ i được định nghĩa như (2.24), sau đó S i ổn định tiệm cận.

Chứng minh: lấy vi phân V i( )t theo thời gian t trong (2.26), sau đó, từ (2.31), chúng ta thu được

( )

i i i i

i i i i i

i i i

S S

k

S S

k S

S S V

=

t

i i i i

t

i i i i i

i

d S S

k

d S S

k t

V V

0 2 0

20

τη

τη

lim

limlim

1 1 1

r t i r j j

i r

r i

r j

j t

r i

r

i r j

j t

i t

s a

s a

s a S

(2.40)

(2.40) trái lại với (2.38) là chúng ta thu được từ định lý 1 để giả sử (2.39) là sai và trường hợp trái lại (2.39) phải là đúng Vì thế, các mặt trượt của toàn bộ thiết lặp của các

hệ thống con là ổn định tiệm cận

Định lý 3: cho lớp các hệ thống kích thích dưới (2.19), đưa ra luật điều khiển (2.33),

định nghĩa mặt trượt hệ thống con thứ i và giả thiết rằng tất cả các biến trạng thái là vô

cùng nhỏ, chúng ta có đường biên các thông số c sẽ là i c i X f i x2i

0lim0

→

<

< , với X là vector trạng thái

Chứng minh: khi các trạng thái của hệ thống con thứ i vẫn trượt trên mặt trượt hệ

=

=+

)(

)(0

)(0

2

2 1 2

2 1 2

2 1 2

d u

b f x

c x

x

b x

x c s

a x

x c s

eqi i i i

i i

i i

i i

i i

i i

Giá trị riêng của (2.42) phải âm để đảm bảo sự ổn định của mặt trượt hệ thống con

thứ i Vì vậy, đường biên thấp hơn của c là i c i >0

2) Đường biên cao hơn của c i

Từ (2.41b) và (2.41d), tồn tại

2 1

Khi các trạng thái của hệ thống con thứ i vẫn trượt trên mặt trượt của chúng và hội

tụ về miền lân cận, hệ thống con này có thể được xem như một hệ thống autonomous Vì vậy, chúng ta có bất đẳng thức sau

i i

Từ phần 1 và phần 2, đường biên của thông số c sẽ là i 0<c i <c i0

Chương 3

MÔ HÌNH TOÁN HỌC PENDUBOT

Cấu trúc của một hệ thống Pendubot được chỉ ra trong hình 3.1 Hệ thống cơ khí kích thích dưới (under-actuated mechanical system) là một robot với một bộ truyền động

ở thanh 1 và thanh 2 là thanh quay tự do xung quanh thanh 1

Hình 3.1: Cấu trúc của Pendubot

Từ cấu tạo của Pendubot ta cần xây dựng mô hình toán học cho nó để phục vụ quá trình tổng hợp bộ điều khiển và mô phỏng trên máy tính một cách chính xác Khi xây dựng

mô hình toán học cho Pendubot ta có thể sử dụng nhiều phương pháp để tìm được phương

tŕnh động lực học Ở đây ta sử dụng một phương pháp thường được sử dụng đó là phương pháp Euler-Lagrange Phương trình Euler-Lagrange như sau:

Q q

L q

Mỗi biến được định nghĩa như sau

L : hàm Lagrange (Lagrange function),

T : động năng (kinetic energy ）

V : thế năng (potential energy）

2 1 1 1

2

12

1m v Iθ

Động năng của thanh thứ hai

( )2 2 1 2

2 2 2 2

2

12

2 1

1x l c cosθ

( 1 2)

2 1 1

2x =l cosθ +l c cosθ +θ

Đạo hàm các vị trí

1 1

2 1 1 2 2 1 1 2 1 2

2 2 1

2 2 2

2 1

2 1 2

2 1 1

2 2

2 2 2

2 1

1 cos 2

1 2

1 2

1

2

1 2

1 2

1 2

1

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

θ

θ θ θ

+ +

+

+ +

+

=

+ +

+ + +

+

=

I I

l m

l m l

m l

m

I I

r r m r

y x y

x

Thế năng của hệ thống

( 1 2)

2 2 1 1

2 1 1

1

2 2 1

1

sinsin

l m g

l

m

g r m g

r

m

V

c c

y y

Đặt các thông số hệ thống như sau

m

q

I l m l

2 1 3 2 1 2

2 2 2

2 1 2

2

2 1 3 2 1 2

2 2 2

2 1 2

2

1

1

sin sin

cos

cos 2

1 2

1

2

1

θθθ

θθθ

θθθθθθ

θ

+ +

− +

+ +

+ +

=

−

=

q q

q

q q

q q

L

( )

2 1 3 2

cossin

coscos

θθθ

∂

∂

2 1 3 1 2 2 2 2

sinθθθθ

θL =q  +q  +q 

∂

∂

( 2 2) 3 2 2 2 2 3 2 1

3

2 1 3 2 2 1 2 1 1 1

sincos

sin2

cos2

θθθθ

θθ

θθ

θθθ

θθθ

q

q q

q q

L

dt

d

−+

−+

++

1 3 1 2 2 2

2

sin

θθθ

2 2 2 3

2 2 1 3 2 2 3 2 1 2 3 2 1 1 1

coscos

sin

sin2

coscos

2

θθθ

θθ

θθθθ

θθ

θθ

θ

++

+

−

−+

++

q

q q

q q

q q L L

cossin

q q

q L L

+

2

1 1

w G

C

θ θ θ θ, θ

θ1

θ= , θ1 và θ2 là góc của thanh 1 so với phương ngang và góc của

thanh 2 so với thanh 1; θ và θ là vector vận tốc góc và vector gia tốc góc; [ ]T

0,1

τ

=

τ , τ1

là mô men xoắn bên ngoài đưa vào thanh 1; các phần D( )θ , C( )θ,  θ và G( )θ có thể được

trình bày với năm thông số {q1,q2,q3,q4,q5} như sau

3 2

2 3 2 2 3 2 1 22

21

12 11

cos

coscos

2

q q

q

q q q

q q D

D

D D D

θ

θθ

sinsin

2 1 3

2 2 1 3 2

2 3 22

21

12 11

θθ

θθθθ

C C

C C

2 1 5

1 4

21

11

cos

coscos

θθ

θθθ

g q

g q g

q G

=

2 2 5

1 2 1 1 4

2 1 2 3

2

2 2 2 2

1

2 1 2

2 1 1 1

c c c c c

l m q

l m l m q

l m q

I l m q

I l m l m q

Với m và 1 m là khối lượng của hai thanh; 2 l và 1 l là chiều dài của hai thanh; 2 l và 1 2

thanh 1 và thanh 2 về tâm của chúng; g là gia tốc trọng trường

x x

u x

x x

2 2 4

4 3

1 1 2

2 1

bf,

bf

X = 1, 2, 3, 4 được định nghĩa như một vector biến trạng thái, f và i b (i

0sin

0sin

sin

3 1 5

3 1 5

1 4

x x g q

x x g q x g

q

(3.3)Giải (x1, x3) từ phương trình trên (3.3) miêu tả bốn điểm thăng bằng của hệ thống

0,0

0,

1

πθ

θπ

,0

Hình 3.2: Bốn điểm cân bằng của hệ thống

Chương 4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN CHO PENDUBOT

4.1 Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ thống

Pendubot có cấu trúc là hai thanh quay trên hai điểm khớp Hai thanh có thể được coi như là hai hệ thống con: thanh 1 xem như hệ thống con thứ nhất và thanh 2 là hệ thống con thứ hai Dựa trên ý tưởng này để thiết kế bộ điều khiển trượt đa bậc Từ (3.2) các biến trạng thái (x1, x2) và (x3, x4) có thể lần lượt được coi như các trạng thái của hai hệ thống

con Và biểu thức không gian trạng thái của hai hệ thống con có thể suy ra như bên dưới

x x

1 1

2

2 1

x x

2 2

4

4 3

X = 1 2 3 4 là vectơ các biến trạng thái; f1( )X , f2( )X , b1( )X và

( )X

b2 là các hàm phi tuyến của các biến trạng thái; u là ngõ vào điều khiển.

Mục tiêu của luận văn là điều khiển Pendubot chuyển động ở điểm cân bằng ổn

định ban đầu có giá trị là =− 0 0

X và cân bằng hệ thống tại điểm bất ổn định đó như hình 4.1

Hình 4.1: Mô tả mục tiêu điều khiển của bộ điều khiển trượt

Gọi e là tín hiệu sai lệch, θ1 là tín hiệu ban đầu,

21

π

θd =

là tín hiệu mong muốn ta

có e=θ1−θ1d Lấy đạo hàm tín hiệu sai lệch theo thời gian e =θ1

Vậy

21

=

4 3 2 2 2 2 2

2 1

1 1 1

1 1

1

22

x x c c

s

x x

c c

e e c s

θθ

πθ

πθ







(4.2)