Tính số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho: a.. 2/ Có một bài kiểm tra trắc nghiệm 8 câu với lựa chọn A,B,C,D mỗi câu chọn một đá
Trang 1ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ I MÔN TOÁN– Khối 11
Năm học :2010-2011
- -A ĐẠI SỐ:
I - LƯỢNG GIÁC:
Dạng 1 : Phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ:Giải các phương trình sau: a sin x 3
2
= − b sin x 1
4
c sin x 60 d sin 2x 1
2
a sin x 3 sin x sin
π
, k 5
π
¢
b Phương trình sin x 1
4
= có các nghiệm là:
x arcsin k2 , x arcsin k2 k
sin x 60 sin x 60 sin 30
2
k
x 60 180 30 k360 x 210 k360
d Ta có: sin2x = -1 Phương trình có nghiệm là:2x 3 k2 x 3 k2 k
Bài 1) Giải các phương trình lượng giác sau:
5
x π
+ − =
3
+ − + =
sin 2x+50 −cos x+120 =0 d) cos3x − sin4x = 0
sinu=sinv⇔ u u==πv+−k v2+πk2π
sinx = 0 ⇔ x = kπ,k∈z.sinx = 1 ⇔x = 2 ,
2 +k π k∈z
π
sinx = -1 ⇔x =- 2 ,
2 +k π k∈z π
cosu=cosv⇔ u u==−v v++k2kπ2π (k∈z) cosx = -1 ⇔ x = (2k+1)π,k∈z
cosx = 0 ⇔ x = ,
2 +kπ k∈z
π
cosx = 1 ⇔ x = k2π,k∈z
tanu=tanv⇔u =v+kπ (k∈z)
tanx = 0 ⇔ x = kπ,k∈z. tanx = -1 ⇔ x = - ,
4 +kπ k∈z π
tanx = 1 ⇔ x = ,
4 +kπ k∈z
π
cotu=cotv⇔u =v+kπ (k∈z)
cotx = 0 ⇔ x = +
2
π
kπ,k∈z. cotx = -1 ⇔ x = - ,
4 +kπ k∈z
π
cotx = 1 ⇔ x = ,
4 +kπ k∈z π
Trang 2e) 2cos 2 3 sin 1 0
+ − − + =
f) sinx(3sinx +4) = 0
Bài 2) Giải các phương trình sau:
a) cot 1 0
4
x π
+ − =
b) 3 tan 2x− =1 0
c) tan3x.tanx = 1 d) cot2x.cot 1
4
x π
+ = −
e) 3tan2x.cot3x + 3 tan 2( x−3cot 3x)− =3 0 g) tan 2 sinx+ 3 sinx - 3 tan 2x ( x)−3 3 0=
Bài 3) Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra:
a) 2sin 3 0, [0; 2 )
3 4
x
x
1-cos2x
x
c) tan3x − 2tan4x + tan5x = 0 , x ∈(0; 2π) d) 3 2
c x
Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai.
At+b=0,t là các hàm số sinx,cosx,tanx,cotx
Cách giải :đưa về Phương trình lượng giác cơ bản
Asin 2 x+bsinx+c=0 ,đặt t=sinx,− ≤ ≤ 1 t 1
Tương tự đối với cosx,tanx,cotx
Ví dụ : Giải các phương trình sau:a cot 3x cot 3x 2 0 b 4cos x 2 12 − − = 2 − ( + 2 cos x) + 2 0=
( )
2
cot 3x 2 3x arc cot 2 k 1
x arc cot 2 k
b 2cos 2x 2 cos x 2 0 2 2cos x 1 2cos x 2 0 4cos x 2cos x 2 2 0
2 cos x
2
cos x
2
=
= −
k2 4
π
± + π
(phương trình cos x 1 2
2
+
= − vô nghiệm vì 1 2 1
2
+
− < − )
Bài tập:
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a) 2cosx - 2 = 0 b) 3tanx – 3 = 0
c) 3cot2x + 3 = 0 d) 2sin3x – 1 = 0
Bài 2 Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 b) cos2x + sinx + 1 = 0
c) 2cos2x + 2cosx – 2 = 0 d) cos2x – 5sinx + 6 = 0
e) cos2x + 3cosx + 4 = 0 f) 4cos2x - 4 3cosx + 3 = 0
Bài 3 Giải các phương trình:
a) 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0 b) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0
c) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 d) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0
Trang 3Dạng 3 : Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx.
