b Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 1 có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.. Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước
Trang 1ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn TOÁN Thời gian làm bài 180 phút
***
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số: y=x4 -2(m2 +1)x 2 + 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá
trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình : sin 2x-cosx+sinx=1 (xÎ R )
2
log éëlog (2-x )ù û >0 (xÎ R ) .
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 2
3
1
1
dx
I
x x
=
+
Câu 4 (0,5 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 11 1
2
z
z
z
-
4
2
z i
z i
-
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC A B C , ABC ' ' ' D đều có cạnh bằng a , AA ' = a
và đỉnh A cách đều ' A B C , , Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A B ' Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C và khoảng cách từ C đến mặt phẳng ' ' '
(AMN )
Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) S có phương
trình x2+ y2+z2 -4x+6y-2z -2= 0 Lập phương trình mặt phẳng ( ) P chứa truc Oy
và cắt mặt cầu ( ) S theo một đường tròn có bán kính r = 2 3 .
Câu 7 (0,5 điểm). Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9
đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba
bảng khác nhau.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường
cao AH có phương trình 3x+4y +10= 0 và đường phân giác trong BE có phương trình
1 0
x-y + = Điểm M (0; 2) thuộc đường thẳng AB và cách đỉnh C một khoảng bằng
2 Tính diện tích tam giác ABC
Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình: 2 ( 2 )
x + x< + x x + x - (xÎR). Câu10 (1,0 điểm). Cho các số thực x y thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ;
Hết
Trang 2Câu 1.
(2 đ)
a) (Tự khảo sát)
b) y’ = 4x 3 – 4(m 2 +1)x
y’ = 0 Û
2
0
1
x
=
é
ê
= ± +
ê
Þ hàm số (1) luôn có 3 điểm cực trị với mọi m
2
1
CT
x = ± m + Þ giá trị cực tiểu y CT = - (m 2+ 1)2 + 1
2 2
V m + ³ Þ y £ max(y CT ) = 0 Ûm2 + = Û 1 1 m = 0
Câu 2.
(1 đ)
a) sin 2x-cosx+sinx = 1 (1)
(1) Û (sinx-cos )(1 sinx + x-cos )x = 0
sin cos 0
1 sin cos 0
é
ë
4
3
2
k Z
p
é
= + p
ê
p
ê = p Ú = + p
ê
b) 1 2 2
2
og élog (2-x )ù >0 (xÎ R )
Điều kiện: log (22 -x2)>0Û2-x2 > Û - <1 1 x < 1
0
x
x
- < < - < <
¹
Vậy tập nghiệm bpt là S = -( 1; 0)È (0;1)
Câu 3.
(1 đ)
2
dx x dx
I
x x x x
3
t= x + Þx =t - Þx dx= t dt .
2
t dt
t t
t t
3
2
x
I
x
Câu 4.
(0,5 đ)
11
1
2
z
z
z
-
2
2 3
z i
z i
é
ë
l z= + 2 3 i Þ 4
2
z i
z i
-
2
1
2
i
i
-
=
-
l z= - 2 3 i Þ 4
2
z i
z i
-
i
i
-
=
+
Câu 5.
(1 đ)
l Gọi O là tâm tam giác đều ABC Þ A’O ^ (ABC)
AM = AO= AM =
2
a a
A O= AA -AO = a - = ;
2
3
4
ABC
a
S D =
Trang 3Thể tích khối lăng trụ ABC A B C : ' ' '
ABC
V =SD A O = =
3
V = SD d N ABC [ ,( ) ] 3 NAMC
AMC
V
d C AMN
S D
[ ]
2
AMC ABC
S = S = d N ABC = A O =
Suy ra:
.
NAMC
2
a
A C a
MN = =
a a a
AE AN NE
2
.
AMN
a
S = MN AE =
[ ]
2
d C AMN
Câu 6.
