C ạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy, góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ñáy bằng o 60.. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.. Tính khoảng cách giữa BD và SC và tính bán kính mặt cầu n
Trang 1Câu I (2.0 ñiểm): Cho hàm số y 2x 1 (C)
x 1
+
=
−
1 Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ ñồ th ị (C) c ủ a hàm s ố
2 G ọ i M là m ộ t ñ i ể m di ñộ ng trên (C) có hoành ñộ xM > 1 Ti ế p tuy ế n t ạ i M c ắ t
hai ñườ ng ti ệ m c ậ n c ủ a (C) t ạ i A và B Tìm M ñể di ệ n tích tam giác OAB nh ỏ
nh ấ t (v ớ i O là g ố c t ọ a ñộ )
Câu II (2.0 ñiểm)
1 Gi ả i ph ươ ng trình: 4 4
4(sin x + cos x) + 3 sin 4x = + + 3 (1 tan 2x tan x)sin 4x.
2 Gi ả i h ệ ph ươ ng trình:
y 1 log (2x y) 4xy 4x 4x 4xy y 1 log y (1)
x, y
∈
Câu III (1.0 ñiểm)
Tìm hệ số của số hạng chứa 5
x trong khai triển thành ña thức của biểu thức:
P(x) = + + 1 x x
Cho hình chóp S.ABCD có ñ áy ABCD là hình ch ữ nh ậ t v ớ i AB = a, AD = 2a
C ạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng
ñáy bằng o
60 Trên ñoạn SA lấy một ñiểm M sao cho AM a 3
3
= , mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N
1 Tính thể tích khối chóp S.BCNM
2 Tính khoảng cách giữa BD và SC và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD
Câu V (1.0 ñiểm): Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm:
x + (m + 2)x + ≤ 4 (m 1) x − + 4x x ∈ ℝ
Câu VI (1.0 ñiểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC Biết ñường cao kẻ từ
ñỉnh B và ñường phân giác trong góc A lần lượt có phương trình là:
1: 3x 4y 10 0
∆ + + = ; ∆2: x − + = y 1 0 ðiểm M 0;2 thuộc ñường thẳng ( ) AB ñồng thời
cách C một khoảng 2 Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC
Câu VII (1.0 ñiểm)
Cho a, b,c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
(a 1)(b 1)(c 1)
+ + +
- Hết -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GD & ðT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối A+B
(Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát ñề)
Ngày thi 10/12/2011
http://kinhhoa.violet.vn
Trang 2Câu đ áp án đ iểm
I
(2.0 ựiểm)
1 (1.0 ựiểm) Khảo sát Ầ
Ớ Tập xác ựịnh: D=ℝ\ 1{ }
Ớ Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
( )2
3
x 1
−
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1)và (1;+∞)
- Hàm số không có cực trị
0,25
- Giới hạn và tiệm cận:
xlim y xlim y 2
→−∞ = →+∞ = ; tiệm cận ngang y=2
x 1 x 1
- Bảng biến thiên:
x −∞ 1 +∞
'
y − −
y 2 +∞
−∞ 2
0.25
Ớ đồ thị: y
2 I
O 1 x
0.25
2 (1.0 ựiểm) Gọi M là một ựiểm Ầ
Giả sử M x ; y( M M) ( )∈ C ; xM >1 Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M là:
( )2 ( M) ( )
M M
−
−
−
- Giao ựiểm của ( )d với tiệm cận ựứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
( M )
M
6
−
0,25
M M
AB
=
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ đỀ THI THỬ đẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối A+B
(đáp án Ờ thang ựiểm gồm 05 trang)
Trang 3Câu ð áp án ð iểm
I
(2.0 ñiểm) - Khoảng cách từ O ñến AB là: ( )
M M M M
d O; AB
( ) 2 ( ) b®t Cauchy
M M
∆
OAB
S∆ nhỏ nhất
( )
M
M
M
6
3
>
− =
2
0.25
II
(2.0 ñiểm)
1 (1.0 ñiểm) Giải phương trình:
ðiều kiện: cos x 0
( )
≠
∗
≠
Với ñiều kiện trên, phương trình ñã cho
2
0,25
6
π
12
π
⇔ = − + π hoặc 5 k
