Đề tự luyện thi THPT Quốc gia môn toán số 18

Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH = a.. Tính thể tích khối chóp S.. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a.. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và B

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015

Câu 1*: (2điểm) Cho hàm số

1

1 2







x

x y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (D) : y = x – 1

Câu 2*: (1điểm)

a) Giải phương trình : 3 cos 2 - sin  x x   cos x  2sin x  1   0

b) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:









13

10

z z z

Câu 3*: (0,5điểm) Giải phương trình 52x2  26.5x2 10

Câu 4*: (1điểm) Giải hệ phương trình :

2







Câu 5*: (1điểm) Tính các tích phân: 

2

0

3 sin 2 sin



dx x x

I

Câu 6: (1điểm) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a Trên cạnh

AB lấy điểm M sao cho

2

a

AM  , cạnh AC cắt MD tại H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

SH = a Tính thể tích khối chóp S HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a

Câu 7: (1điểm) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, CD = 2AB Gọi I là giao điểm của hai

đường chéo AC và BD Gọi M là điểm đối xứng của I qua A với 2 17

3 3

M ; 

  Biết phương trình đường thẳng DC : x + y – 1= 0 và diện tích hình thang ABCD bằng 12 Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương

Câu 8*: (1điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

2 2 2 2 4 6 2 0

x  y  z  x  y  z   và mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = 0

a) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S) Viết phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xúc (S)

Câu 9*: (0,5điểm)Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ Tính

xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có duy nhất 1 tấm mang

số chia hết cho 10.

Câu 10: (1điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz.

4

x y x z y z y z y x z x z x z y x y 

-

HẾT -ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN

Câu 1.

(2,0đ)

1 2 1

1

x y

x







Tập xác định: D =  \{–1}

xlim y 2

xlim y1 ; lim yx 1

       Tiệm cận đứng: x   1

0,25

2

) 1 (

3 '





x

y > 0, xD

Hàm số tăng trên (–;–1), (–1;+)

Hàm số không có cực trị

0,25

0,25

x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y

-2 -1

1 2 3 4 5

0,25

2 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) là :

2 1

1 1

x

x x



  

Câu 2 1 Giải phương trình: 3 cos 2 -sin  x x   cos x  2sin x  1   0

y 2

+

–

2

sin 2 3 cos 2 3 sin cos

sin 2 cos cos 2 sin sin cos cos sin

sin(2 ) sin( )

k











2

k k x







 







0,25

2 Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:







13

10

z z z

Giả sử z = x + yi => z = x– yi (x, yIR)

Theo đề bài ta có : 









13 10 2

2

2 y x x

 





 12 5

y

Câu 3

(0,5đ)

Giải phương trình 52 2 26.5 2 1 0





x

Đặt t = 5x >0 Pt <=> t2–26t + 25 = 0 <=>







 25

1

t

t

0,25

<=> 







 2

0

x

x

Câu 4

(1,0đ) Giải hệ phương trình :

2







Điều kiện : 0

1







 



y

x y ( vì y=0 không thỏa hpt)

1

x

0,25

2 2 1

1

1

0,25

Xét A = x2 + (3y – 1 )x + 3y2 – 3y + 1

= -3(y - 1)2   0 x R => A   0 x y R , 

(3)  x = -1

0,25

Thay x = -1 vào (2) ta có : y2 y   5 5

1 17 2

1 17

( ) 2















y

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - 1 ; 1 17

2

0,25

Câu 5

(1,0đ) Tính các tích phân:





2

0

3 sin 2 sin



dx x x I

I =



2

0

4 cos sin

2



dx x

Đặt t=sinx => dt=cosxdx

0,25

▪ 

1

0

4

2 dt t

=

1 0

5

5

5 2

Câu 6(1,0

điểm)

* Tính thể tích khối chóp S.HCD:

Hai tam giác vuông AMD và DAC có AM AD 1

AD DC 2 nên đồng dạng, Suy ra ADH DCH    , mà ADH HDC 90      DHC 90   

ADC vuông tại D: AC2AD2DC2 AC a 5

Hệ thức lượng ADC: DH.AC = DA.DC

Suy ra: DC.DA 2a

DH

5

0,25

Do đó diện tích HCD: HCD 1 4a2

Thể tích khối chóp SHCD: S.HCD 1 HCD 4a3

0,25

Tính khoảng cách giữa SD và AC:

Dựng HE SD 

Ta có SH  (ABCD) nên SH  AC và DH  AC , do đó AC (SHD)

Mà HE  (SHD) nên HE  AC

Từ đó HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC

nên HE d SD;AC   

0,25

12 12 12 2a

HE 3

Vậy d SD;AC  HE 2a

3

Câu 7(1,0

điểm)

I A

B

M H

Ta có : tam giác MDC vuông tại D

=>(MD) : x – y + 5 = 0

=> D(-2; 3)

0,25

MD = 8 2

3 => HD =

3

4MD = 2 2

Gọi AB = a => SABCD = 3a.2 2

2 = 12 => a = 2 2

0,25

=>DC = 4 2

Gọi C(c; 1 –c ) => DC2 = 2(c + 2 )2 => c = 2 hay c = -6 (loại)=>C(2; -1)

0,25

=>B(3; 2)

Câu 8 (1,0

điểm) (S): 2 2 2

x  y  z  x  y  z   và (P): x + y + z + 2015 = 0

(D) qua I(1; -2; 3) và có VTCP u = (1; 1; 1;) có ptts :

x 1 t

y 2 t

z 3 t

 





 



  

b) (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = 0 (D  2015)

 

Câu 9:

(0,5điểm)

Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong

đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10

Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có : C10

30 cách chọn

Ta phải chọn :

5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ có C155 cách chọn

1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có : C1 cc

4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy, có :

C4 12

0.25

Vậy xác suất cần tìm là : P(A) =

5 4 1

15 12 3 10 30

667



C C C C

0.25

Câu 10 (1,0

điểm) Chứng minh rằng :

3 4

x y x z y z y z y x z x z x z y x y 

Ta có : xy + yz + zx = 3xyz 1 1 1

3

Với x >0; y > 0; z > 0 ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ; 1 1 1 1

4



x y x y ;x2 + y2 ≥ 2xy

0,25

4

xy(x y)



           

(1)

0,25

Chứng minh tương tự :

yz

0,25

3 3 2 2

zx

Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm