Câu III 1,0 điểm Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.. P
Trang 1ĐỀ 6 – TOÁN 12 – QUẢNG NAM
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y x 3
x 2
−
=
− có đồ thị (C) a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b/Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt
Câu II ( 3,0 điểm )
a/Giải bất phương trình ln (1 sin )2 2
2
π +
b/Tính tìch phân : I = 2(1 sin )cos dxx x
0
π +
∫
c/Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ex
y x
e e
= + trên đoạn [ln2 ; ln4]
Câu III ( 1,0 điểm )
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương
trình đó
1 Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x 2 2t
(d ) : y 31
z t
= −
=
=
và (d ) :2 x 2 y 1 z
− = − =
a/ Chứng minh rằng hai đường thẳng (d ),(d )1 2 vuông góc nhau nhưng không cắt nhau
b/ Viết phương trình đường vuông góc chung của (d ),(d )1 2
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Tìm môđun của số phức z 1 4i (1 i)= + + − 3.
2 Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
Trang 2Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α) : 2x y 2z 3 0− + − = và hai đường thẳng (d1 ) : x 4 y 12− = 2− = z1
− , (d2 ) : x 3 y 5 z 72+ = 3+ = −2
− a/ Chứng tỏ đường thẳng ( d1) song song mặt phẳng (α) và ( d2) cắt mặt phẳng (
α)
b/ Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với mặt phẳng (α) , cắt đường thẳng ( d1) và (d2 ) lần lượt tại M và N sao cho MN = 3
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Tìm nghiệm của phương trình z z= 2, trong đó z là số phức liên hợp của số phức z
.Hết
ĐÁP ÁN
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I
( 3,0 đ )
a) 2đ
b) 1đ
TXĐ Các giới hạn và tiệm cận
y’
Bảng biến thiên
Đồ thị
Phương trình hoành độ của (C ) và đường thẳng y mx 1 = + :
0.25 0.25 0.5
0.5
0.5
0.25 0.25
x −∞ 2 +∞
y ′ + +
y +∞
1
1
−∞
Trang 3x 3 mx 1 g(x) mx2 2mx 1 0 , x 1
x 2 − = + ⇔ = − + = ≠
Để (C ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⇔
0
(1) 0 0
0
1
2 1 0
m
m m g
m
m
m
m m
≠
′
∆ = − >
≠
⇔ −< ∨ > ⇔+ ≠ >
0.25
0.25
Câu II
( 3,0 )
a)
1
b) 1đ
e − log (x + 3x) ≥ ⇔ − 0 2 log (x + 3x) ≥ 0 (1)
Điều kiện : x > 0 x∨ < −3
(1)
2 2
2
log (x 3x) 2
x 3x 2
x 3x 4 0 4 x 1
+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
So điều kiện , bất phương trình có nghiệm :
4 x 3 ; 0 < x 1
− ≤ < − ≤
(cos sin cos ) (cos sin )
(2sin cos )
x
x
π
2. 2 1 1 2
2 2 2
c) 1đ Ta có : ex
y 0 , x [ln2 ; ln4]
x 2 (e e)
+ miny y(ln2) 2
2 e [ln2 ; ln4]= = + +
4 Maxy y(ln4)
4 e [ln2 ; ln4]= = +
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25
0.25 0.25
0.5
Trang 4Câu III
( 1,0 đ )
Vlt AA '.SABC a.a2 3 a3 3
Gọi O , O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp
ABC , A 'B'C'∆ ∆ thí tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm
I của OO’ Bán kính
a 3 a a 21
R IA AO OI ( ) ( )
Diện tích : Smc 4 R2 4 (a 21)2 7 a2
π
0.25
0.25
0.25
0.25
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
1 Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a
( 2,0 đ) :
a) 1đ
b) 1đ
Thay x.y.z trong phương trình của ( d1) vào phương trình của (d2 ) ta được :
2t 3 1 t (t 1) (t 4)
− = − = ⇔ = − ∧ = −
Vậy (d )1 và (d )2 không cắt nhau
Ta có : (d ) 1 có VTCP ur1= −( 2;0;1) ; (d ) 2 có VTCP
ur2 = −(1; 1;2)
Vì u ur r1 2 =0 nên (d )1 và (d )2 vuông góc nhau Lấy M(2 2t;3;t) (d )− ∈ 1 , N(2 m;1 m;2m) (d )+ − ∈ 2 Khi đó : MN (m 2t; 2 m;2m t)uuuur= + − − −
MN vuông với d1 ; d2
M(2;3;0), N( ; ; )
MN.u2 0
⇔ = ⇔ = − ⇒
uuuur r uuuur r
(MN) :x 2 y 3 z
⇒ = = là phưong trình đường thẳng cần tìm
0.5
0.5
0.25 0.5 0.25
Trang 5Câu V.a
( 1,0 đ ) Vì (1 i)− 3= − +13 3i 3i2 − = − − + = − −i3 1 3i 3 i 2 2i
Suy ra : z= − + ⇒ =1 2i z ( 1)− 2 +22 = 5
0.5
0.5
2 Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b
( 2,0 đ )
a)0,75đ
b)1đ
qua A(4;1;0) qua B( 3; 5;7) (d ):1 VTCP u (2;2; 1) , (d ):2 VTCP u (2;3; 2) ,
( )α có vtpt n (2; 1;2)r= −
Do u n 0 r r 1 = và A ( )∉ α nên ( d1) // (α)
Do u n r r 2 = − ≠ 3 0 nên ( d1) cắt (α) Phương trình qua (d )1
mp( ): ( ): 2x y 2z 7 0
// ( )
α
Gọi N (d ) ( )= 2 ∩ β ⇒N(1;1;3) ;
M (d )∈ 1 ⇒M(2t 4;2t 1; t),NM (2t 3;2t; t 3)+ + − uuuur= + − − Theo đề : MN2 = ⇔ = −9 t 1
Vậy
qua N(1;1;3) x 1 y 1 z 3
VTCP NM (1; 2; 2)
= − −
uuuur
0.5
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25
0.25
Câu V.b
( 1,0 đ) :
Gọi z = a + bi , trong đó a,b là các số thực ta có :
z a bi= − và 2z =(a2−b ) 2abi2 + Khi đó : z z= 2 ⇔ Tìm các số thực a,b sao cho :
2 2
a b a 2ab b
− =
= −
Giải hệ trên ta được các nghiệm (0;0) , (1;0) , ( 1 3; )
2 2
1 3 ( ; )
2 2
− −
0.25
0.25
0.5
