Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD.. Biết AC 2a,BD 4a , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN, ĐỀ 04-BN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1* (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 2 3
x x y
a*) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b*) Tìm m để phương trình 4 2 2 3
x m
x có 4 nghiệm phân biệt
Câu 2 (1,0 điểm)
a*) Giải phương trình: 2cos2x8sinx 50.
b*) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: ( 2 i)( 1 i) z 4 2i Tính môđun của z
Câu 3 (0,5 điểm) Giải bất phương trình: 3.9x 10.3x 30
Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
( ,x y R)
Câu 5* (1,0 điểm) Tính tích phân I =
2 0
2 )sin cos
(
xdx x
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC 2a,BD 4a , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3; 4), đường thẳng
0
1
:xy
d và đường tròn ( ) : 2 2 4 2 4 0
x
C Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (C) Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B là các tiếp điểm) Gọi (E) là đường tròn tâm E và tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn (E) có chu vi lớn nhất
Câu 8* (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 1 ; 3 ; 2 ), đường thẳng : 21 14 2
x
d và mặt phẳng (P) : 2x 2yz 6 0 Tìm tọa độ giao điểm của
d với (P) và viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P)
Câu 9* (0,5 điểm) Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau Chọn ngẫu
nhiên một số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa
hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ)
Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 1 2 2 x 1 2 2 ,y 0 ,z 0 và
1
x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 )
(
1 )
(
1
z y z
x y x
P
-HẾT -ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Trang 2Câu Nội dung Điểm Câu 1
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
1) Tập xác định : D R
2) Sự biến thiên:
a, Giới hạn :
b, Bảng biến thiên: y’ = 4x3 4x
, y’ = 0 x = 0, x 1
x - - 1 0 1 +
y' - 0 + 0 - 0 +
y
+ - 3 +
- 4 - 4
0,25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- 1; 0) và ( 1 ; ), hàm số nghịch biến trên
mỗi khoảng ( ; 1 ) và (0; 1)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = - 3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = , y1 CT = y( ) = - 4.1
0,25
3) Đồ thị: Đồ thị (C) của hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, giao với Ox tại 2
điểm ( 3; 0)
0,25
b) (1,0 điểm)
Ta có x4 2x2 m 3 x4 2x2 3 m (1) 0,25
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y m 0,25 Theo đồ thị ta thấy đường thẳng y cắt (C) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi m
3
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi m ( 4 ; 3 ) 0,25
Câu 2
(1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
0 5 sin 8 2 cos
0 3 sin 8 sin
2
1 sin
) ( 2
3 sin
x
Z
2 6
5 2 6
k
0,25
b) (0,5 điểm)
Đặt zabi, (a b, R), khi đó za bi Theo bài ra ta có
i i
b a
i bi
a i
2
3 1 2
1 4 3
b a b
a
Do đó z 1 3i, suy ra 1 2 3 2 10
t
t x
Bất phương trình đã cho trở thành 0,25
1 1
3
y
x O
4
3 3
Trang 3(0,5 điểm) 3
3
1 0 3 10
t
3
1
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S [ 1 ; 1 ]
0,25
Câu 4
(1,0 điểm) Điều kiện:
2
2
y
x Gọi hai phương trình lần lượt là (1) và (2) ( 2 )
) 1 ( 3 1 3 3
3 6
y x
( 2 ) 3 3 2 ( 1 ) 3 3 ( 1 )
y
Xét hàm số f(t) t3 3t
có 2 R
'( ) 3 3 0,
(3) f x y( )f y( 1) x y y 1,(y1)
Thế vào (1) ta được 2 2 1 2 1
y x
1 1 0
) 1 1 (
0 1 1 2
) 1
2
0,25
Do đó hệ đã cho tương đương với
0 ) 4 ( 1 ) 2 ( 2 0 1 1
2 2 2 2 2
2 2 2
x x x x x y x y y y x
0 ) 1 )(
1 (
0 )
1 ( 0 1 3 )
4
2
5 1 2
5 1
x
x
Do x > 0 nên
2
5
1
2
5 1
x
0,25
Với
2
5 1 2
5
2
5 1 2
5
Vậy hệ đã cho có nghiệm
2 5 1
; 2 5 1 )
;
2 5 1
; 2 5 1 )
; (x y
0,25
Câu 5
(1,0 điểm)
2
0 2 2
0
sin cos sin
xdx x
xdx x
2 0
2 2
2 0
xdx x
I xdx x
Đặt cos cos sin 1
cos sin 2
2 0
1
x xdx x I v dx xdx dv x
3
1 3
cos )
(cos cos
sin
0
3 2
0 2 2
0
2
x x
xd xdx
x
Vậy
3
4 3
1
Câu 6
(1,0 điểm)
Gọi OACBD , H là trung điểm của AB, suy ra SH AB
Do AB (SAB) ABCD) và
) (
) (SAB ABCD nên
)
( ABCD
SH
+) Ta có OAAC a a
2
2
a a BD
2
4
5
4 2 2 2
OA
0,25
+)
2
15 2
3 a AB
2
4 4 2 2
1
2
1
a a a BD
AC
S
A
D
O E
H K
Trang 4Thể tích khối chóp S ABCD là :
3
15 2 4 2
15 3
1
3
a a
S SH
Ta có BC // AD nên AD //(SBC) d(AD,SC) d(AD, (SBC)) d(A, (SBC))
Do H là trung điểm của AB và B = AH (SBC) nên
)).
( , ( 2 )) ( ,
Kẻ HEBC,HBC, do SH BC nên BC (SHE)
Kẻ HK SE,KSE, ta có BCHK HK (SBC) HKd(H, (SBC))
0,25
5
5 2 5 2
4
2
a
a AB
S BC
S BC
S
91
1365 2
91
15 2 60
91 15
4 4
5 1 1
1
2 2
2 2 2 2
a a
HK a
a a
SH HE
Vậy
91
1365 4
2 ) , (AD SC HK a
0,25
Câu 7
(1,0 điểm)
Đường tròn (C) có tâm I( 2 ; 1 ), bán kính R 3 Do M d nên M(a; 1 a)
Do M nằm ngoài (C) nên 2 9 ( 2 ) 2 ( ) 2 9
IM
0 5 4
Ta có 2 2 2 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 9 2 2 4 5
MA
Do đó tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình:( ) 2 ( 1 ) 2 2 2 4 5
x
0 6 6 ) 1 ( 2 2 2 2
0,25
Do A, B thuộc (C) nên tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình
0 4 2 4
2 2
y x y
Trừ theo vế của (1) cho (2) ta được (a 2 )x ay 3a 5 0(3)
Do tọa độ của A, B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình của đường thẳng
đi qua A, B
0,25
+) Do (E) tiếp xúc với nên (E) có bán kính R1 d(E,)
Chu vi của (E) lớn nhất R1 lớn nhất d(E, ) lớn nhất
Nhận thấy đường thẳng luôn đi qua điểm
2
11
; 2
5
K
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên
2
10 )
,
d E EH EK
Dấu “=” xảy ra khi H K EK
0,25
2
3
; 2
1
EK , có vectơ chỉ phương u (a;a 2 )
Do đó EK EK u 0 ( 2 ) 0
2
3 2
1
a a a 3 (thỏa mãn (*)) Vậy M 3 ; 4là điểm cần tìm
0,25
Câu 8
(1,0 điểm) d có phương trình tham số
t z
t y
t x
2 4
2 1
Gọi Bd(P), do B d nên B( 1 2t; 4 t; 2t) 0,25
Do B (P) nên 2 ( 1 2t) 2 ( 4 t) 2t 6 0 t 4 B( 7 ; 0 ; 8 ) 0,25
Trang 5Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên I( 1 2a; 4 a; 2a)
Theo bài ra thì (S) có bán kính RIAd(I, (P))
2 2 2 2
2 2
1 2 2
6 2 ) 4 ( 2 ) 2 1 ( 2 ) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 (
a a
a
3
16 4 9 2
a a
13
35
; 1 0
175 110 65
) 16 4 ( ) 9 2 9 (
0,25
+) Với 1 ( 1 ; 3 ; 2 ), 4 ( ) : ( 1 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) 2 16
a
+) Với
13
116
; 13
70
; 13
87
; 13
83 13
35
a
169
13456 13
70 13
87 13
83 :
(
2 2
2
0,25
Câu 9
(0,5 điểm)
Xét các số có 9 chữ số khác nhau:
- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên
- Có 8
9
A cách chọn 8 chữ số tiếp theo
Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9 8
9
A = 3265920
0,25
Xét các số thỏa mãn đề bài:
- Có 4
5
C cách chọn 4 chữ số lẻ
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên
có 7 cách xếp
- Tiếp theo ta có 2
4
A cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0
- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại
Gọi A là biến cố đã cho, khi đó ( ) 7 2 6 !
4
4
C A
Vậy xác suất cần tìm là
54
5 3265920
302400 )
0,25
Câu 10
1 )
1 (
1 )
1 (
1 )
1 ( 8
1 )
1 (
1 )
1 (
1
x z
y x
y z
P
Ta sẽ chứng minh y z yz
1 )
1 (
1 )
1 (
1
2 2
Thật vậy: 2 2 ( 1 )[( 1 )2 ( 1 )2] [( 1 )( 1 )]2
1
1 )
1 (
1 )
1 (
yz z
2 2
2 2 2 )(
1 ( yz z yz y zyzy
2 2
2 )
( ) 1 )(
( 2 ) 1 (
) 1 ( 2 ) )(
1 ( ) 1 ( 2 ) 1 )(
( 2
y z zy y
z zy
yz zy z
y zy yz
zy y
z
0 4 ) ( ) 1 ( 2
4 2 ) )(
1
0 ) 1 ( )
yz y z yz (hiển nhiên đúng)
Dấu “=” xảy ra khi y z 1
0,25
Ta lại có yz yz
) 1 ( 4
) 1 ( 2
2 2
2
x x
z y
4 4
) 1 ( 1
1 1
1 )
1 (
1 )
1 (
1
x x
yz z
2
2 8 ( 1 )
1 )
1 ( 4
4
x x
P
Do 1 2 2 x 1 2 2 nên ( 1 ) 2 [ 0 ; 8 )
Đặt ( 1 ) 2 [ 0 ; 8 )
t
t
8
1 4
4
0,25
Trang 6Xét
t t t
f
8
1 4
4
)
( với t [ 0 ; 8 )
2 2
2 2
240 72 3 ) 8 (
1 )
4
(
4
)
(
'
t t
t t t
t t
f
20
; 4 0
240 72 3
0
)
(
t
Bảng biến thiên
t 0 4 8
f’(t) - 0 +
f(t)
8 9
4 3
0,25
Do đó
4
3 ) (
4
3
1 3 1
1 4 ) 1 ( 2
z y z
y x z y x
Vậy
4
3 minP khi x 3 ,yz 1
0,25