Phương trình dạng asinx+bcosx = c
2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
+ + + ⇔sin cos cos sinx x 2c 2
a b
α+ α =
+ ⇔ sin(x+α ) = 2c 2
a +b
( với cosα = 2a 2
a +b ,sinα = 2b 2
a b+ )
Ví dụ: Giải các phương trình sau: a 3 cos x sin x+ = −2 b sin 5x cos5x+ = −1
2
a 3 cos x sin x+ = − ⇔2 3 +1 sin x+ α = − ⇔2 2sin x+ α = − ⇔2 sin x+ α = −1 1
Với
1 cos
2
3 3
sin
2
α =
α =
2
Với
1 cos
2
sin
2
α =
α =
( )2 sin 5x sin
+ = − + π
+ = π− + π
2
2
= − +
= +
¢
Bài tập:
Giải các phương trình lượng giác sau :
a 3sin x − cos x + 2 0 = b 3sin x − = 1 4sin3x + 3 cos3 x
c sin4 cos4 1
4
x + x + π =
d 2 cos ( 4x + sin4x ) + 3sin 4 x = 2
e 2sin 2 x + 2 sin 4 x = 0 f 3sin 2 x + 2cos 2 x = 3
Dạng 4 : Phương trình đẳng cấp a sin2 x b + sin cos x x c + cos2x d =
Cách giải
Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
Xét cosx ≠0, chia 2 vế cho cos 2 x để được phương trình bậc 2 theo tanx.
Ví dụ: Giải phương trình:4sin x 5sin x cos x 6cos x 0 32 − − 2 = ( )
Khi cosx = 0 thì sin x= ±1 nên dễ thấy các giá trị của x mà cosx = 0 không phải là nghiệm của (3) Vậy chia hai vế của (3) cho cos2x ≠ 0, ta được phương trình tương đương
( )
2
2 2
x arctan 2 k tan x 2
sin x sinx
x arctan k
4 4
=
Bài tập:
Giải các phương trình lượng giác sau :
Trang 4a 2sin2x + sin cos x x − 3cos2 x = 0 b 2sin 2 x − 3cos2x + 5sin cos x x − = 2 0
c sin2x + sin 2 x − 2cos2x = 0,5 d sin 2 x − 2sin2x = 2cos 2 x
e 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 f sin2 2 sin
4
+ =
II – TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT:
1/ Số các hoán vị p n = n!=n n( −1) 2.1
2/Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : Akn= ( ! )! ( 0 k n)
n
−
3/Số tổ hợp chập k của n phần tử :Ckn= !( ! )! ( 0 k n)
n
−
*Chú ý
−
k n k
n n
−
n 1 n 1 n
4/CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN:
( )n 0 n 1 n 1 k n k k n n
5/Xác suất ( ) ( )
n A
P A
n
=
Ω
Ví dụ:
Bài 1 Trong một lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ
Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bạn phụ trách quỹ lớp?
Giaỉ: Số cách chọn 1 bạn nam là: 18 cách; Số cách chọn 1 bạn nữ là: 12 cách.
Theo quy tắc cộng, ta có: 18 + 12 = 30 cách chọn một bạn phụ trách quỹ lớp (hoặc nam hoặc nữ)
Bài2 Nam đến cửa hàng văn phòng phẩm để mua quà tặng bạn Trong cửa hàng có ba mặt hàng: bút,
vở và thước, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở và 3 loại thước Hỏi có bao nhiêu cách chọn một món quà gồm một bút, một vở, 1 thước.’
