Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C.. SA vuông góc với đáy ABCD.. Gọi M là trung điểm CD và góc giữa hai mặt phẳng SBM và ABCD là 60o.. CMR BM SAC và tính thể tích khối chóp S.BCM th
Trang 1KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: Toán (đề 31)
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất 2015!(Kèm đáp án chi tiết tại)!
https://www.facebook.com/profile.php?id=100005223169289
Câu I (2 điểm Cho hàm số
3 2
6
x
y x mx
1) Với 1
2
m Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2) Tìm các số thực m để hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu trên [-1;1]
Câu II (1 điểm) Giải phương trình: 2 sin 2 s inx-cos3 2 cos 2 cos
x
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
0
x
dx
Câu IV (1 điểm) Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB 2a, ADa 2 SA
vuông góc với đáy ABCD Gọi M là trung điểm CD và góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và
(ABCD) là 60o CMR BM (SAC) và tính thể tích khối chóp S.BCM theo a
Câu V (1 điểm) Cho a b, , a b, 0 CMR: 2 3 2 3 1 1
Câu VI (1 điểm)Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(4;2), B(-3;1), C là điểm có hoành độ dương
nằm trên đường thẳng (d):x+y=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABC bằng 25
Câu VII (1 điểm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz choA 2; 2; 2 , B 0; 1; 2 , C 2; 2; 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với BC và các trục y’Oy, z’Oz tại M và N khác với gốc tọa độ sao cho ON 2OM
Câu VIII (1 điểm Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân lập một tổ công tác gồm 5 người
Hỏi có bao nhiêu cách lập được tổ công tác gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó
và 3 công nhân tổ viên
Câu IX (1 điểm) Giải hệ phương trình: 2
2
1
CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !
Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Trang 2Hướng dẫn
I:(4,0 đ)
1.a)2,0đ
a)khi
3 2
3
x
m y x x
1 Tập xác định: D
2 Sự biến thiên của hàm số
* Giới hạn tại vô cực của hàm số
3
x
* Lập bảng biến thiên 2
9
1 ( 1)
9
2 (2)
2
bảng biến thiên
9 4 y'
-1
-
- 9 2
+
+
2 -
y x
Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 1) và (2;+ );
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;2);
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 =>yct= , Hàm số đạt cực đại tại x=0=>ycđ=
3 Đồ thị
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; 1/2)
Trang 3ĐTHS đi qua (-1; 9/4), (-5/2;-9/2)
2.(1,0 đ)
Tập xác đinh : D ;
2
x
y x m
Do y’ là tam thức bậc hai nên hàm số có cực đại, cực tiểu trên [-1;1]
2
x
,
2
m
có hai nghiệm phân biệt , đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số
2
( )
x x
f x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ,
Lập bảng biến thiên ta được
-Câu II:
Giải phương trình 2 sin 2 s inx-cos3 2 cos 2 cos
x
(1)
Điều kiện:
( )
1
2
-2
-4
5
I
-9 8
1 2
-5 2
-9 2
9 4 y
x 7
2
2 O
-1
Trang 41
( os2 os )
c x c
(1) 2 sin 2 s inx-cos3 2 cos 2 cos
2 sin 2 s inx-cos3 cos os3
2 sin 2 2 s in
4
2
4 4
sin 2 s in
2 4
4
Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là
Câu III:
Nếu x=-1 thì t=
Nếu x=0 thì t=
Câu IV
Gọi I là giao điểm của AC và MB Xét ABC và BCM
90o
ACBBMCMBCBMC MBCACB
Trang 5I M
B
D A
C
S
BIC
Vuông tại I hay BM AC,
mà SA (ABCD) BM BM SA
góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SBM)
Là góc giữa SI và AI hay SIA 60o
Ta có: ABC ABI
3 6
AI
3
AI
2
.
BCM
a
S BC CM SA là chiểu cao của khối chóp S BCM. nên
.
Câu V
CM
Ta có
2
a b a a a b a a b a b
b a a b
Ta sẽ CM:
2
(a b )2 0
2
Câu VI
AB
=(-7;-1) là véc tơ chỉ phương của AB nên véc tơ pháp tuyến là n (1; 7)
phương trình AB:
1 x 4 7 y 2 0 x 7y 10 0
Trang 6B A
I
2 2
( ) ( ; ) ( 0)
| 7 10 | | 8 10 |
50
1 7
diện tích tam giác ABC bằng 25 nên ta có
5
2
ABC
c c
c
Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:
( ) :C x y 2ax 2by c 0 (a b c 0)
Do A, B, C nằm trên (C) nên ta có hệ
2 2
2 2
1
2
20
a
b
c
Phương trình đường tròn (C): 2 2
x y x y
Câu VII
Từ giải thiết ta chọn M(0; ; 0)m và N(0;0; )n trong đó mn 0 và n 2m
Gọi n
là vectơ pháp tuyến của (P) thì do (P)//BC và (P) đi qua M, N nên n BC (2;3; 3)
,
(0; ; )
n MN m n
nên ta chọn nBC MN, (3n4 ; 2 ; 2 )m n m
+ n 2mn (9 ; 4 ; 2 )m m m
và (P) đi qua A ( 2; 2; 2) nên (P) có phương trình:
3x 4y 2z 10 0
+n 2mn ( 9 ; 4 ; 2 )m m m
và (P) đi qua A ( 2; 2; 2) nên (P) có phương trình:
9x 4y 2z 30 0
Trang 7Vậy P : 3x 4y 2z 10 0
Hoặc 9x 4y 2z 30 0
Câu VIII
Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng trong 3 kĩ sư số cách chọn là 3 Được 1 tổ trưởng
Chọn 1 công nhân làm tổ phó trong 7 công nhânsố cách chọn là 7 Được 1 tổ trưởng, 1 tổ phó Chọn 3 công nhân làm tổ viên trong 6 công nhânsố cách chọn là số tổ hợp chập 3 của 6 là 3
6
C
số cách lập tổ công tác thỏa mãn đề bài là 3
6 3.7.C 420
Câu IX
2
1 0
2 0
*
x x x
2
1
Xét hàm số 3
, 0
f t t t t
Ta có 2
f t t t Vậy hàm số đã xét đồng biến trên tập 0; Từ đó
1 y x 1 y x 1 Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
2
x
Với x 1 thì y 2 (thỏa (*))
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x y ; 1; 2 , 1; 2
