Tính thể tích của khối lăng0 trụ theo a và cosin của góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng 'A BC.. Chứng minh rằng P cắt S theo một đường tròn, tính diện tích hình tròn đó.. Tìm n,biết
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1* (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2
y x mx m (1), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho điểm I (1; 0) là trung điểm của
đoạn AB.
Câu 2* (1,0 điểm):
a Giải phương trình: 2sinx1 cos x sin 2 x
b Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 z i z z2i
Câu 3* (0,5 điểm):Cho các số thực ,a b thỏa mãn: 0 1
a b
Tính giá trị của biểu thức
2 3
loga log a a log b
b
Câu 4: ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2 2
2 3
2 2
2 3
2 1
3
2 1
3
y xy x
y yx y
x xy y
x xy x
Câu 5*: (1,0 điểm) Tính tích phân:
0
2
1(x 1) 3 2x x2
dx I
Câu 6 (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a ,
60 0
ABC Góc giữa đường thẳng A C' và mặt phẳng (ABC bằng ) 45 Tính thể tích của khối lăng0
trụ theo a và cosin của góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng ( 'A BC )
Câu 7 (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I Trung điểm cạnh AB là M(0;3), trung điểm đoạn CI là (1;0) J Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D
thuộc đường thẳng : x y 1 0
Câu 8* (1 điểm): Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I và diện tích bằng 100 Khoảng cách từ
I đến (P) bằng 3 Chứng minh rằng (P) cắt (S) theo một đường tròn, tính diện tích hình tròn đó.
Câu 9* (0,5 điểm): Trong không gian cho n điểm phân biệt (n,n4), trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng Tìm n,biết rằng số tứ diện có đỉnh là 4 trong n điểm đã cho nhiều gấp 4 lần số tam
giác có đỉnh là 3 trong n điểm đã cho.
Câu 10 (1 điểm): Cho các số thực dương x y, thỏa mãn 3 ln 1 9 3 3
3
x y
xy
Tìm giá trị lớn
M
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……….…….….….; Số báo danh:………
Trang 2THÀNH SỐ 2
(Hướng dẫn chấm có 4 trang)
Môn: TOÁN
1 a 1,0 điểm
Khi m 1 hàm số trở thành y x 3 3x22
* Tập xác định:
* Chiều biến thiên: Ta có 2
' 3 6 ;
y x x
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 0 và 2; ;nghịch biến trên
0; 2
0.25
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 0 y CĐ 2, hàm số đạt cực tiểu tại
2 CT 2
x y
* Giới hạn: Ta có
y
xlim và lim .
y
x
0.25
* Bảng biến thiên:
0.25
6
4
2
-2
-4
y
Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm (1; 0), (1 3; 0)
0.25
b 1,0 điểm
Ta có y' 3 x2 6mx
2
x
Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị khi và chỉ khi ' 0y có hai nghiệm phân biệt
0
m
0.25
Tọa độ các điểm cực trị là 2 3 2
(0; 4 2), (2 ; 4 4 2)
Điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi 13 2
m
0.25 Giải hệ, ta được m 1 Vậy m 1 là giá trị cần tìm 0.25
x
'
y
y
0
2
2
Trang 32sinx 1 cosx 2sin cos x x
cos 1 2sin 1 cos (1 2sin ) 1
sin
2
x
x
0.25 -Với cosx 1 x k2 , k
-Với
2
5 2
2 6
b 0.5 điểm
Gọi z = x + yi (x, y )
Ta có: 2z i z z2i
2 x2y12 2 2 y2
4
a
b
1
a
b
loga a b loga a 6logb b
b
2
loga a b.a 6 loga a 6 1
b
4 Từ (1) và (2) ta có
i y xy x
x xy y
i y yx y x
xy
x3 3 2 1 ( 3 3 2 1 ) 2 2 2 ( 2 2 2 )
) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 3
3 x yi xy i y i x yi i i y xy i x i
) 2
)(
1 ( 1 ) ( ) (xyi 3 xyi i i y2 xyii2x2
2
3 ( ) 1 ( 1 )( ) )
(xyi xyi i i y ix
0.25
i z
z
z
1 ; 1 ; 1
5
0
2
1(x 1) 3 2x x2
dx
0
2
1( 1) ( 1)( 3)
1
=
0.25
Trang 4dx x
x x
0
2
1 2
1
3 )
1 (
1
0.25
Đặt
1
3 1
x
x t x
x
x
) 1 (
4 2
0.25
) 3 7 ( 2
1 2
1 3 7
I A'
A
B'
B
C'
C H
K
cos 60
a
AB BC ABC BC a AC a Góc giữa
'
A C và (ABC) là A CA ' 450 AA ' AC 3 a
0.25
Vậy thể tích khối lăng trụ là
3
' .
a
V AA AB AC 0.25
Gọi I là tâm hình chữ nhật ABB’A’, H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, K là
hình chiếu vuông góc của A trên A’H Ta có
'
BC AH
BC AK
BC A A
Do đó
AK A BC Vậy IK là hình chiếu của IA lên ( ' A BC ), hay góc giữa AB’ và mặt
phẳng ( ' A BC ) là AIK
0.25
Dễ thấy AB' AA'2A B' '2 2a IA a Ứng dụng hệ thức trong tam giác
vuông, ta có
AK AA AH AA AB AC a Suy ra
3 5
a
Xét tam giác vuông AKI ta có 3 2
AK
AI
0.25
Trang 5
H
N
M
I
D
C J
Gọi N là trung điểm CD và H là tâm hình chữ nhật AMND Gọi (C) là đường tròn
ngoại tiếp hình chữ nhật AMND Từ giả thiết, suy ra NJ//DI, do đó NJ vuông góc với
AC, hay J thuộc (C) (vì AN là đường kính của (C)) Mà MD cũng là đường kính của
(C) nên JM vuông góc với JD (1)
0.25
D thuộc nên D t t ( ; 1) JD t ( 1; t 1), JM ( 1;3)
Theo (1)
0 1 3 3 0 2 ( 2; 1)
JD JM t t t D
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD Dễ thấy
2 2
4
a
DM a a
2; 3
- Với ( 2;3)A B(2;3) I(0;1) C(2; 1) J(1;0)(thỏa mãn)
0.25
- Với
A B I C J
Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là ( 2;3), (2;3), (2; 1), ( 2; 1).A B C D
(Học sinh lấy cả 2 nghiệm, trừ 0.25 điểm)
0.25
8 ( 1 điểm)
Theo công thức tính diện tích mặt cầu, ta có Smc 4 R2 100 R 5. 0.25
Gọi H, r thứ tự là tâm và bán kính đường tròn (C), ta có
Vậy diện tích hình tròn (C) là: S = r2 16 0.25
Số tứ diện có đỉnh là 4 trong n điểm đã cho là 4
n
C , số tam giác có đỉnh là 3 trong n
điểm đã cho là 3
n
Theo giả thiết, ta có
4!( 4)! 3!( 3)!
n n
0.25
Từ giả thiết ta suy ra ln(x y 1) 3( x y 1) ln(3 ) 3.3 xy xy Xét hàm số 0.25
Trang 6( ) ln 3
g t t t trên (0;), ta có g t'( ) 1 3 0
t
với t 0, suy ra ( )g t đồng biến
trên (0;), từ đó (g x y 1)g xy(3 ) x y 1 3xy (*)
Theo (*) ta có 3 xy 1 x y 2 xy Đặt t xy 3 t 2 t 1 0 t 1.
2
.
4
Theo Cô si 1 1 12
2
x y xy (4) Từ (2), (3), (4) ta có 5 1 12
t M
t
0.25
Xét hàm số ( ) 5 12
4
t
f t
t
trên [1;+ ) , ta có
2
5.4 (5 1)8 2 5
, suy ra f t ( ) nghịch biến trên [1;+ ) ,
bởi vậy max [1; )
3
2
0.25
Hết