x
2 (2.0 ñiểm) Giải hệ phương trình:
ðiều kiện: x 1, y 0
≥ >
− >
(1)⇔log 2x y− − 2x y− + +1 2x y− =log y− y + +1 y
0,25
3
f t =log t− t + +1 t (với t>0)
- Ta có: '( )
( )
f t
⇒ ñồng biến trên (0;+∞) Do ñó (1)⇔f 2x y( − =) ( )f y ⇔ =x y
0,25
- Thay x=y vào (2)ta ñược: x2+ =5 x2− x 1−
2
x 1 1
− + + +
( ) 2x 2 1 ( )
x 1 1
− + + +
0,25
- Do x 1≥ nên
2
− +
5
x 1 1
− +
0,25
Trang 4III
(1.0 ñiểm)
Do ñó ( )∗ ⇔ − = ⇔ =x 2 0 x 2⇒y=2 (tmñk) Vậy nghiệm là: ( ) ( )x; y = 2;2
Tìm hệ số …
k 2 k i k i 2 k i k i
k 0 k 0 i 0 k 0 i 0
Số hạng chứa x trong khai triển ứng với k, i là nghiệm của hệ: 5
i, k , i k i 0
⇔
ℕ
k 4
=
=
i 2
k 3
=
=
0,5
Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 P x là: ( )
5 0 4 1 3 2
5 5 5 4 5 3
IV
(2.0 ñiểm)
1 (1.0 ñiểm) Tính thể tích khối chóp S.BCNM
S
H
M N P A D
B K C
E
- Có (SBC) (∩ ABCD)=BC, (SAB)⊥BC, (SAB) (∩ SBC)=SB,
(SAB) (∩ ABCD)=AB o
0,25
- Có SA=AB tan 60o =a 3
0,25
- Hạ SH⊥BMthì SH⊥(BCNM) (vì (BCNM) (⊥ SAB))
BM
∆
Vậy thể tích khối chóp S.BCNMlà:
3 S.BCNM BCNM
2 (1.0 ñiểm) Tính khoảng cách …
• Tính khoảng cách giữa BDvà SC
- Qua Ckẻ ñường thẳng ∆//BD, ∆ ∩AB=E, ∆ ∩AD=F⇒BD//(SEF )
Suy ra d BD, SC( )=d BD, SEF( ( ) )
- Kẻ AK⊥EF, AK∩BD=Q⇒Qlà trung ñiểm của AK
Có EF⊥(SAK) (⇒ SEF) (⊥ SAK ; SEF) ( ) (∩ SAK)=SK
Hạ AP⊥SK⇒AP⊥(SEF)
0,25
- Có BC//(SAD mà ) (BCM) (∩ SAD)=MN
MN
là hình thang
( )
BC⊥ SAB ⇒BC⊥BM Vậy ◊BCMNlà hình thang vuông tại B và M
F
Trang 5Câu ð áp án ð iểm
IV
(2.0 ñiểm) ( ( ) ) ( ( ) ) 1 ( ( ) ) 1
- Có B, Dlần lượt là trung ñiểm của AE và AF⇒AE=2a, AF=4a
AP
31
0,25
• Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
- Có SBC=SAC=SDC=90o⇒ các ñiểm B, A, D nằm trên mặt cầu ñkính SC 0,25 ⇒ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCDcó ñường kính là SC
Chú ý: Học sinh làm theo phương pháp tọa ñộ ñúng cho ñiểm tối ña
0,25
V
(1.0 ñiểm) Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm: 2 3 ( )
x +(m 2)x+ + ≤4 (m 1) x− +4x 1
ðiều kiện: x3+4x≥0⇒x x( 2 + ≥ ⇔ ≥4) 0 x 0
- Nhận thấy x=0không là nghiệm của ( )1 (vì 4≤0vô lý)
- Với x>0, chia hai vế của ( )1 cho x ta ñược:
.
0,25
x
= + (t 2≥ ) Khi ñó, ( )1 trở thành:
t 1
+ +
−
( )1 có nghiệm khi và chỉ khi ( )2 có nghiệm t/m:
2
t 2
t 1
≥
+ +
≥ ⇔ ≥
−
0,25
f t
t 1
+ +
=
− trên [2;+∞), tlim f t( ) , f 2( ) 8
Ta có: ( )
( ) ( )
2
2
t 1
= −
− −
2 3 +∞
'
f (t) − 0 +
f(t)
+∞
8
7
0,25
min f tt 2 ( ) 7
≥
VI
(1.0 ñiểm)
Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC
- Gọi M'là ñối xứng của ñiểm M qua ∆2 ⇒M'∈AC
Trang 6VI
(1.0 ñiểm)
ðường thẳng MM ñi qua M và vuông góc với ' ∆2⇒ pt '
MM : x y 2+ − =0
2 2
M 1;1 và vuông góc với ∆1nên nhận u 3;4( )
là 1 VTCP
⇒ phương trình tham số của AC là: A
1
∆
x 1 3t
= +
= +
M
Có A= ∆ ∩2 AC⇒A 4;5( ) B
2
∆ C
0,25
4
= ∩ ∆ ⇒ − −
0,25
- ðiểm C thuộc ñường thẳng AC nên C 1 3t;1 4t( + + )
4
− −
31 33
25 25
0,25
VII
(1.0 ñiểm)
Tìm giá trị lớn nhất …
dấu “ = ” xảy ra ⇔ a= = =b c 1,
và (a 1 b 1 c 1)( )( ) (a b c 3)3
27
+ + +
0,25
- ðặt t= + + +a b c 1⇒t>1 Khi ñó:
( )3
≤ −
+
Xét hàm số:
( )3
f(t)
= −
+ trên (1;+∞), ( )
( )
'
4 2
f t
= − +
+
'( )
x
1
0,25
- Bảng biến thiên: t 1 4 +∞
( )
'
f t + 0 −
f(t) 1
4
0 0
0,25
Từ bảng biến thiên ta có:
t 1
1
4
>
= = khi t=4 Suy ra: a= = =b c 1(dùng ñiều kiện dấu “ = ” xảy ra)
0,25
'
M