Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng ABC.. Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.. Ghi c
Trang 1KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: Toán (đề 23)
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất 2015!(Kèm đáp án chi tiết tại)!
https://www.facebook.com/profile.php?id=100005223169289
Câu I (2 điểm) Cho hàm số: y x3 3x2 mx 1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m0
2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Gọi ( ) là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu.Tìm giá trị lớn nhất khoảng cách từ điểm I 1 11;
2 4
đến đường thẳng ( )
Câu II (1 điểm)
tanx cot 2x cot x 1
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I =
2 4
2
4
1 2 cos
x
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3, khoảng cách
90
SABSCB Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa
đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC)
Câu V (1 điểm) ): Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), trực tâm H(14; –7), đường
trung tuyến kẻ từ đỉnh B có phương trình: 9x – 5y – 7 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C
Câu VII (1 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0), B(1; 2; 5) và đường thẳng (d) có
Tìm tọa độ điểm M trên (d) sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất
Câu VIII (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: 2 z i z z 2 i và z2 ( ) z 2 4
Câu IX (1 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
2
7
x y y
y
(x y R, )
CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !
Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Trang 2Hướng dẫn
Câu I:
yx 3x 1 (1)
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2
yx 3x 1
* Tập xác định: R
* Sự biến thiên:
xlim y xlim x 3x 1 , lim yx
+ Bảng biến thiên:
Bảng biến thiên:
x 0 2
y + 0 - 0 +
y 1
-3 + Hàm số đồng biến trên khoảng ; 0 và 2;
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2
+ Hàm số đạt cực đại tại x0, yCÐy(0) 1
đạt cực tiểu tại x2, yCT y(2) 3
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1), cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
Ta có y6x 6; y 0x1
y đổi dấu khi x qua x = 1
Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng
Trang 3-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x
2 Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu
2
y 3x 6xm Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt
Tức là cần có: 9 3m0m3
Chia đa thức y cho y, ta được: y y x 1 2m 2 x m 1
Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm x ; y , x ; y1 1 2 2
Vì y (x ) 1 0; y (x ) 2 0 nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu là:
hay y m2x 1 2x 1
3
Ta thấy đường thẳng luôn đi qua điểm cố định A 1; 2
2
Hệ số góc của đường thẳng
IA là k 3
4
Kẻ IH ta thấy d I; IH IA 5
4
Đẳng thức xảy ra khi IA 2m 2 1 4 m 1
(TM)
Vậy max d I; 5
4
khi m 1
Câu
II: Giải phương trình :
Điều kiện : sinx.cosx s inx.cos x 0
Trang 4Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2 s inx cosx 1
s inx cos2x cos x s inx
cos x s in2x s inx
Giải được
3
3 2
4
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: x 3 k2 , (k Z)
4
Câu III : phân
2 4
2 4
1 2 cos
x
Xét:
0
0
Đặt x t dx dt Đổi cận: ; 0 0
Khi đó:
( )
Suy ra I 1 0
2
1
2 cos
x
cos
x
1
1
1 3
t
2
6 6
9
Câu IV :
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB =
BC = a 3, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 3 và
0 90
SABSCB Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa
SB với mặt phẳng (ABC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC) Ta có:
(gt)
S
B
A
K
Trang 5Suy ra tứ giác HABC là một hình vuông
+ Có: AH / /BC(SBC)AH / / (SBC)
[ , ( )] [ , ( )] 2
(1) và (2) suy ra HK (SBC) Từ đó d H SBC[ , ( )]HK a 2 KC HC2HK2 3a22a2 a
Thể tích Khối chóp S.ABC được tính bởi:
3
a
+ Góc giữa SB với mp(ABC) là góc SBH 450 (do SHB vuông cân)
Câu V
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Từ giả thiết ta có
P
Áp dung bất đằng thức Cauchy cho 3 số thực dương, ta có:
3 3
3
Tương tự
3 3
3
3 3
3
Cộng vế theo vế các bất đẳng thứ trên ta được:
Câu VI
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), trực tâm H(14; –7), đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B có phương trình: 9x – 5y – 7 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C
5 9
B, M BM B 2 5 ; 5 9b b M, 2 5 ; 5 9m m
M là trung điểm BC C10m6;18m11
Ta có:AH (12; 8), BC(10m5b4;18m9b6),BH (16 5 ; 2 9 ), b b
(10 8;18 12)
AH BC 012(10m5b4) 8(18 m9b6)0
2
(1)
0 (16 5 )(10 8) ( 2 9 )(18 12) 0
(2)
2
B C
Câu VII
Trang 6Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 0), B(1; 2; 5) và đường thẳng (d) có phương trình:
Tìm điểm M trên (d) sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất
M (d) nên M(1 + 2t; 3 + 2t; t) MA (2 2 ) t 2(1 2 ) t 2t2 9t212t5 (3t2)2 1
MB 4t2(1 2 ) t 2 ( t 5)2 9t2 6t26 (3t1)225
Trong mpOxy xét các vectơ u(3t2; 1), v ( 3t1; 5)
Có: |u v| 3 5 ; | | u (3t2)21; | |v ( 3 t1)225
Ta luôn có bất đẳng thức đúng: |u v| | | | | u v 3 5 (3t2)2 1 ( 3 t1)225
hay MA MB 3 5 Đẳng thức chỉ xảy ra khi u
và v
t
t t
2
M
Câu VIII
Tìm số phức z thỏa mãn 2z i z z 2i và z2( )z 2 4
Giả sử z x yi x y( , ) Từ giả thiết ta có:
1
xy
2 2
3
0
4 1
4
x y
xy
x
3
3
4
2
2
x
y
Vậy
3
4 2
Câu IX
1 x2 x 2 y y(*) Xét hàm số 3
f t t t Ta có ' 2
f t t t R f t đồng biến trên R
Do đó (*)y x 2.Thay y x 2 vào (2) ta được : 3 2
3x 3 5 2 xx 3x 10x26
2
2
12
x
PT (3) vô nghiệm vì với 5 1
2 x
thì 2
x x Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2
0
x y