Tính góc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a 2,0 điểm 1.. Theo chương trình Nân
Trang 1Gv: Hoàng Văn Trường
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 181 )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
= + (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2.Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất
Câu II (2,0 điểm) 1 Giải hệ phương trình:
2.Giải phương trình sau: ( 6 6 )
8 sin x+cos x +3 3 sin 4x=3 3 cos 2x−9sin 2x+11.
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
1 2
1 2
1 (x 1 )e x x dx
x
+
+ −
Câu IV(1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a 2, BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng a3 Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng 3 15
27
a
Câu V (1,0 điểm) Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2(x2+y2) =xy+1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4
2 1
P xy
+
= + .
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a( 2,0 điểm)
1 Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 - 2x +6y -15=0 (C ) Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng: 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A;B sao cho AB = 6
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : 2 1
x− = y = z+
− − và
d2 : 7 2
6 9 12
x− =y− = z
− Xét vị trí tương đối của d1 và d2 Cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3 ;- 4;-2), Tìm tọa
độ điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho z , 1 z là các nghiệm phức của phương trình 2 2z2−4z+ =11 0 Tính giá trị của biểu thức A =
2
+
B Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b(2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2 1
4 3
x + y = và đường thẳng ∆:3x + 4y =12 Từ điểm M bất kì trên∆
kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3) Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia
Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
+
= +
+
= +
y y
x x
x y
y x
2 2
2
2 2
2
log 2 log 72 log
log 3 log log
………Hết………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2Họ và tờn thớ sinh: ……… Số bỏo danh: ………
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ TOÁN (ĐỀ181)
I
* Sự biến thiên
x y x y
→+∞ = →−∞ = ; tiệm cận ngang: y = 2
x→ −lim( 1)−y= +∞; limx→ −( 1)+ y= −∞; tiệm cận đứng: x = - 1
- Bảng biến thiên
( 1)
y x
= >
1đ
2
Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0≠- 1) thì 0
0 0
2 1 1
x y x
+
= +
Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì
MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | 0
0
2 1 1
x x
+ + - 2| = | 0
1 1
x + |
Theo Cauchy thì MA + MB ≥ 2 0
0
1
x 1
1
x
+
+ =2
⇒ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0 = 0 hoặc x0 = -2.Như vậy ta có hai điểm cần tìm là
M(0;1) và M’(-2;3)
0,5
0,5 1
4
x cos x+ = − x
Thay (1) vào phơng trình (*) ta có :
8 sin( 6 x cos x+ 6 ) +3 3 sin 4x=3 3cos x2 −9sin 2x+11
2
2
2
3
8 1 sin 2 3 3 sin 4 3 3 2 9sin 2 11 4
3 3 sin 4 3 3 2 6sin 2 9sin 2 3
3 sin 4 3 2 2sin 2 3sin 2 1
0,5
0,5
Trang 3Gv: Hoàng Văn Trường
3 2 2sin 2 1 (2sin 2 1)(sin 2 1)
2sin 2 1 0 2sin 2 1 (2)
3 2 sin 2 1 0 sin 2 3 2 1 (3)
Gi¶i (2) : 12 ( )
5 12
k Z
Π
= + Π
∈
= + Π
; Gi¶i (3) 4 ( )
7 12
k Z
Π
= + Π
∈
KÕt luËn : 2
