Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C.. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số C biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5.. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.. Tìm điểm
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU1
ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI THPT
QUỐC GIA
LẦN 1 - NĂM 2015 MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút không kể giao đề)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y = 2 1 ( )
2
x C x
1 Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5
Câu 2 (0.5 điểm) Giải bất phương trình: log3(x – 3 ) + log3(x – 5 ) < 1
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân: I =
2 1
1
x x dx
Câu 4 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, SA vuông góc với đáy.
SA = AD = a , AB = 2a
1 Tính thể tích khối chóp S.ABC
2 Tính khoảng cách giữa AB và SC
Câu 5 (1 điểm) Trong không gian O.xyz cho A(1;2;3), B(-3; -3;2 )
1 Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
2 Tìm điểm M nằm trên trục hoành sao cho M cách đều hai điểm A, B
Câu 6 (1 điểm) Giải phương trình: 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
Câu 7 (0.5 điểm ) Gọi T là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các số 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7 Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập T
Tính xác suất để số được chọn lớn hơn 2015
Câu 8 (1điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A B, C là hai điểm đối xứng nhau
qua gốc tọa độ Đường phân giác trong góc B của tam giác có phương trình x + 2y - 5= 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua K(6;2)
Câu 9 (1 điểm) Giải hệ phương trình
2
2
Câu 10 (1 điểm) Cho a, b, c thuôc đoạn [1;2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
a b
c ab bc ca
Hết
-Họ và tên thí sinh ……… Số báo danh………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI THPT
QUỐC GIA LẦN 1
Câu 1 y = 2 1
( ) 2
x C x
1 TXĐ: D = R \ 2
y’ =
2
5 2
x
< 0 với mọi x thuộc D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ;2 ) và (2 ; +), hàm số không có
cực trị
0.25
2
x y
2
lim
nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị
nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị 0.25 Bảng biến thiên
-+ 2
2
-
0.25
Đồ thị cắt trục tung tại (0 ; 1
2
) , cắt trục hoành tại ( 1
2
; 0) điểm I(2;2) là tâm đối xứng của đồ thị
y
2
0.25
2 Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm , k là hệ số góc của tiếp tuyến Phương trình tiếp
Trang 3tuyến tại M có dạng: y = k(x- x0) + y0 , y’
2
5 2
x
0.25
Hệ số góc k = -5 y’(x0) = -5 (x0– 2)2= 1 x0 = 3 hoặc x0= 1 0.25 Với x0= 3 thì M(3;7) phương trình tiếp tuyến là y = -5x + 22 0.25 Với x0 = 1 thì M(1;-3) phương trình tiếp tuyến là y = -5x + 2 0.25 Câu 2 Giải bất phương trình: log3(x – 3 ) + log3(x – 5 ) < 1 (*)
ĐK: x > 5 (*) log3(x – 3 )(x - 5) < 1 (x – 3 )( x - 5) < 3 0.25
x2 – 8x +12 < 0 2 < x < 6 Kết hợp ĐK thì 5 < x < 6 là nghiệm của bất phương trình 0.25
Câu 3
Tính tích phân: I = 2
1
1
x x dx
Đặt x1= t thì x = t2+ 1 , dx = 2tdt
I = 21 2 2 0
1
t t dt
0
t t dt
= 2 ( 5 3
5 3
t t ) 1
15
0.5 Câu 4
