2 Xác định m để Cm có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 2 y= x.. Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống ABC là H sao
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 137 )
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: y x= 3−3 m 1 x( + ) 2+9x m 2+ − (1) có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1
2) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng 1
2
y= x.
Câu II: (2,5 điểm)
1) Giải phương trình: sin 2x cos x 3( + −) 2 3cos x 3 3cos2x 83 − + ( 3 cos x sinx− )−3 3 0= . 2) Giải bất phương trình : ( 2 )
2
log x 4x 5 log
+
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=x.sin2x, y=2x, x=
2
π
Câu III: (2 điểm)
1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc là 450 Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1
2
AP= AH
uuur uuur
gọi K là trung điểm AA’, ( )α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và
CC’ tại M, N Tính tỉ số thể tích ABCKMN
A 'B'C'KMN
V
2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức:
2
2
6
Câu IV: (2,5 điểm)
1) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau Tính xác suất để lấy
được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:
n 1
9 19
2 2
P 720
−
+
−
2 ) Cho Elip có phương trình chính tắc x2 y2 1
25+ 9 = (E), viết phương trình đường thẳng song song
Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB=4
3) Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 biết:
1
x 2 t
d : y 2 t
z 3 t
= +
= +
= −
2
x 1 y 2 z 1
d :
Câu V: (1điểm) Cho a, b, c≥0 và a2+ + =b2 c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 137 )
Trang 21
1
Khi m = 1 ta có hàm số: y x= −3 6x2+9x−1
x -∞ 1 3 +∞
y/ + 0 - 0 +
3 +∞
y
-∞ 1
1đ
2 y'=3x2 −6(m+1)x+9
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
0 9 3 ) 1 ( 9 '= + 2− >
∆ m ⇔m∈(−∞;−1− 3)∪(−1+ 3;+∞)
Ta có (3 6( 1) 9) 2( 2 2) 4 1
3
1 3
y
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
1 4 ) 2 2 (
−
y
Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt y x
2
1
= ta có điều kiện cần là
2
1 ) 2 2 (
−
=
=
⇔
=
− +
⇔
3
1 0
3 2 2
m
m m
m
Khi m = 1 ⇒ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:y = - 2x + 5 Tọa độ trung điểm
CĐ và CT là:
= + +
−
= +
=
= +
1 2
10 ) (
2 2
2 2
4 2
2 1 2
1
2 1
x x y
y
x x
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng y x
2
1
= ⇒m=1tm Khi m = -3 ⇒ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11.
3
−
=
⇒m không thỏa mãn
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài
1đ
Bài
2
1 phương trình đưa về:
=
=
=
⇔
=
− +
=
−
⇔
= +
−
−
−
⇔
) ( 4 cos
1 cos
3 tan 0
4 cos 3 cos
0 sin cos 3
0 ) 8 cos 6 cos 2 )(
sin cos 3 (
2
2
loai x
x
x x
x
x x
x x
x x
Ζ
∈
=
+
=
k x
k x
, 2
3 π
π
2
Trang 3Đk:
−
>
+∞
∪
−
−∞
∈
⇔
>
+
>
− +
7
)
; 1 ( ) 5
; ( 0
7
0 5 4 2
x
x x
x x
) 1 ( ) 5
; 7 (− − ∪ +∞
∈
⇒x
Từ pt
7
1 log 2 ) 5 4 (
⇒
x x
27
5
Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm: )
5
27
; 7 (− −
∈
x
0.75đ
3 Ta có: x.sin2x = 2x ⇔x.sin2x – 2x = 0 ⇔x(sin2x – 2) =0 ⇔x = 0
Diện tích hình phẳng là:
∫
0
2
π
dx x x dx
x x x S
Đặt
−
−
=
=
⇒
−
=
=
x
x v
dx du dx x dv
x u
2 2
2 cos )
2 2
2 2
π
=
0.75đ
Bài
3
1 Gọi Q, I, J lần lượt là trung điểm B’C’, BB’, CC’
ta có:
2
3
a
AP= 3
a
AH =
⇒
Vì ∆' AHA' vuông cân tại H
Vậy A'H =a 3
Ta có
4
3 2
3 2
a
(đvdt)
4
3 4
3 3
3 2
' '
a a
a
V ABCA B C = =
t) (1)
Vì ∆' AHA' vuông cân
(BB C C)
HK AA
HK⊥ '⇒ ⊥ ' '
⇒
G ọi E = MN∩KH ⇒BM =
PE = CN (2)
mà AA’ = A'H2+AH2 = 3a2 +3a2 =a 6
4
6 2
CN PE BM
a
⇒
Ta có thể tích K.MNJI là:
1 3
'
MNJI
a
=
2
MNJI
KMNJI
3
1
ABCKMN
a a
1đ
45
E
K
J
I A
B
C
C'
B' A'
P
H
Q
N
M
Trang 42 ĐK: a2+a≠0
Từ (1) ⇔(a2+a)2−5(a2 +a)−6=0
= +
−
= +
⇔
6
1 2
2
a a
a a
Khi a2 +a=−1 thay vào (2)
2
2
6 0
2
i b
b b
i b
=
⇒ − − − = ⇔
=
;
+
−
=
−
−
=
⇔
= + +
2
3 1 2
3 1 0
1 2
i a
i a
a a
Khi a2 +a=6
=
−
=
⇔
2
3
a
a
Thay vào (2) 2
2
2
b
b
− +
=
− −
=
Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là: 1 23i 1; 3i , 1 23i 1; 3i
2
3 1
; 2
23 1 , 2
3 1
; 2
23
;− − + − − − − + − −2
5 1
; 2 , 2
5 1
; 2 , 2
5 1
; 3 , 2
5 1
; 3
Bài
4 1)
=
<
+ +
−
+
−
720
2
19 2 9 1
1 2
3 2
n
m n
m
m
P
A c
C
Từ (2): (n−1)!=720=6!⇔n−1=6⇔n=7 Thay n = 7
vào (1)
0 99 20
19 9 90
2
19 2
9 45 2
) 1 (
2
2
<
+
−
⇔
<
+ +
−
⇔
<
+ +
−
⇔
m m
m m
m
m m
m
11
9 < <
Vậy m = 10, n = 7 Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để
lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có:
2 1575
10
3
TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có:
1 350
10
4
TH3: 5 bông hồng nhung có:
5 21
7 =
C cách
⇒có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách
Số cách lấy 4 bông hồng thường
% 45 , 31 6188
1946
6188
5
17
≈
=
⇒
=
P
C
2) Gọi ptđt // Oy là: x = a (d) tung độ giao điểm (d) và Elip là:
25
25 25
1 9
1 9 25
2 2
2
2 2
a a
y
y a
−
=
−
=
⇔
= +
2
2
5
3 25
25
⇒
Trang 5Vậy
5
3
; , 25 5
3
a A
5
6
;
3
5 5
±
=
⇒a Vậy phương trình đường thẳng:
3
5 5 , 3
5
−
x
3)đường thẳng d2 có PTTS là:
+
=
+
=
+
=
' 5 1
' 2
' 2 1
t z
t y
t x
⇒vectơ CP của d1 và d2 là: urd1 =(1;1; 1),− u d2 =(2;1;5)
⇒VTPT của mp(α ) là nrα =u ur rd1 d2=(6; 7; 1)− −
⇒pt mp(α) có dạng 6x – 7y – z + D = 0
Đường thẳng d1 và d2 lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
( ,( )) ( ,( ))
|12 14 3 | | 6 14 1 |
Vậy PT mp(α ) là: 3x – y – 4z +7 0 =
Bài 5
2
3 2 2
3 2 2 3
1 1
c c c
b b b
a
+ + + + + + + +
2 4
1 1
2 1
2 2 4
2
2 2
b
a b
a
+
+ +
= +
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
c
b c
+
+ + +
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
a
c a
+
+ +
6 3
6 3
6
2 16
3 2 16
3 2 16
≥
6 2 2 2
9 ) (
2 2 2
3 2
2
+
2
3 2 2
3 2 2
9 2 2
3 2 2
9
≥
⇒P
Để PMin khi a = b = c = 1