Mặt bên SBC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai bánh.. Tính xác suất biến cố trong năm lần lấy ra đó có bốn lần lấy được 2
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn Toán.– Thời gian làm bài: 180’
Câu 1* (2đ): Cho hàm số: 2 1
1
x
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Định m để đường thẳng (d): y = mx + 3 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm A, B sao cho tam giác OMN vuông tại O
Câu 2* (1đ): a) Giải phương trình lượng giác: cos2x 3 cosx3sinx 3sin2x0
b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: 1 1
z i i
Tính môđun của số phức w = 1 + I + z
Câu 3* (0,5đ): Giải phương trình: 2
2 2
x
x
Câu 4 (1đ): Giải hệ phương trình:
12
3 12
3
x
y
Câu 5* (1đ) Tính tích phân:
9
xdx
x
Câu 6* (1đ): Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d)
trên mặt phẳng (P): x + y – z +1 =0.
Câu 7 (1đ): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C): x 12 y 12 25 và điểm M (7,3) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho MA = 3MB
Câu 8 (1đ): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a; AC = 2a Mặt bên
(SBC) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc giữa hai mặt (SAB) và (ABC) bằng 30 0 Tính thể tích khối chóp SABC và khoáng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a
Câu 9* (0,5đ): Có 5 hộp bánh, mỗi hộp đựng 8 cái bánh gồm 5 cái bánh mặn và 3 bánh ngọt Lấy ngẫu
nhiên từ mỗi hộp ra hai bánh Tính xác suất biến cố trong năm lần lấy ra đó có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt.
Câu 10 (1đ): Cho các số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3 Tính góc giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT
C
âu
Điểm
1a
Cho hàm số 2 1
1
x y x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Tập xác định: D\ 1
3
y ' x D
(x 1)
xlim y 2
y 2 là tiệm cận ngang
x 1
x 1
lim y
lim y
x 1 là tiệm cận đứng
BBT:
Hàm số nghịch biến trên ( ,1) và (1,) Hàm số không có cực trị
Điểm đặc biệt:
Vẽ đồ thị:
0,25
0,5
0,25
Trang 3Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
1b b) Định m để đường thẳng d: y = mx + 3 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm M, N sao cho
OMN vuông tại O.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2x 1
mx 3
x 1
2x 1 (mx 3)(x 1)
mx2(1 m)x 4 0 (*)
(C) cắt d tại hai điểm phân biệt m 02
m 14m 1 0
m 0
m 7 4 3
m 7 4 3
Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình (*)
1 2
m 1
x x
m 4
x x
m
Khi đó OM (x ;mx 1 13)
, ON (x ;mx 2 23) OMN
vuông tại O nên
2
OM.ON 0 (1 m )x x 3m(x x ) 9 0
2
4(1 m ) 3m(m 1)
9 0
m 3 5 (n)
m 3 5 (n)
0,25
0,25
0,5
2a a) Giải phương trình lượng giác: cos x2 3cos x3sin x 3sin x2 0
cos x 3 cos x 3sin x 3sin x 0
Trang 43 3 cos x 3 sin x
3 sin x cos x 0 (1)
3 sin x cos x 3 (2)
(1) tan x 1
3
6
(2) sin x sin
2 5
6
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là x k
6
hay x k2
2
0,5
0,5
2b
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức:
2 2 Tính môđun của số phức w = 1 + i + z
z 3 i 3 i
1
3 i 35 12 2
3 i 2
72 49
37 37
w
0,25
0,25
3
2
1 2
2
Điều kiện: x 3 x 7
log (x 2x 3) log 0
x 3
2
2(x 2x 3).(x 3)
x 7
2
(x 2x 3).(x 3)
1
x 7
x 5x 2x 2 0
Trang 5(x 1)(x 4x 2) 0
2
x 1
x 4x 2 0
x 1
So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 2 6.
