Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH = a.. Tính thể tích khối chóp S.. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a.. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và B
Trang 1ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
Câu 1: (2điểm) Cho hàm số
1
1 2 +
−
=
x
x y
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (D) : y = x – 1
Câu 2: (1điểm)
a) Giải phương trình : 3 cos 2 - sin ( x x ) + cos x ( 2sin x + = 1 ) 0
b) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:
=
= + 13
10
z
z z
Câu 3: (0,5điểm) Giải phương trình 52x− 2 −26.5x− 2 +1=0
Câu 4: (1điểm) Giải hệ phương trình :
2
y x y x y x xy y
Câu 5: (1điểm) Tính các tích phân: = ∫2
0
3 sin 2 sin
π
dx x x I
Câu 6: (1điểm) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a Trên cạnh
AB lấy điểm M sao cho
2
a
AM = , cạnh AC cắt MD tại H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SH = a Tính thể tích khối chóp S HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a
Câu 7: (1điểm) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, CD = 2AB Gọi I là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD Gọi M là điểm đối xứng của I qua A với 2 17
3 3
M ;
Biết phương trình đường thẳng DC : x + y – 1= 0 và diện tích hình thang ABCD bằng 12 Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương
Câu 8: (1điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):
x + y + − z x + y − z − = và mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = 0
a) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S) Viết phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xúc (S)
Câu 9: (0,5điểm)Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ Tính xác
suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có duy nhất 1 tấm mang số chia hết cho 10.
Câu 10: (1điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz.
3 4
x y x z y z+y z y x z x +z x z y x y ≤
-
Trang 2HẾT -ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN
Câu 1.
(2,0đ)
1 2 1
1
x y
x
−
= + Tập xác định: D = ¡ \{–1}
xlim y 2
xlim y1 ; lim yx 1
→− = −∞ →− = +∞ Tiệm cận đứng: x = − 1
0,25
2 ) 1 (
3 '
+
=
x
y > 0, ∀x∈D
Hàm số tăng trên (–∞;–1), (–1;+∞)
Hàm số không có cực trị
0,25
0,25
x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y
-2 -1
1 2 3 4 5
0,25
2 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) là :
2 1
1 1
x
x
x − = − ⇔
+ x2 – 2x = 0
0,25
⇔x = 0 hay x = 2 suy ra y = -1 hay y = 1 0,5 Vậy tọa độ giao đểm là (0; -1) hay (2; 1) 0,25
Câu 2 1 Giải phương trình: 3 cos 2 - sin ( x x ) + cos x ( 2sin x + = 1 ) 0
y 2
+∞
–∞
2
Trang 3
sin 2 3 cos 2 3 sin cos
sin 2 cos cos 2 sin sin cos cos sin
sin(2 ) sin( )
k
+ = − +
+ = − − +
¢
2
k k x
= − +
= +
¢
0,25
2 Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:
=
= + 13
10
z
z z
Giả sử z = x + yi =>z= x– yi (x, y∈IR)
Theo đề bài ta có :
= +
=
13
10 2
2
2 y x
x
⇔
±
=
=
12
5
y
x
0,25
Câu 3
(0,5đ)
Giải phương trình 52x− 2 −26.5x− 2 +1=0
Đặt t = 5x >0 Pt <=> t2–26t + 25 = 0 <=>
=
=
25
1
t
t
0,25
<=>
=
=
2
0
x
x
Câu 4
(1,0đ) Giải hệ phương trình :
2
y x y x y x xy y
Điều kiện : 0
1
>
+ ≥ −
y
x y ( vì y=0 không thỏa hpt)
Trang 4(1) ( 1) 2
1
− +
x
y x y
1
y x y
1
y x y
0,25
0,25
Xét A = x2 + (3y – 1 )x + 3y2 – 3y + 1
∆= -3(y - 1)2 ≤ ∀ ∈ 0 x R => A ≥ ∀ 0 x y R , ∈
(3) ⇔ x = -1
0,25
Thay x = -1 vào (2) ta có : y2+ y + = 5 5
1 17 2
1 17
( ) 2
=
⇔
=
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - 1 ; 1 17
2
0,25
Câu 5
(1,0đ) Tính các tích phân: = ∫2
0
3 sin 2 sin
π
dx x x I
I =∫2
0
4 cos sin
2
π
dx x
Đặt t=sinx => dt=cosxdx
0,25
▪ = ∫1
0
4
2 dt t
=
1
0
5 5
2t =
5 2
Trang 5Câu 6(1,0
điểm)
* Tính thể tích khối chóp S.HCD:
Hai tam giác vuông AMD và DAC có AM AD 1
AD = DC =2 nên đồng dạng, Suy ra ADH DCH · = · , mà ADH HDC 90 · + · = o⇒ DHC 90 · = o
∆ADC vuông tại D: AC2=AD2+DC2⇒AC a 5=
Hệ thức lượng ∆ADC: DH.AC = DA.DC
Suy ra: DC.DA 2a
DH
∆DHC vuông tại H: 2 2 4a
5
0,25
Do đó diện tích ∆HCD: HCD 1 4a2
Thể tích khối chóp SHCD: S.HCD 1 HCD 4a3
0,25
Tính khoảng cách giữa SD và AC:
Dựng HE SD ⊥
Ta có SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ AC và DH ⊥ AC , do đó AC ⊥(SHD)
Mà HE ⊂ (SHD) nên HE ⊥ AC
Từ đó HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC
nên HE d SD; AC = ( )
0,25
Trang 612 12 12 2a
HE 3
Vậy d SD;AC( ) HE 2a
3
Câu 7(1,0
điểm)
Ta có : tam giác MDC vuông tại D
=>(MD) : x – y + 5 = 0
=> D(-2; 3)
0,25
MD = 8 2
3 => HD =
3
4MD = 2 2
Gọi AB = a => SABCD = 3a.2 2
2 = 12 => a = 2 2
0,25
=>DC = 4 2
Gọi C(c; 1 –c ) => DC2 = 2(c + 2 )2 => c = 2 hay c = -6 (loại)=>C(2; -1)
0,25
=>B(3; 2)
Câu 8 (1,0 (S): 2 2 2
x + y + − z x + y − z − = và (P): x + y + z + 2015 = 0
(D) qua I(1; -2; 3) và có VTCP ur = (1; 1; 1;) có ptts :
x 1 t
y 2 t
z 3 t
= +
= − +
= +
điểm)
b) (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = 0 (D ≠ 2015)
( )
d I Q = ⇔ = − ± D
0,25
Trang 7Vậy (Q) : x + y + z − ± 2 4 3 0 = 0,25
Câu 9:
(0,5điểm)
Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong
đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10
Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có : C10
30 cách chọn
Ta phải chọn :
5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ có C155 cách chọn
1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có : C1 cc
4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy, có :
C4 12
0.25
Vậy xác suất cần tìm là : P(A) =
5 4 1
15 12 3 10 30
667
=
C C C C
0.25
Câu 10 (1,0
điểm) Chứng minh rằng :
3 4
x y x z y z+ y z y x z x +z x z y x y ≤
Ta có : xy + yz + zx = 3xyz 1 1 1
3
⇔ + + =
x y z
Với x >0; y > 0; z > 0 ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ; 1 1 1 1
4
+
x y x y ;x2 + y2 ≥ 2xy
0,25
4
xy(x y)
+
0,25
Chứng minh tương tự :
yz
0,25
Trang 83 3 2 2
zx
Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm