Xỏc định m để đồ thị hàm số 1 cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.. Gọi E là trung điểm của AD.. Tớnh thể tớch khối chúp S.CDE và tỡm tõm, bỏn kớnh mặt cầ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HềA BèNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2011ư2012
ưưưưưưưưưưưư***ưưưưưưưưưưưưư Thời gian làm bài: 180 phỳt.
ĐỀ CHÍNH THỨC
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Cõu I (2,0 điểm). Cho hàm y = x3- 3 mx2 + 4 m 3 (1), với m là tham số thực.
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Xỏc định m để đồ thị hàm số (1) cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Cõu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trỡnh tan cot
sin
2 cos cos
2
sin
x
x
x
x
x
x
-
= +
2. Giải hệ phương trỡnh 2 ( )
3
ù
ớ
ù
.
-
=
1
0
2
2
2
4
dx
x
x
e
x
x
Cõu IV (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B
a
AD
a
BC
AB = = ; = 2 Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy (ABCD) và SA= a. Gọi E là trung điểm của AD.
Tớnh thể tớch khối chúp S.CDE và tỡm tõm, bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp khối chúp S.CDE.
Cõu V (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c = 3
4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
3
3
3
1
3
1
3
1
a
c
c
b
b
a
P
+
+ +
+ +
II. PHẦN RIấNG (3 điểm). Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).
1. Theo chương trỡnh chuẩn.
Cõu VI.a (2,0 điểm).
1. Cho đường trũn (C) nội tiếp hỡnh vuụng ABCD cú phương trỡnh (x-2)2+(y -3)2 = 10 . Xỏc định toạ
độ cỏc đỉnh A, C của hỡnh vuụng, biết cạnh AB đi qua điểm M(ư3; ư2) và điểm A cú hoành độ xA > 0.
2. Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M (0; 1; 2) - và N - ( 1;1;3) . Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cỏch từ điểm K ( 0; 0; 2 ) đến mp(P) đạt giỏ trị lớn nhất.
Cõu VII.a (1,0 điểm) Tỡm số phức z thỏa món : z2 +2 z z+ z 2 = 8 và z+ = z 2 .
2. Theo chương trỡnh nõng cao.
Cõu VI.b (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (D): x + y – 1 = 0, cỏc điểm A( 0; ư 1), B(2;1). Tứ giỏc ABCD là hỡnh thoi cú tõm nằm trờn đường thẳng (D). Tỡm tọa độ cỏc điểm C, D.
2. Trong khụng gian tọa độ Oxyz cho điểm (0;1;1), (1; 0; 3), ( 1; 2; 3) A B - C - - - và mặt cầu (S) cú phương trỡnh:
x +y +z - x+ z - = Tỡm tọa độ điểm D trờn mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD cú thể tớch lớn nhất.
Cõu VII.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh
2
2
log (log 1).log 3
ù
ớ
ợ
.
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
http://kinhhoa.violet.vn
Trang 2(Đáp án Thang điểm gồm 05 trang)
I.1 1. Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x 3 - 3x 2 + 4
+ TXĐ: R
+ Sự biến thiên: y’ = 3x 2 - 6x = 0 Û x = 0 và x = 2
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; 0) và (2; +¥)
Hàm số nghich biến trênkhoảng (0; 2)
Hàm số đạt CĐ tại xCĐ = 0, yCĐ = 4; đạt CT tại xCT = 2, yCT = 0
y” = 6x - 6 = 0 Û x = 1
Điểm uốn (1; 2)
0.25
Giới hạn và tiệm cận: 3
3
3 4
x x
LËp BBT:
0.25
§å thÞ:
0.25
I.2
2/. Ta có: y’ = 3x 2 - 6mx = 0 Û 0
2
x
=
é
ê =
ë
hàm số có cực đại và cực tiểu khi m ¹ 0.
0.25
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m 3 ), B(2m; 0) Þ uuur AB = (2 ; 4 m - m 3 )
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m 3 )
0.25
0
x
-∞
y
y
0
x
y
O
Trang 3y = x và I thuộc đường thẳng y = x
3
3
2
ï
Û í
=
ï
Giải ra, kết hợp đk ta có: 2
2
II.1
* ĐK:x
2
p
k
0.25
Giải (2)
3
2 3
p
p
k
x = + và x = p + k 2 p
0.25 Kết hợp đk pt có nghiệm là p 2 p
3 k
x = ± +
0.25
Biến đổi (1) về pt ẩn y: 2 ( )
y + y- x- y = - Û y=3 (L); y= - 1 x
0,25 Thay vào (2) 3 x-2+ x + = 1 3 .
