PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I.. 1điểm Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D.. Góc tạo bởi giữa mặt phẳng SBC với đáy bằng 450.. Tính thể tích khối chóp S
Trang 1SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN I NĂM 2012
Thời gian:180 phút không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2điểm) Cho hàm số 3 ( ) 2
y=x − m+ x + mx− m+ (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
2 Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm 9
1;
2
− −
lập thành
tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm
Câu II (2điểm)
1 Giải phương trình: ( ) 3
cos 1 2 3 sin 2 cos 3 4 cos 2
2
2 Giải hệ phương trình
x x y y
Câu III. (1điểm) Tính tích phân:
2 4
2 3
cos
x
π
π
−
−
= ∫
Câu IV. (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D Biết AB = 2a, AD =a, DC =
a (a > 0) và SA⊥ mặt phẳng đáy (ABCD) Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) với đáy bằng 450 Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SCD) theo a
Câu V (1điểm) Cho các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện 2 2 2
4
a + + +b c abc= Chứng minh rằng
3
a b+ + ≤c
II PHẦN RIÊNG (3điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có tâm 3 1;
2 2
I
Các đường thẳng AB, CD lần lượt đi qua
các điểm M(− −4; 1), N(− −2; 4) Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông đó biết B có hoành độ âm
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 ( )
9 2 4+ −x =m 2− +x 2+x
Câu VIIa (1điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt, cứ thế ở các
góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục toạ
độ) Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt cả hai trục toạ độ
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng
( )d :x− − =y 3 0 và có hoành độ 9
2
I
x = , trung điểm của một cạnh là giao điểm của (d) và trục Ox Tìm tọa
độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1 1
− và hai điểm A(1;1; 2 ,− ) (B −1; 0; 2 )
a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và B đồng thời song song với đường thẳng d
b Qua A viết phương trình đường thẳng ( )∆ vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới ( )∆ là nhỏ nhất
Câu VIIb (1điểm) Cho hai số phức liên hợp nhau z z1, 2 thoả mãn điều kiện 1
2 2
z
z là một số thực và
1 2 2 3
z −z = Tìm số phức z 1
Hết
http://kinhhoa.violet.vn
Trang 2ĐÁP ÁN TOÁN LẦN 1
Với m=0ta có hàm số y= −x3 3x2+4
* TXĐ: D=ℝ
* Sự biến thiên y'=3x2−6x, nên y'= ↔ =0 x 0 hoặc x=2
0,25
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞∞; 0)và (2;+∞), nghịch biến trên ( )0; 2
- Cực trị Cực đại ( )0; 4 ; cực tiểu ( )2; 0
- Giới hạn lim , lim
→−∞ = −∞ →+∞ = +∞
0,25
- Bảng biến thiên
y
0,25
1
Giao với Ox: (−1; 0 ; 2; 0) ( ) 4
Giao với Oy: ( )0; 4
Các điểm khác ( ) ( )1; 2 ; 3; 4
2
0,25
Ta có 2 ( )
y = x − m+ x+ m Hàm số có hai cực trị khi y’ đổi dấu hai lần, khi đó y’ = 0
có hai nghiệm phân biệt nên ( )2
∆ = − > ↔ ≠
0,25
Khi đó hai cực trị là ( ) ( 3 2 )
Theo bài ra ta có 3 2
1 9
2
2
m
m
+ − =
↔ = −
0,25
I
2
Khi đó dễ thấy A, B, C là tam giác nhận O làm trọng tâm 0,25
PT ↔cosx+2 3 sin 2 cosx x=cos 3x+4 sin 2x
2 6
k x
π
=
0,5
II
1
Vậy phương trình có các nghiệm , 2
k
Trang 3ĐK của hệ:
2 2
+ ≥
a= x + y b= y + x a≥ b≥
Khi đó ta có hệ 2 25 3
4 13
b
↔
=
4 3
a b
=
=
0,25
Với 4
3
a b
=
=
ta có
2
2
4 2
1 4
3
↔
+ =
2
2
1 4 3
= −
↔
0,25
hệ có hai nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1 và ( ) (x y; = − −5; 7) 0,25
2 Với
2
2
4 2
1 9
3
↔
+ =
2
+ − − = = − + = − −
Vậy hệ có 4 nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1 ,( ) (x y; = − −5; 7), ( )x y; = − +( 3 6; 2 6−2)và
( )x y; = − −( 3 6; 2 6+2)
0.25
* Ta có
2
0,25
=
0 3
π
−
0,25
=
0,25 III
= ( )0 ( )
4 0 3
7
12
π
−
Trang 4s
* Ta có AC=a 2 nên tam giác ACD vuông
tại C → góc ∠SCA=450do đó SA=a 2
- . 1
3
V = S SA trong đó
ABCD
a
S = AB+DC AD=
Vậy
.