(1 đ)
( ) :S x +y +z -4x+6y-2z-2=0Û(x-2) +(y+3) +(z -1) = 16
Þ ( ) S có tâm (2; 3;1) I - bán kính R = 4 ; trục Oy có VTCP r j = (0;1;0)
Gọi nr = ( ; ; ) a b c
là VTPT mp(P) , ( ) P chứa Oy Þ nr^rjÞb=0 Þnr =( ;0; ) (a c a2+c 2 ¹ 0)
Phương trình mp(P): ax cz + = 0
(P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kinh r = 2 3
2 2
2
a c
a ac c a c
a c
+
+
E
A
B
C
C'
B' A'
M
O N
Trang 42 0
c
c ac
c a
=
é
ë
Vậy phương trình mp(P) : x = hoặc 3 0 x+4z = 0
Câu 7.
(0,5 đ)
Số phần tử không gian mẫu là n( )W =C C C 124 8 4 4 4 = 34.650
Gọi A là biến cố “3 đội bong của Việt nam ở ba bảng khác nhau”
Số các kết quả thuận lợi của A là n A( )=3C93.2C63.1.C 3 3 = 1080
n A
P A
n
Câu 8.
(1 đ)
Gọi N là điểm đối xứng của M qua phân giác BE thì N thuộc BC
Tính được N(1; 1). Đường thẳng BC qua N và vuông góc với AH nên có phương trình 4x − 3y – 1 = 0
B là giao điểm của BC và BE. Suy ra tọa độ B là nghiệm của hệ pt:
(4;5)
x y
B
x y
ì
Û
í
î
Đường thẳng AB qua B và M nên có phương trình : 3x – 4y + 8 = 0
A là giao điểm của AB và AH, suy ra tọa độ A là nghiệm hệ pt:
x y
A
x y
ì
í
î Điểm C thuộc BC va MC = 2 suy ra tọa độ C là nghiệm hệ pt:
(1;1)
31 33
;
;
25 25
C
x y
x y
C
x y
x y
é
é
ê
Thế tọa độ A và C(1; 1) vào phương trình BE thì hai giá trị trái dấu, suy ra
A, C khác phía đối với BE, do đó BE là phân giác trong tam giác ABC.
25 25
C æç ö ÷
ngoài của tam giác ABC.
BC = 5, ( , ) 49
20
AH =d A BC = Do đó 49
8
ABC
Câu 9.
x + x< + x x + x - (*)
A
B
C
H
E M(0;2)
N I
Trang 5ĐK: x(x 2 + 2x − 4) ≥ 0 Û 1 5 0
x
x
ê
³ - +
ê Khi đó (*) Û 4 x x( 2+2x-4) >x2 +5x - 4
Û 4 x x( 2+2x-4) >(x2 +2x-4) 3 + x (**)
TH 1: x ³ - + 1 5 , chia hai vế cho x > 0, ta có:
(**) Þ
Đặt
2
x x
x
= ³ , ta có bpt: t2 -4t + < 3 0 Û < < 1 t 3
2
2
2
x x
x x
+ - >
ï
< <
TH 2: - -1 5£x £ 0 , x2 +5x -4< , (**) luôn thỏa 0
Câu10.
(1 đ)
P= x +y + x+ + x +y - x+ + y -
Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y) Ta có OM + ON ≥ MN
Û (x-1)2+y2 + (x+1)2+y2 ³ 4+ 4 y 2
Þ P³2 1+y2 + y-2 = f y ( )
TH1: y ≤ 2: f y( )=2 1+y2 + - Þ 2 y
2
2
1
y
f y
y
+
2
2
3
y
y
³
ì
=
î
Lập bảng biến thiên f(y) Þ
( 2]
3
3
x f y f
Î -¥
TH2: y ≥ 2: f y( )=2 1+y2 + y - ≥ 2 52 >2+ 3
Vậy P³ +2 3 " x y ;
Do đó MinP =2+ 3 khi x = 0 ; y = 3
3
Hết