Giaỉ: Số cách chọn bút: 5 cách;Số cách chọn vở: 4 cách;Số cách chọn thước: 3 cách
Theo quy tắc nhân, có: 5.4.3 = 60 cách chọn
Bài 4 Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau? Giaỉ:Gọi số tự nhiên có ba chữ số là: abc ;Vì abc chẵn nên c ∈ {0, 2, 4, 6}
Trường hợp c = 0:Có 1 cách chọn c;Có 6 cách chọn a;Có 5 cách chọn b;
Theo quy tắc nhân, có: 6.5.1 = 30 số
Trường hợp c ≠ 0:Có 3 cách chọn c;Có 5 cách chọn a;Có 5 cách chọn b
Theo quy tắc nhân, có: 3.5.5 = 75 số
Vậy theo quy tắc cộng có: 30 + 75 = 105 số chẵn có ba chữ số khác nhau
Bài 5 Có một cặp vợ chông đi dự tiệc Tính số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà
trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:
a Hai người đó là vợ chồng
b Hai người đó không là vọ chồng
Giaỉ:a Có 10 cách chọn người đàn ông.
Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có một cách chọn người đàn bà (là vợ người đàn ông đó) Vậy theo quy tắc nhân có:10.1 = 10 cách chọn
b.Có 10 cách chọn người đàn ông
Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có 9 cách chọn người đàn bà (trừ vợ người đàn ông đã chọn) Vậy theo quy tắc nhân có: 10.9 = 90 cách chọn
Trang 5Bài 6 Một tổ học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ Giáo viên chọn 4 học sinh để đi trực thư
viện Có bao nhiêu cách chọn nếu:
a Chọn học sinh nào cũng được?
b Trong 4 học sinh được chọn, có đúng một học sinh nữ được chọn?
c Trong 4 học sinh được chọn, có ít nhất một học sinh nữ được chọn?
Gỉai: a Mỗi cách chọn tùy ý 4 học sinh trong số 12 học sinh là một tổ hợp chập 4 của 12 học sinh: Vậy ta có: 124
12! 12.11.10.9.8!
4!.8! 4.3.2.8!
b Vì chọn đúng 1 học sinh nữ nên cần phải chọn thêm 3 học sinh nam
Số cách chọn học sinh nữ là: 1
3
C ;Số cách chọn học sinh nam là: 3
9 C Vậy có: C C13 93 =252 (cách chọn)
c Trường hợp 1: (1 nữ + 3 nam) có 252 cách chọn.
Trường hợp 2: (2 nữ + 2 nam) Số cách chọn nữ: C ;Số cách chọn nam: 32 2
9 C Vậy có: 2 2
3 9
C C =3.36 108= (cách chọn)
Trường hợp 3: (3 nữ + 1 nam) Số cách chọn nữ:C ;Số cách chọn nam: 33 1
9 C Vây có: 3 1
3 9
C C =1.9 9=
Vậy số cách chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh nữ là: 252 + 108 + 9 = 369 (cách chọn)
Bài 7 Với các số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a Có 4 chữ số khác nhau
b Số lẻ với 4 chữ số khác nhau
c Số chẵn có 4 chữ số khác nhau
d Có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3
Giaỉ:a Có A45 =120 số có 4 chữ số khác nhau từ tập các chữ số {0, 1, 3, 6, 9} (có thể bắt đầu với chữ
số );Có 3
4
A =24 số có 4 chữ số bắt đầu bởi số 0;Vậy có 120 – 24 = 96 số có 4 chữ số khác nhau
b Gọi số có 4 chữ số là abcd Vì là số lẻ nên:Chữ số d có 3 cách chọn (1, 3, 9)
Chữ số a có 3 cách chọn;Chữ số b có 3 cách chọn’Chữ số c có 2 cách chọn
Vậy có 3 3 3 2 = 54 số lẻ; c Có 96 – 54 = 42 số chẵn
d Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3
Trong tập hợp {0, 1, 3, 6, 9} có duy nhất 1 số không chia hết cho 3
Vậy số đo chia hết cho 3 khi và chỉ khi các chữ số của nó thuộc tập {0, 3, 6, 9}
Có 4! số có 4 chữ số khác nhau từ {0, 3, 6, 9} (có thể bắt đầu với chữ số 0)
Có 3! số có 4 chữ số khác nhau từ {0, 3, 6, 9} bắt đầu với chữ số 0
Vậy kết quả là: 4! – 3! = 24 – 6 = 18 số
Bài 8 Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 6 người khách ngồi quanh một bàn tròn? (Hai cách xếp được
xem là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó)
Giaỉ: Có 5! = 120 cách
