Xác định rõ góc và tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.. Viết phương trình mặt phẳng đó.
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1* (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 (m + 1)x + 5 m + 1)x + 5 )x + 5 x + 5 m2.
1)x + 5 )x + 5 Khảo sát hàm số khi m = 2;
2)x + 5 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu và điểm I(m + 1)x + 5 0 ; 4)x + 5 thẳng
Câu 2* (1,0 điểm)
1)x + 5 Giải phương trình: 3sin x cos x 2 cos 2 x sin 2 x 0
2 Gọi z z1)x + 5 ; 2 là 2 nghiệm phức của phương trình sau: z2 z 1)x + 5 0,(m + 1)x + 5 z C )x + 5
Tính A= z1)x + 5 z2
Câu 3* (0,5 điểm) Giải bất phương trình sau:
1)x + 5 log x log x 2 log 6 x
Câu 4 (1,0 điểm)
x y x y
x y x y
Câu 5* (1,0 điểm)
Tính tích phân sau:
3
0
3
x
dx
x x
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (m + 1)x + 5 ABC)x + 5 Hai mặt phẳng (m + 1)x + 5 SCA)x + 5 và (m + 1)x + 5 SCB)x + 5 hợp với nhau một góc bằng 600 Xác định rõ góc và tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Câu 7 (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC,phương trình đường
thẳng DM: x y 2 0 và C 3; 3 Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d : 3x y 2 0 ,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D.
Câu 8* (1,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(m + 1)x + 5 1)x + 5 ;-1)x + 5 ;1)x + 5 )x + 5 và hai đường thẳng (m + 1)x + 5 )x + 5 : 1)x + 5
d Chứng minh: điểm M, (m + 1)x + 5 d)x + 5 , (m + 1)x + 5 d’)x + 5 cùng nằm trên một mặt phẳng Viết phương
trình mặt phẳng đó.
Câu 9* (0,5 điểm)
Cho tập A 0;1)x + 5 ;2;3;4;5 , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
Trang 2Cõu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z 0thoả món x+y+z > 0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
3
1)x + 5 6
x y z
P
x y z
ĐÁP ÁN
2 Cú y’ = 3x2 (m + 1)x + 5 m + 1)x + 5 )x + 5 Hàm số cú CĐ, CT y’ = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt
3(m + 1) > 0 m + 1) > 0 ) > 0 m > 1) > 0 (m + 1) > 0 *)
0,25
Phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là
2
2 (m + 1)x + 5 1)x + 5 )x + 5 5 3
y m x m
0,25
Cỏc điểm cực đại, cực tiểu và điểm I(m + 1)x + 5 0 ; 4)x + 5 thẳng hàng
2
1)x + 5
m m
(m + 1)x + 5 1)x + 5 +2sinx)x + 5 (m + 1)x + 5 sinx - cosx +1)x + 5 )x + 5 = 0
0,25
2
1)x + 5
sinx 2
2
7 2 6 2 6 3 2 2 2
x k
k
0,25
2
1)x + 5 8 1)x + 5 8
;
1)x + 5 8 3
3
3 ĐK: 0x6 BPT log 22 x24x log 62 x2
Trang 3Hay: BPT 2 x2 4 x 6 x 2 x2 1)x + 5 6 x 36 0
0.25
Vậy: x 1)x + 5 8 hay 2 x