Ta có: 2x3−y3 =(2y2−x2) (2y x− ⇔) x3+2x y2 +2xy2−5y3=0
Khi y=0 thì hệ VN
Khi y≠0, chia 2 vế cho y3 ≠ ⇒0
+ + − =
Đặt t x
y
= , ta có : t3+2t2+ − = ⇔ =2t 5 0 t 1
1
y x
y
=
=
0,5
0.5
III
I =
1 2
(x 1 )e x x dx e x x dx (x )e x x dx I I
Tính I1 theo phương pháp từng phần I1 =
2
2 2
1 1
2 2
2
x
5 2 3 2
⇒ =
0,5đ
0,5
IV
Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE
Ta có ACD cân tại A nên CD AE
Tương tự BCD cân tại B nên CD BE
Suy ra CD (ABE) CD BH
Mà BH AE suy ra BH (ACD)
Do đó BH = và góc giữa hai mặt phẳng
(ACD) và (BCD) là
0,5
0,5
H
D E C B
A
Trang 4Thể tích của khối tứ diện ABCD là
Mà
Khi đó : là 2 nghiệm của pt: x2 - x + = 0
2 2 2 2
3 5 3
a AE
a DE
hoặc
2 2 2 2
5 3 3
a AE a DE
trường hợp vì DE<a
Xét BED vuông tại E nên BE =
Xét BHE vuông tại H nên sin =
Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là
V
5
xy+ = x y+ − xy ≥ − xy⇒xy≥ −
3
xy+ = x y− + xy ≥ xy⇒xy≤ ĐK: 1 1
5 t 3
− ≤ ≤
Suy ra : ( )
2
P
2 2
7 '
2 2 1
t t P
t
− −
=
+ , ' 0P = ⇔ =t 0,t = −1( )L
P− =P =
và ( )0 1
4
KL: GTLN là 1
4 và GTNN là
2
15( HSLT trên đoạn
1 1
;
5 3
−
)
0,5
0,5
1 Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5
Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4
Mặt khác IH= d( I; Δ )
Vì Δ ⊥ d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng
0,5
I
A H B
Trang 5Gv: Hoàng Văn Trường
VIa
d(I; Δ )=
vậy cú 2 đt thỏa món bài toỏn: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
2 Véc tơ chỉ phơng của hai đờng thẳng lần lợt là: uur1(4; - 6; - 8) uuur2( - 6; 9; 12)
+) uur1 và uuur2 cùng phơng
+) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2 Vậy d1 // d2
*) ABuuur = ( 2; - 3; - 4); AB // d1
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1 Ta có: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B
Khi A1, I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A1B và d
Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B
*) Gọi H là hình chiếu của A lên d1 Tìm đợc H 36 33 15; ;
29 29 29
A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95; ; 28
29 29 29
I là trung điểm của A’B suy ra I 65; 21; 43
29 58 29
0,5
0,5
VIa
Giải pt đó cho ta được cỏc nghiệm: 1 1 3 2 , 2 1 3 2
Suy ra
2 2
2
1 2
11
4
z z
+
= = +
0,5 0,5
VIb
1 Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)
Tiếp tuyến tại A có dạng 1 1 1
4 3
xx yy
+ = Tiếp tuyến đi qua M nên 0 1 0 1 1
4 3
x x y y
+ = (1)
Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt
4 3
xx + yy = do M thuộc ∆ nên 3x0 + 4y0 =12 ⇒4y0 =12-3x0
⇒ 4 0 4 0
4
4 3
xx + yy = ⇒ 4 0 (12 3 )0
4
xx + y − x =
Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi qua với mọi M thì
(x- y)x0 + 4y – 4 = 0 { 0 { 1
4x y− =y 4 0 x y=1
⇒ − = ⇒ = Vậy AB luôn đi qua điểm cố định F(1;1)
0,5
0,5
2 Mặt phẳng cắt 3 tia Ox,Oy,Oz tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) có dạng
( ): x y z 1, , ,(a b c 0)
• Do M∈( )α nên: 1 2 3 cos 3 6
a b c+ + = ≥ abc ⇒ ≥
3 1
6
9
a
c
=
=
Mặt phẳng cần tìm: 6x+3y+2z-18=0
0,5
0,5
Trang 6ĐK: x,y > 0
- hệ phương trình ⇔ ( + )+ = +
+
= +
y y
x x
x y
y x
2 2
2
2 2
2
log 2
log 3 log 2 3
log 3 log log
- Suy ra: y = 2x
2log13 1
2 −
=
x
2log23 1
=
y
0,5
0,5
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp
án quy định.