Viết phương trình tiếp tuyến của C: a Tại điểm có hoành độ bằng 2.. a Chứng minh: SAC∆ vuông và SC vuông góc với BD.. c Tính khoảng cách giữa SA và BD... Gọi H là trung điểm của SA.. c T
Trang 1Đề số 13
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
x
x x
x
2 2 1
lim
1
→
+ −
x x x
3 1
1 lim
1
+
→
+ +
−
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x3−2mx2− + =x m 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.
x x x khi x 1
x a khi x = 1
3
− + −
= +
+
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số:
x x2 x4
= + + − + b) y x x
cos
sin
Bài 5: Cho đường cong (C): y x= 3−3x2+2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2
b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y 1x 1
3
= − +
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB a 3
3
= , SO⊥(ABCD),
SB a=
a) Chứng minh: SAC∆ vuông và SC vuông góc với BD
b) Chứng minh: SAD( ) (⊥ SAB SCB), ( ) (⊥ SCD)
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2Đề số 13
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
a)
x x = x
x x
2 2
1
+
−
b)
x
x x
x
3 1
1 lim
1
+
→
+ +
−
Ta có x
x x
x
x x x
x
x x
3 1
1 3
1
lim ( 1) 0
1
1
+
+ +
→
→
→
− =
+ + = >
Bài 2: Xét hàm số f x( )=x3−2mx2− +x m ⇒ f(x) liên tục trên R.
• f m( )= −m3, (0)f = ⇒m f(0) ( )f m = −m4
• Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0
• Nếu m ≠0 thì f(0) ( ) 0,f m < ∀ ≠m 0 ⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0; m)
hoặc (m; 0).
Vậy phương trình x3−2mx2− + =x m 0 luôn có nghiệm
x a khi x = 1
3
− + −
= +
+
•
f x
• Nếu a = –3 thì
f x
x
− và f (1) 0= nên hàm số không
liên tục tại x = 1
• Nếu a ≠ –3 thì
x x
f x
x a
2
( 1)( 2)
3
− +
+ , nhưng f(1) 3= + ≠a 0 nên hàm só không liên
tục tại x = 1.
Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x = 1.
Bài 4:
2 3 1
+
2
+
x
2
2
sin sin
Bài 5: y x= 3−3x2+2 ⇒ y' 3= x2−6x
a) x0= ⇒2 y0 = −2, (2) 0y′ = ⇒ PTTT y= −2
b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 1x 1
3
= − + nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3.
Gọi x y( ; ) là toạ độ của tiếp điểm 0 0 ⇒ x x x x x
x
0
= −
− = ⇔ − − = ⇔
= +
Trang 3• Với x0 = −1 2⇒y0 = 2 ⇒ PTTT: y=3(x− +1 2)+ 2 ⇔ =y 3x+4 2 3−
• Với x0 = +1 2⇒y0= − 2 ⇒ PTTT: y=3(x− −1 2)− 2 ⇔ =y 3x−4 2 3−
Bài 6:
a) • Chứng minh: SAC∆ vuông + SO2 SB2 OB2 a2 3a2 SO2 6a2 SO a 6
+ OA OC BC2 OB2 a2 3a2 a 6 SO
⇒ tam giác SAC vuông tại S
• Chứng minh SC ⊥ BD
BD ⊥ SO, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC b) • Chứng minh: SAD( ) (⊥ SAB SCB), ( ) (⊥ SCD)
Gọi H là trung điểm của SA
⇒ OH OB OD= = ⇒∆HBD vuông tại H
⇒ DH ⊥ BH (1)
•∆SOA vuông cân tại O, H là trung điểm của SA ⇒ OH ⊥ SA (2)
• SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD, mặt khác AC ⊥ BD ⇒BD⊥(SAC)⇒SA BD⊥ (3)
• Từ (2) và (3) ta suy ra SA ⊥ (HBD) ⇒SA ⊥ HD (4)
Từ (1) và (4) ta suy ra DH ⊥ (SAB), mà DH⊂ (SAD) nên (SAD) ⊥ (SAB)
• Gọi I là trung điểm của SC dễ thấy OI = OH = OB = OD ⇒∆IBD vuông tại I ⇒ ID ⊥ BI (5)
• SD SO2 OD2 6a2 3a2 a CD
= + = + = = ⇒∆DSC cân tại D, IS = IC nên ID ⊥ SC (6)
Từ (5) và (6) ta suy ra ID ⊥ (SBC), mà ID ⊂(SCD) nên (SBC) ⊥ (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD
OH ⊥ SA, OH ⊥ BD nên d SA BD( , ) OH a 3
3
= =
============================
I K H
O
A
B
S