Có (n – 1)! Cách xếp n (n ≥ 2) người quanh một bàn tròn Để xếp n + 1 người quanh bàn tròn ta xếp n người đầu tiên rồi xếp người cuối cùng vào 1 trong n khoảng trống giữa n người
Vậy có (n – 1)!n = n! cách xếp n + 1 người ngồi quanh một bàn tròn
Bài 9 Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau:
10
8 x
a 1 b 3 2x
2
45
a 1 5x x b 3 C 3 2x C 3 4x
4
Bài 10 Tìm:a Số hạng thứ 8 trong khai triển của ( )12
1 2x−
b Số hạng thứ 6 trong khai triển của
9 x 2 2
−
Giaỉ:
Trang 67 7 7 5 5
1
a C 2 x b C x
2
Bài 11.Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số:
a Chẵn; b Chia hết cho 3 c Lẻ và chia hết cho 3
Giaỉ: Không gian mẫu Ω = {1, 2, …, 20}
Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng với các câu a, b, c Ta có:
a A = {2, 4, 6, …, 20}, n(A) = 10, n(Ω) = 20 P A( ) 10 1
20 2
b B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, n(B) = 6 P B( ) 6 3
20 10
c C = {3, 9, 15), n(C) = 3 P C( ) 3
20
Bài tập
Dạng 1: Nhị thức Niu tơn - Xác định hệ số, số hạng.
Bài 01: Tính hệ số của x3 trong khia triển
6
2
1
x x
+
Bài 02: Tìm số hạng không chứa x khi khai triển
8
3 1
x x
+
Bài 03: Biết hệ số x2 trong khai triển của biểu thức (1 3 )− x n là 90 Tìm n
Bài 04: Tìm hệ số của số hạng thứ sáu của khai triển biểu thức M = (a+b)n nếu biết hệ số của
số hạng thứ ba trong khai triển bằng 45 Bài 05: Trong khai triển 2 ,
m
x
a
x
+ hệ số của các số hạng thứ tư và thứ mười ba bằng nhau Tìm
số hạng không chứa x
Dạng 2: Đếm – chọn
Bài 01:Cho tập A có 20 phần tử
a)Có bao nhiêu tập hợp con của A
b)Có bao nhiêu tập hợp con khác ∅ của A mà các phần tử là số chẵn?
Bài 01:Cho các chữ số 1,2,3,4,5,6.Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau chọn
từ 6 chữ số trên
a) có bao nhiêu số chẵn
b) Có bao nhiêu số lẻ
Bài 02:Từ tập thể gồm 14 người,có 6 nam và 8 nữ,người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người.Hỏi
a)Có bao nhiêu cách chọn
b) Có bao nhiêu cách chọn,có 4 nam ,2 nử
Bài 03: Cho tâp hợp A = {1,2,3,4,5,6}
a)Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ tập A ?
b)Có bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?
Bài 04:Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau.Hỏi trong các số
đã thiết lập được,có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau
Bài 05:Một lớp học có 10 học sinh nam và 120 học sinh nữ.Cần chọn ra 5 người trong lớp để đi làm công tác phong trào.Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 người đó phải có ít nhất : a)02 học sinh nam và 02 học sinh nữ b)01 học sinh nam và 01 học sinh nữ
Dạng 3: Tính xác suất của biến cố
1/ Năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 3cm, 5cm, 7cm, 9cm Lấy ngẫu nhiễn 3 đoạn thẳng trong 5
đoạn thẳng trện Tìm xác suất để 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành 1 tam giác
Trang 72/ Có một bài kiểm tra trắc nghiệm 8 câu với lựa chọn A,B,C,D (mỗi câu chọn một đáp
án).Một bạn học sinh trả lời đại các đáp án.Tính xác suất của bạn đó có thể chọn ra được chỉ 4 câu đúng
3/ Rút 4 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ gồm 52 con Xác suất để rút được 3 quân át
4/ Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần Xác suất để ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 3 chấm
5/ Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 8 bóng tốt Lấy ngẫu nhiên 3 bóng Tính xác suất
để lấy được :
a/ Một bóng hỏng b/ ít nhất một bóng hỏng
6/ Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối, đồng chất Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là 7