0,25
4
Bài 4 Giải hệ phương trình:
12
y 3x 12
y 3x
Điều kiện: x > 0 và y > 0
12
y 3x 12
y 3x
y 3x x
y 3x y
(2) – (1): 12 3 1
y 3x y x
12 9 1
y 3x y x
y26xy 27x 2 0
y 3x
y 9x
So với điều kiện, nhận y = 3x
(*) x 4 2 3 y 12 6 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm x 4 2 3
y 12 6 3
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 6Bài 5 Tính tích phân
9
4
xdx I
x 1
Đặt t x t2 x 2tdt dx
Đổi cận: x = 4 t 2
x = 9 t 3
2
3
2
0,25
0,5
0,25
6 Bài 6 Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
dx y 1 z 1
trên mặt phẳng (P): x + y – z +1 =0.
PTTS của
x 2t
d : y 1 t
z 1 3t
Thay x, y, z của phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P)
ta được:
2t – 1 +t – 1 – 3t + 1 = 0 Phương trình vô nghiệm d //
(P).
Lấy điểm A(0; 1;1) d
Gọi là đường thẳng qua A và vuông góc với mp(P)
x t : y 1 t
z 1 t
Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) H (P)
Thay x, y, z của phương trình vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
t – 1 + t – 1 + t + 1 = 0 1
t 3
H ; ;
3 3 3
Gọi d’ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P) d 'qua H và song song với d
0,25
0,5
Trang 7x 3 2t 2
d ' : y 3 t
2
z 3 3t
7 Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
x 1 2 y 1 2 25 và điểm
M(7;3) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A ,B
sao cho MA = 3MB.
Đường tròn (C) có tâm I(1;1) và bán kính
R = 5
Ta có IM = 2 10 R M nằm ngoài
đường tròn (C).
Gọi H là trung điểm AB mà MA = 3MB
B là trung điểm MH
Ta có :
IH2 20 IH 2 5 Đường thẳng d qua M(7;3) và có VTPT n(a;b) với a2b2 0:
a(x 7) b(y 3) 0 ax by 7a 3b 0
Ta có:
a b 7a 3b
a b
3a 2b 5 a b
2a23ab 2b 2 0 b
a 2
a 2b
b
a d : x 2y 13 0
2
a 2b d : 2x y 11 0
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 82a Mặt bên (SBC) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy Biết góc giữa hai mặt (SAB) và (ABC) bằng 30 o Tính thể tích khối chóp
SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a.
Tính V S.ABC
Gọi H là trung điểm BC
Do SBC cân tại S nên SHBC.
Ta có:
(SBC) (ABC) (SBC) (ABC) BC SH (ABC)
SH BC
Gọi K là trung điểm của AB HK // AC mà ACAB
HK AB
và SHAB (do SH(ABC))
AB (SHK) AB SK
(SAB) (ABC) AB
SK AB
HK AB
Góc giữa (SAB) và (ABC) là SKH 30 o
3
Vẽ hình chữ nhật BKEC CE // AB mà AB (SHK) CE (SHK)
d(AB,SC) = d(AB,(SEC)) = d(K,(SEC)) = 2 d(H,(SEC))
Kẻ HF SEvà HF CE HF (SEC)
Ta có: 12 12 12 32 12 42
HF HE SH a a a
a HF 2
= a
2 d(AB,SC) = a
0,25
0,25
0,25
0,25
9 Bài 9 Có 5 hộp bánh, mỗi hộp đựng 8 cái bánh gồm 5 cái bánh mặn và 3 bánh
ngọt Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai bánh Tính xác suất biến cố trong năm lần lấy ra đó có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt.
Gọi là không gian mẫu của phép thử.
Gọi A là biến cố “Trong năm lần lấy ra có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt”.
0,25
Trang 92 5 2 4 2
n( ) (C ) , n(A) 5.(C ) C
2 4 2
2 5 8
5.(C ) C 9375
(C ) 1075648
0,25
10 Bài 10 Cho các số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3 Tính giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
P
Xét
P
3 3b 3ca 3c 3ab 3a 3bc
Ta có 3b 3ca b(a b c) 3ca b(a b c) ca 2ca mà a 2 c 2 2ac
nên 3b 3ca ab b 2 bc ca a 2 c 2
Chứng minh tương tự ta có: 3c 3ab ac c 2 bc ab a 2 b 2
3a 3bc a ab ac bc c b
Khi đó
1 a bc b ca c ab
3 ab b bc ca a c
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy MinP 3 khi a = b = c = 1
0,25
0,5
0,25