1 Tính thể tích khối chóp S.ABC
SA vuông góc với mp đáy nên SA là đường cao của khối chóp, SA = a Trong mặt phẳng đáy từ C kẻ CE // DA, E thuộc AB suy ra CE vuông góc với
AB và CE = DA = a là đường cao của tam giác CAB
0.25 Diện tích tam giác là S = 1
2CE.AB = a2
Trang 4Thể tích khối chóp S.ABC là V = 1
2 Tính khoảng cách giữa AB và SC
Ta có AB//DC nên d(AB, SC) = d(AB, SDC) Trong mặt phẳng (SAD) từ A kẻ
AH vuông góc với SD (1), H thuộc SD
Ta có DC vuông góc với AD, DC vuông góc SA nên DC vuông góc với
mp(SAD) suy ra DC vuông góc AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH vuông góc với (SDC)
AH = d(AB, SDC) = d(AB, SC )
0.25
Trong tam giác vuông SAD ta có 1 2 12
AH AD 12 22
SA a AH =
2
Câu 5
1 Gọi I là trung điểm của AB thì I(-1;
1 2
;5
2) là tâm mặt cầu Bán kính mặt cầu
R2= IA2= 21/2
0.25
Phương trình mặt cầu (x+1)2+(y +1
2)2+(z 5
2
2 M nằm trên trục hoành nên M(x;0;0) MA(1-x ;2;3) , MB(-3-x;-3;2). 0.25
M cách đều A , B tức là MA2= MB2
Hay (1-x)2+13 = (-3-x)2+13 x = 1
Câu 6 Giải phương trình : 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
4sinxcosx – 2cosx +2sin2x - 1– 7sinx + 4 = 0
2cosx(2sinx -1) + 2sin2x -7sinx +3 = 0
0.25
2cosx(2sinx -1) + (sinx -3)(2sinx – 1) = 0
(2sinx -1) (sinx + 2cosx – 3) =0
0.25
sinx = 1
2 Hoặc sinx + 2cosx – 3 =0
Ta có: sinx + 2cosx – 3 =0 vô nghiệm vì 12+22< 32
0.25 Phương trình tương đương sinx = 1
6 k
hoặc x= 5 2
6 k
Câu 7 Số phần tử của tập hợp T là 4
7
A = 840 Gọi abcd là số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số
1,2,3,4,5,6,7 và lớn hơn 2015
Vì trong các chữ số đã cho không chứa chữ số 0 nên để có số cần tìm thì a2 0.25 Vậy có 6 cách chọn a Sau khi chọn a thì chọn b,c,d có 3
6
A cách chọn Xác suất cần tìm là P = 63
4 7
6A
A = 6
Câu 8 Điểm B nằm trên đường thẳng x + 2y – 5 = 0 nên B(5 – 2b ; b)
Trang 5B ; C đối xứng nhau qua O nên C(2b – 5 ; - b ) và O thuộc BC 0.25 Gọi I là điểm đối xứng của O qua phân giác góc B suy ra I(2;4)
BI
(2b – 3 ; 4 – b ) , CK(11 – 2b ; 2 + b) Tam giác ABC vuông tại A nên BI CK . = 0 - 5b2+ 30b – 25 = 0
b= 1 hoặc b= 5
0.25
Với b= 1 thì B(3;1) , C(-3;-1) suy ra A(3;1) nên loại 0.25 Với b= 5 thì B(- 5, 5 ), C(5 ; -5) suy ra A(31 17;
Câu 9
Giải hệ phương trình
2
2
Đk : x y 0 Nếu x = y thì (2) vô nghiệm nên x > y
(2) x y 2 - 7x7y + 1 – [3(x- y )]2= 0
0.25
x > y 0 nên 2 1 3 3
Thay y = x – 1
3 vào phương trình (1) ta được 9x2 + 9x(x - 1
3) + 5x – 4(x - 1
3) + 9 1
3
x = 7
18x2– 8x + 6x - 8
3
x - 3 = 0
2x(9x – 4 ) + 2
(9x – 4 ) 2 2 3
x
x
4
9 vì x > 0 Với x = 4
9 thì y = 1
9 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (4
9 ; 1
Câu 10
Cho a, b, c thuôc đoạn [1;2] Tìm GTNN của P =
2
a b
c ab bc ca
2 2
4
a b
c ab bc ca
2 2
a b
c a b c ab
Trang 6Ta có 4ab(a + b)2 nên P
2
2
a b
2
2
1 4
a b
c c
0.25
Đặt t = a b
c c vì a, b , c thuộc [1;2] nên t thuộc [1;4]
Ta có f(t) = 2 2
4 4
t
t t
, f’(t) =
2 2 2
1 4
t t
> 0 với mọi t thuộc [1;4]
0.25
Hàm số f(t) đồng biến trên [1;4] nên f(t) đạt GTNN bằng 1
6 khi t = 1 0.25 Dấu bằng xảy ra khi a = b ; a b
c
= 1, a,b,c thuộc [1;2] a =b = 1 và c =2
Vậy MinP = 1
6 khi a =b = 1 và c = 2
0.25
(MỌI CÁCH GIẢI ĐÚNG ĐỀU CHO ĐIỂM THEO THANG ĐIỂM TƯƠNG ỨNG)