2
S ABCD
D
C
0,5
* Ta có ( ( ) ) ( ( ) ) .
.
3 1
3
S DCB
BCD
V
S
IV
Trong đó
3
a
.
2
;
3 3
S DCB BCD
d B SCD
0,25
Giả sử (a−1)(b− ≥ ↔ + ≤1) 0 a b ab+1 khi đó ta chỉ cần chứng minh
c≤ −ab↔ +c ab≤
0,25
Theo giả thiết 4=a2+ + +b2 c2 abc≥2ab+ +c2 abc↔ ≥4 2ab c+ +2 abc
0,25
↔ + + − ≤ ↔ + − ≤ đpcm
Dấu bằng khi a= = =b c 1
0,25
V
Trong trường hợp ngược lại thì (b−1)(c− ≥1) 0hoặc (c−1)(a− ≥1) 0và làm tương tự 0,25
PHẦN RIÊNG
1 Theo chương trình chuẩn
Gọi M' 7; 2( )và N' 5;5( )là điểm đối xứng với M, N qua I ta có N'∈AB và M'∈CD
Nên đường thẳng AB có phương trình 2x−3y+ =5 0
0,25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB 1
; 2 2
H
→
0,25
Gọi A a b( ); khi đó ta có
2
2
2
3 2
− = −
hay
( )2;3
A khi đó B(−1;1)
0,25
1
Bằng cách đối xứng A, B qua I ta có được C(1; 2 ,− ) ( )D 4; 0 0,25
Điều kiện − ≤ ≤2 x 2
Đặt t= 2− +x 2+xkhi đó ta có 2≤ ≤t 2 2
0,25
Bài toán quy về tìm m để phương trình t2+ =5 mt trên 2; 2 2
VIa
2
Bằng việc xét hàm số ( ) x2 5
f x
x
+
= trên đoạn 2; 2 2
0,25
Trang 5Ta có kết quả 13 2
2 5
4
m
Để đoạn thẳng nối hai điểm được chon cắt cả hai trục thì hai đầu đoạn thăng đó phải ở góc
phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ bốn
0,25
Do vậy số cách chọn được số đoạn thẳng như vậy là C C21 41+C C31 51=23cách 0,25
Số cách chọn hai điểm bất kỳ C142 =91 0,25 VIIa
Vậy xác suất xẩy ra ở đề bài là: 23
91
0,25
2 Theo chương trình nâng cao
I có hoành độ 9
2
I
2 2
∈ − − = ⇒
Vai trò A, B, C, D là như nhau nên trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của (d) và
Ox, suy ra M(3;0)
D
12
3 2
ABCD ABC
S
AB
( )
⊥
∈
, suy ra phương trình AD: 1.(x− +3) (1 y− = ⇔ + − =0) 0 x y 3 0
Lại có MA = MD = 2
0,5
Vậy tọa độ A, D là nghiệm của hệ phương trình:
+ − =
− = ± =
4 1
x y
=
= −
.Vậy A(2;1), D(4;-1),
1
9 3
;
2 2
I
là trung điểm của AC, suy ra:
2
2
I
I
x x x
y
+
=
⇔
+ = − = − =
Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4)
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1)
0,5
VIb
2 b Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d,
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng đi qua A và H thỏa
mãn bài toán
0,5
Gọi z1= +a bi (a b, ∈ℝ khi đó ) z2 = −a bi
Từ điều kiện của bài toán ta lập hệ phương trình
Tìm được z1= ± +1 3i
Hoặc z1= ± −1 3i
……… Hết ………