So sánh với điều kiện KL: Nghiệm BPT là 2x6 0.25
4
Đặt
3
u x y x y u y u v
x y u v
x y v x u v
v x y
Kết luận nghiệm là (m + 1)x + 5 - 3; 2)x + 5 0,25
Khi đó hệ ban đầu trở thành:
u v
v u v
thế v = 5 – 3u vào phương trình (m + 1)x + 5 *)x + 5 giải
5
Đặt u = 2
x u x udu dx ; đổi cận: 0 1)x + 5
Ta có:
2
x x
1)x + 5
2
1)x + 5
3 6ln
2
6
Gọi H là trung điểm của AB SH AB SH ABC
0,25
cân tại K AKH 60 0
0
KH
0,25
Trong SHC vuông tại H,đường cao
KH có 1)x + 5 2 1)x + 5 2 1)x + 5 2
KH HC HS thay
a KH
2 3
0,25
Trang 4và a 3
HC
2
vào ta được a 6
SH
8
7
Gọi A t; 3t 2 .Ta có khoảng cách:
hay A 3; 7 A 1)x + 5 ;5 .Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM nên chỉ có A 1)x + 5 ;5
thoả mãn
Gọi D m;m 2 DMthì AD m 1)x + 5 ;m 7 ,CD m 3;m 1)x + 5
Do ABCD là hình vuông
m 5 m 1)x + 5 DA.DC 0
m 1)x + 5 m 7 m 3 m 1)x + 5
DA DC
m 5
Hay D 5;3 AB DC 2; 6 B 3; 1)x + 5
Kết luận A 1)x + 5 ;5 ,B 3; 1)x + 5 , D 5;3
0,5
0,5
8
*(m + 1)x + 5 d)x + 5 đi qua M1)x + 5 (m + 1)x + 5 0; 1)x + 5 ;0)x + 5 và có vtcp u 1)x + 5 (m + 1)x + 5 1)x + 5 ; 2; 3)x + 5
(m + 1)x + 5 d’)x + 5 đi qua M2(m + 1)x + 5 0;1)x + 5 ; 4)x + 5 và có vtcp u 2 (m + 1)x + 5 1)x + 5 ; 2;5)x + 5
*Ta có u u1)x + 5 ; 2 (m + 1)x + 5 4; 8; 4)x + 5 O
, M M 1)x + 5 2 (m + 1)x + 5 0;2;4)x + 5
Xét u u M M1)x + 5 ; 2 1)x + 5 2 1)x + 5 6 1)x + 5 4 0
(m + 1)x + 5 d)x + 5 và (m + 1)x + 5 d’)x + 5 đồng phẳng
0,5
*Gọi (m + 1)x + 5 P)x + 5 là mặt phẳng chứa (m + 1)x + 5 d)x + 5 và (m + 1)x + 5 d’)x + 5 => (m + 1)x + 5 P)x + 5 có vtpt n (m + 1)x + 5 1)x + 5 ; 2; 1)x + 5 )x + 5
và đi qua M1)x + 5 nên có phương trình x 2 y z 2 0
*Dễ thấy điểm M(m + 1)x + 5 1)x + 5 ;-1)x + 5 ;1)x + 5 )x + 5 thuộc mf(m + 1)x + 5 P)x + 5 , từ đó ta có đpcm
0,5
9 -Gọi số cần tìm là abcde a 0
-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: 2
5
A cách
3 vị trí còn lại có A43cách
0.25
Trang 5Suy ra có 2 3
-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.
Xếp 3 có 4 cách
3 vị trí còn lại có A43 cách
Suy ra có 3
4
4.A số Vậy số các số cần tìm tmycbt là: A A52 43- 3
4
4.A = 384
0.25
10
Trước hết ta có: 3 3 3
4
x y
x y (m + 1)x + 5 biến đổi tương đương)x + 5 x y 2 x y 0
0.25
Đặt x + y + z = a Khi đó
(m + 1)x + 5 với t = z
a, 0 t 1)x + 5 )x + 5
0.25
Xét hàm số f(m + 1)x + 5 t)x + 5 = (m + 1)x + 5 1)x + 5 – t)x + 5 3 + 64t3 với t 0;1)x + 5 Có
9
0.25
Lập bảng biến thiên
0;1)x + 5
64 inf
81)x + 5
t
M t
GTNN của P là 1)x + 5 6
0.25
Chú ý : Học sinh làm cách khác mà vẫn đúng vẫn được điểm tối đa