7/ Một khách sạn có 6 phòng đơn Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người Tính xác suất để :
a) Cả 6 người đều là nam b) Có 4 nam và 2 nữ c) Có ít nhất hai nữ
III – DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ:
DÃY SỐ-CSC-CSN
I/CẤP SỐ CỘNG (u n )là cấp số cộng⇔ un+1 = un + d
Số hạng tổng quát u n =u1+(n-1)d
Tổng n số hạng đầu = 1 + −
n
n[2u (n 1)d]
S
2
+
n
n(u u ) S
2
II/CẤP SỐ NHÂN 1/( ) un là cấp số nhân ⇔ un+1 = un q
2 Số hạng tổng quát = 1. n−1
u
3/ Tổng n số hạng đầu ( )
q
q u
S
n n
−
−
=
1
1
1
Dạng 1: Chứng minh quy nạp
1 CMR:∀ ∈n ¥∗:1 3 5 (2+ + + + n− =1) n2 2 CMR: :1 2 3 ( 1)
2
n n
∀ ∈¥ + + + + =
3 CMR: :1 1 1 1 2 1
n
n n
∀ ∈¥ >
Dạng 2: Cấp số cộng
1 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
a
+
14
s
0 u
2
u
4
5
1
b
=
=
19 u
10 u
7
4
c 1 5 3
1 6
10 17
u u u
u u
+ − =
2 5 3
4 6
10 26
u u u
u u
+ − =
2 Cho một Cấp số cộng có 5 số hạng biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thứ 4 bằng
7 Hãy tìm các số hạng còn lại của Cấp số cộng đó
3 Một Cấp số cộng có 7số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 28 , tổng của số hạng thứ 5 và số hạng cuối bằng 140 hãy tìm Cấp số cộng đó
4 Viết 6 số xen giữa 2 số 3 và 24 để được một Cấp số cộng có 8 số hạng Tính tổng các số hạng của Cấp số cộng
1 Cho cấp số nhân (un) thỏa: 1 5
2 6
u + u = 51
u +u = 102
a Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó
b Tính S10
Trang 82 Ba số dương lập cấp số cộng cĩ tổng bằng 21 Thêm lần lượt 2, 3, 9 vào 3 số đĩ ta được cấp
số nhân Tìm 3 số của cấp số cộng
3 Cho hai số : 2 và 54 Điền vào giữa hai số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân
4 Cho hai số : 3 và 48 Xen giữa 3 số để được cấp số nhân
5 Tìm cấp số nhân cĩ tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phương bằng 85
A HÌNH HỌC:
I – PHÉP BIẾN HÌNH:
M’(x’,y’) là ảnh M
+
=
+
=
b
y
y
a
x
x
'
'
Cho đường thẳng d:ax+by+c=0 ảnh d’:ax+by+c’=0 Tìm M trên d và tìm ảnh M’ trên d’ ,ta cĩ c’
Đối với đường trịn:Tâm I(a,b) tìm ảnh I’(a’,b’) và cĩ cùng bán kính
1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép tịnh tiến v= (2;-1 )
A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3)
2 Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép tịnh tiến v= (1;-3 )
a) -2x +5 y – 4 = 0 b) 2x -3 y – 1 = 0
c) 3x – 2 = 0 d) x + y – 1 = 0
3 Tìm ảnh của đường trịn qua phép tịnh tiến v= (3;-1 )
a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4
Dạng 2: Các bài tốn cĩ sử dụng biểu thức tọa độ phép đối xứng trục
a)Biểu thức toạ độ trục Ox: '
'
x x
y y
=
= −
b) Biểu thức toạ độ trục Oy:
' '
x x
y y
= −
=
Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường trịn (C1) và (C2) lần lượt cĩ phương trình:
( ) 2 2
1
C : x +y −4x 5y 1 0+ + =
Viết phương trình ảnh của đường trịn trên phép đối xứng cĩ trục Oy
Gỉai: Ảnh của điểm M(x ; y) qua phép đối xứng cĩ trục Oy là điểm M’(-x ; y) Ta cĩ:
1
M∈ C ⇔x +y −4x 5y 1 0+ + = ⇔ −x +y − − +4 x 5y 1 0+ =
Bài tập:
4 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox:
A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3)
5 Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0
6 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) 2x + y – 4 = 0 b) x + y – 1 = 0
7 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) x – 2 = 0 b) x + y – 1 = 0
8 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4
Dạng 3: Tìm ảnh của Điểm, đường thẳng, đường trịn qua phép đối xứng tâm.
Hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(x;y) ,ảnh M’(x’,y’) đối xứng với M qua gốc tọa độ O
−
=
−
=
y
y
x
x
'
'
Ví dụ:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho I(2 ; -3) và d cĩ phương trình 3x + 2y – 1 = 0 Tìm tọa
độ của điểm I và phương trình đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và đường thẳng d qua phếp đối xứng tâm
Dạng 1: Các bài tốn sử dụng phép tịnh tiến v=(a,b),M(x,y)
Trang 9Giải Ta cĩ I’ = (-2 ; 3)
Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta cĩ: x x '
y y '
= −
= −
Thay biểu thức của x và y vào phương trình của d ta được:3(-x’) + 2(-y’) – 1 = 0 hay 3x ' 2y ' 1 0+ + = Vậy d’: 3x + 2y + 1 = 0
Bài tập:
1 Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm
a) Tâm O(0; 0) b) Tâm I(1; –2) c) Tâm H(–2; 3)
2 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0
3 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0
4 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9 b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0
Dạng 4:Các bài tốn sử dụng phép quay
1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay Q(O;90o);Q(O;-90 o)
A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3)
2 Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép quay Q(O;90 o);Q(O;-90 o)
a) -2x +3 y – 7 = 0 b) 2x -5 y – 4 = 0
3 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép Q(O;90 o);Q(O;-90 o)
a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9 b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0
Dạng 5 :Các bài tốn sử dụng phép vị tự
- Cho điểm O và tỉ số k≠0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
OM
k
OM'= được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k
-Biến đường thẳng thành đường thẳng song song
-Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính kR.
Ví dụ:Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d cĩ phương trình: 3x + 2y – 6 = 0 Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2
Giaỉ: d’ : 3x + 2y + C = 0
Lấy M(0 ; 3) thuộc d Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O, tỉ số k= −2
Ta thấy: OMuuuur=( )0;3 , OM 'uuuur=(x '; y ') = −2OMuuuur
Ta cĩ: x’ = 0, y’ = -2.3 = -6 ; Do M’ thuộc d’ nên: 2.(-6) + C = 0 ⇒ C = 12 ;Vậy d’: 3x + 2y + 12 = 0
Bài tập:
1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(-3;4);k=-3
A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3)
2 Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(1;-2);k=-5
a) -2x +3 y – 7 = 0 b) 2x -5 y – 4 = 0
3 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(3;-2);k=-3
a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9 b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0
II – HÌNH HỌC KHƠNG GIAN:
1 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) , ta tìm trong (P) một đường thẳng c cắt
a tại điểm M nào đĩ thì M là giao điểm của a và (P)
Chú ý : Nếu c chưa cĩ sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao tuyến của (P)
và (Q)
2 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đĩ là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.Khi đĩ chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đĩ
Trang 10- Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba
II.Đường thẳng song song
1 Chứng minh hai đường thẳng song song:
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét )
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3
- Áp dụng định lý về giao tuyến
2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước :
* Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
* Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song song với một đường thẳng đã có)
Giao tuyến sẽd là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy
-Ghi chú : Ta có 2 cách để tìm giao tuyến :
Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp 2 cách khi xác định thiết diện của hình chóp
Ví dụ:
Bài 1 Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình thàng ABCD (AB // CD và AB > CD) Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Gọi I = AD ∩ BC
Ta có S và I là hai điểm chung của (SAD) và (SBC) nên:
(SAD) ∩ (SBC) = SI
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng SI
Bài 2 Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD)
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: S và O là hai điểm chung của (SAC) và (SBD) nên:
(SAC) ∩ (SBD) = SO
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO
Bài tập:
1 Cho tứ diện ABCD M và N lần lượt là trung điểm AD và BC Tìm giao tuyến của hai mặt