VT là hàm đồng biến trên [ - +¥ 1; ) nên pt có nghiệm duy nhất x = 3 (hoặc dùng ẩn phụ)
0,25
2
1 2
2
x
-
Tính
0
x
III
Tính I 2 bằng cách đặt t = 4 - x 2 được 2
16
3 3
3
2
61
3 3
e
6
3
a
V =
0.50 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung
trực của SE. Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng
(ABMN) và trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE. Gọi D là đường thẳng qua I là trung điểm
của CD và song song với SA.Gọi K là trung điểm của AB thì KN //AM. KN và D đồng
Tam giác OIK vuông cân nên OI=IK=
2
3
2
a
AD
BC
=
+
;
2
2
2
;
2 IC CD a
a
IV
Ta có
2
11
4
11
4
2
4
9 2 2 2
2
2
OC
R
a
a
a
IC
OI
0.25
Trang 4O
C
E
I
M
N
K
A
B
S
V áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
z
y
x
9
z
1
y
1
x
1
9 xyz
3 xyz
3
z
1
y
1
x
1 )
z
y
x
(
3
3
+ +
³ + +
ị
=
³
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ + +
áp dụng (*) ta có
3
3
3
3
3
3
a
3
c
c
3
b
b
a
9
a
3
c
1
c
3
b
1
b
a
1
P
+ + + + +
³ +
+ +
+ +
=
0.25
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
3
3
3
a 3b 1 1 1
b 3c 1 1 1
c 3a 1 1 1
+ + +
+ + +
+ + +
0.25
3 + + + + + Ê ộở + + + ự ỷ Ê13ộờ4.3 4 +6ự ỳ = 3
Dấu = xảy ra
3
4
4
ỡ
ù
ợ
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi a = b = c = 1 / 4
0.25
VI.a1 ptđt AB đi qua M(ư3;ư2) cú dạng ax+by+3a+2b=0 ( a 2 +b 2 ≠0). Đuờng trũn (C) cú tõm
2 2
| 2 3 3 2 |
10 a b a b 10(a b ) 25(a b )
a b
+
0.25
Û (a+3 )(3b a b+ )=0Ûa= - 3 b hay b= - 3 a
TH1: AB: xư 3yư3 = 0, gọi A(3t+3; t)ị t > ư1 và do IA 2 =2.R 2 =20ị t = 1, t = ư1 (loại). 0.25
Trang 5TH2: AB: 3xy+7=0, gọi A(t; 3t+7) Þ t > 0 và do IA 2 =2.R 2 =20Þ t = 0, t = 2 (không thoả
Gọi nr = ( A B C , , )
0
A +B +C ¹ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng; Ax+B y( +1) +C z( -2) =0Û Ax+By+Cz+B-2C = 0 0.25
( ) ( P : 2B C x) By Cz B 2C 0
Khoảng cách từ K đến mp(P) là: ( , ( ) )
2 2
B
=
+ +
Nếu B = 0 thì d(K,(P)) = 0 (loại)
Nếu B ¹ 0 thì ( , ( ) ) 2 2 1 2 1
2
B
d K P
B
+ +
VI.a2
Dấu “=” xảy ra khi B = C. Chọn C = 1
2 2
;
z=x iy z- = z =z z=x + y (x, yÎR) 0.5
2
z + z z+ z = Û x +y = Û x +y =
Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = ± 1
VI.b1 Gọi I(a;b) là tâm của hình thoi. Vì I Î D nên a + b – 1 = 0 hay b = 1 – a (1).
0.25
Ta có: AI (a;b+1) và BI (a – 2;b – 1) mà ABCD là hình thoi nên AI ^BI suy ra :
Thế (1) vào (2) rồi rút gọn được: a 2 – 2a = 0 Û a = 0 va a = 2. 0.25 TH1: Với a = 0 thì I(0;1). Do I là trung điểm của AC và BD nên áp dụng công thức tọa độ
trung điểm, ta có:
î
í
ì
=
-
=
=
-
=
2
2
0
2
A
I
C
A
I
C
y
y
y
x
x
x
và
î
í
ì
=
-
=
-
=
-
=
1
2
2
2
B
I
D
B
I
D
y
y
y
x
x
x
;
TH2: Với a = 2 thì I(2;1). Tương tự ta được: C(4;1) và D(2;3).
Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D(2;1) hoặc C(4;1) và D(2;3).
VIb2. Ta có (S) : (x-1)2 +y2+(z +1)2 = 4 suy ra (S) có tâm I(1;0;1), bán kính R= 2
Và uuurAB=(1; 1; 4);- - uuur AC = - - - ( 1; 3; 4)
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là nr=éëuuur uuur AB AC , ù û = -( 8;8; 4) -
Suy ra mp(ABC) có phương trình: 8x 8(y 1) 4(z 1)- + - - - =0Û2x-2y z 1 0 + + = 0.25
Ta có 1 ( ; ( )).
3
V = d D ABC S nên V ABCD lớn nhất khi và chỉ khi ( ;(d D ABC )) lớn nhất . Gọi D D là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mp(ABC). Ta thấy với D là 1 điểm 1 2
bất kỳ thuộc (S) thì d D ABC( ; ( ))£ max{ d D( 1;(ABC)); d D( 2 ;(ABC )) } .
Đường thẳng D D đi qua I(1;0;1), và có VTCP là n r ABC =(2; 2;1) -
0.25
Trang 61 2
2
1
= +
ì
ï
= -
í
ï = - +
î
x t
y t
z t
.
Tọa độ điểm D1 và D2 thỏa mãn hệ:
3
t
y t
t
= +
=
ï
Þ ê
í
ê
î
; ; & ; ;
Ta thấy: d D( 1; (ABC))> d D( 2 ;(ABC )) . Vậy điểm 7; 4; 1
D æç - - ö ÷
VIIb
Điều kiện x 0
y 0
>
ì
í
>
î
khi đó hpt
2
2
2
2
2.log y log x 1
2.log y log x 1 log y
log y log x 1 log x 1
log 3
ï
î
3
=
ì
í
=
î
khi đó hpt trở thành:
2
í
= -
a 1
2 a 1 a 1 a 2a 1 0
b 0
b a 1
b a 1
ï
=
= -
= -
2
3
(t / m)
î
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ( ) 2;1
0.25
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định.
Hết